Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985), страница 8

Сравнивая (1.33) и (1.16), видим, что частотная передаточная функция может быть формально получена из передаточной функции путем подстановки р=)м. Частотная передаточная функция есть комплексная функция переменной ы и, как всякая комплексная функция, может быть представлена в одной из форм: (1.34) )Р(1 )=и(»+1) (.» )Р (уы) ) )Р' (1ь» ) е1 аге в'</н) А (ы) егь са или (1.35) На основании теоремы об изображении свертки получаем Х(р)= =Н(р) У(р), где Х(р) и 0(р) — соответственно матрицы изображений переменных состояния и переменных управления; Н(р) — матрица нередаточных функций автоматической системы, определяемая как изображение матрицы весовых функций.

Использование частотных передаточных функция. Частотные методы исследования автоматических систем основаны на рассмотрении установившейся,'реакции системы на гармоническое входное воздей.ствие. Частотные передаточные функции используются главным образом в задачах анализа автоматических систем, Для решения задач синтеза более удобен и понучил широкое распространение метод логарифмических частотных характеристик. Пусть дано дифференциальное уравнение динамической системы [см.

(!.3)1. Рассмотрим установившуюся реакцию этой системы на гармоническое входное воздействие, которое запишем в комплексной форме: х, (1) =х, е~ '"'"е '=х, е!Он, !и ьл где У(а) — вещественная часть функции ]Р((в); г'(а) — мнимая часть функции (!гфо); А(а)=-!(р(1в)! — модуль функции ]р'((в); ф(в)=агя ]Р(!со) — аргумент функции йг(1а) или фаза.

Модуль частотной передаточной функции динамической системы определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) этой системы, а аргумент — сразо- аетотную характеристику (ФЧХ). Частотная передаточная функция является вектор-функцией и графически изображается на комплексной плоскости в виде вектора с прямоугольными координатами У(в) и К(в) или с полярными координатами А (а) и ф(в), как показано на рис. 1.!4. При изменении переменной а в пределах ( — ю +со) конец вектора описывает кривую, которую называют амнхитудно-срззоеой характеристикой системы (АФХ). Из рис. 1.14 может быть найдена связь между вещественной и мнимой частями функции В'(]в), с одной стороны, и модулем и аргументом — с другой: А (со) = ! у'(в) + ]г'(а), ф (а) = агой (1.36) У (а) = А (а) созср (а), ]'(а) = А (а) гйп ф(а).

Вещественная часть функции ]Р(]в) есть четная функция переменной а, а мнимая часть — нечетная функция. Действительно, запишем (!.33) в виде ом (!в) (Эн( — (в) пи Уос) (Эл' ( !со) у ]г ( ) ((со) — .. — ., — (а)+! (а). Е>н(ро) (>н( — ! ) ](Эн(( )!' Знаменатель этого выражения, о5щий для У(а) и ]г(в), представляет собой квадрат модуля функции 0н(]а) и содержит лишь четные степени а.

Следовательно, мнимая и ве:цественная части частотной передаточной функции К(!в) выделяются в числителе. Но при умножении полиномов ]х сОв) и О,( — (в) веЩествепнаЯ часть пРоизвеДениЯ содержчт лишь четные степени в, а мнимая часть — лишь нечетные. Таким о5разом, числитель и знаменатель функции У(а) содержат лишь четные степени в и тогда У( — в)=У(а), в то время как числитель функции ~'(а) содергксст лишь нечетные степени в, а знаменатель— четные, и тогда ]г( — а)= — ~'(в). Отсюда также следует, что модуль А (со) = 1'У'(а)+]г'(а) — четная функция, т. е.

А ( — в)=А (в), а фаза ф(со) =агс(ц — — неч гная функция, т. е. ф( — а)= — ф(а). (с (а) и (в) Поэтому АФХ динамической счстемы представляет со5ой кривую, симметричную относительно оси аосцисс, так как каждой точке АФХ с координатами !У(со), ]г(в)1 или ]А(а), ф(в)1 соответствует ее зеркальное отражение в оси абсцисс с ко~рдинатами1У( — в), ~'( — со)1= =!У(со), — ]г(в)] или (А( — а), ф( — в)1=!А(а), — ф(а)1. Соответственно АЧХ системы симметрична относительно оси ординат, а ФЧ Х симметрична относительно нача са координат. 2 Зэк. 561 ЗЗ Запишем (!.32) с учетом (1.35) в виде х еп« вЂ” А (ы) ел«аах ел« или — "" е! ь«*-ч > = А (м) е 'Ф «" 1 Р~ откуда находим х, /х, =А(а), Лф=11„— 1р, =ф(ы) (1.37) Из (1.37) видно, что амплитуда х„„выходных колебаний системы при неизменной амплитуде входных зависит от частоты этих колебаний.

Отношение амплитуды выходных колебаний к амплитуде входных, как функцчя частоты, определяетс модулем ч стотной передаточной функции системы А (ы). Фазовый сдвиг Лф между выходными и входными колебаниями, как следует из (1.37), также зависит от частоты этих колебаний и, как функция частоты, определяется аргументом частотной передаточной функции системы ф(гэ). Таким образом, частотная передаточная функция динамической системы полностью определяет прохождение гармонического колебания через эту систему. В случае произвольного (ие гармонического) входного воздействия х,(1) частотная передаточная функция системы равна отношению изображений по Фурье выходной и входной величин этой системы.

Действительно, подвергнем преобразованию Фурье левую и правую части уравнения (1.3). При этом преобразования Фурье входной и выходной функций системы определяют комплексные спектры этих функций. Если обозначить через Х,(1гэ) и Х,((ы) соответственно спектры функций х, (1) и х,(1), то Х,(1в) = Р [х,(1)[ = ) х, (1) е-/'"' й, Х,(1со) = = й' [х, (1) ) = ~ х, (1) е-1 ' б(, где г — опера1ор преобразования Фурье. Прн этом предполагаем, что функции х,(1) и х,(1) абсолютно инте- О О грируемы, т. е, интегралы ~ [х,(1)[й и 1 [х,(1)[Ж "существуют н имеют конечные значения.

Учитывал, что для всякой абсолютно интегрируемой функции х(() имеет место равенство Р [хеа(1)[=()а)«Р [х(1)), и подвергнув преобразованию Фурье уравнение (1.3), получим Х,([со),~ ~а,~ «(1о)«= Х> (1ы) ~Г ~Ьм,(усо)~, «=о -= о откуда (1.38) Х, ()в) = )к' ()о!) Х, фо), где У'()в) совпадает с (1.33). Заметим, что формально выражение (!.38) может быть получено из (1.15) подстановкой р=)в. Пример 1А. Найдем установившееся движение системы по условиям примера 1.1, используя частотную передаточную функцию. Подстановкой р=)в находим йг()в)= .

= — е й й -! ам!е гв !+1вт ~Г!+ ат Тогда для вход ° здейстш*г,(!) =х,м з!г "1, полагая - =П, получ ~~(й) =Ь !' !+Тапа, ф(!а!= — аго!ябг, отсюда ха„(!) =х! А (Я) з!п [П!+ф (Я)) =-. ' з1п (Я! — ага!й ПТ). )т1+тзаз Таким образом, установившийся процесс на выходе линейной системы при гармоническом входном воздействии наиболее просто определить при использовании ее частотной передаточной функции. Использование логарифмических частотных характеристик.

Метод построения логарифмических частотных характеристик состоит в том, что амплитудная и фазовая частотные характеристики исследуемой динамической системы изображают графически в виде непрерывных кривых, причем строят эти кривые в логарифмическом масштабе. Поэтому они называются: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАХ) и логарифлгическая фазоеая частотная характеристика (ЛФЧХ). Кроме того, логарифмическую амплитудную характеристику строят приближенно в виде отдельных прямолинейных отрезков, называемых асимптотами ЛАХ, что существенно упрощает построение этой характеристики. Такую ЛАХ называют асимптотической.

Для некоторого достаточно широкого и важного класса систем при использовании метода логарифмических частотных характеристик оказывается возможным ограничиться построением ЛАХ без построения ЛФЧХ, так как для систем этого класса между амплитудной и фазовой частотными характеристиками имеется однозначная связь, благодаря которой амплитудная частотная характеристика системы содержит исчерпывающую информацию о свойствах этой системы. Это так называемые минимально-фазовые системы и звенья. Минимально-фазовой называют такую линейную динамическую систему, у которой корни характеристических уравнений, соответствующих числителю и знаменателю передаточной функции этой системы, имеют отрицательные вещественные части.

Благодаря простоте построения логарифмических частотных характеристик использование их оказывается эффективным при решении многих практических задач. Б настоящее время метод логарифмиче. ских частотных характеристик всесторонне разработан и относится к числу основных методов анализа и синтеза линейных автоматических систем как непрерывного, так и дискретного действия. йч Заа. аа! Пусть %'Цв)=-А (в) ехр 1)ф(в)) — частотная передаточная функция исследуемой динамической системы.

Выражение для логарифмической амплитудной характеристики й(в), выраженной в Дб, записывают в виде к,(!+Т,р) (р) 1р (!+ т„р)(1-)-т,р) (1.40) времени Т! в выражении передаточной в порядке убывания их числовых значе- В (1.40) примем строгие неравенства Т!) Нумерацию постоянных функции всегда производят ний, т.

е. Т,)Т,= Т,=... )Т,)Тв тогда У" ()в) = где в =1)Ть, 'й=1, 2, 3, причем в!Св,(в,. Величины в„обратные постоянным времени динамической системы, называют гопрягаюи(ими частотами этой системы. Коэффициент передачи системы К, имеет в данном случае размерность круговой частоты рад с ' или просто с '.

Таким образом, частотная передаточная функция Ф'Цв) — безразмерная функция частоты о1, В соответствии с (1.35) имеем А (в)— (1.41) в)р1+(в,'в!)" 1' ! .1-(в)в!)о ф (в) = — — — агс1н — + агс1н — — а ге(й — . 2 !о! вд во (1.

42) Логарифмируя (1А!), получаем !'. (о1) = 20!и А (о1) = 20 !ц — ' — 20 1и!' 1-1- (в/в!)'+ + 20 1н ) 1+ (в)в,)' — 20!я ): 1 -)- (в!в,)'. (1. 43) При построении асимптотической ЛАХ пользуются следующим правилом. В выражении г 1-,' (в)во)о для всех значений в во пре- ) (о1)=20!я А (в). (1.39) При построении этой кривой частоту в откладывают по оси абсцисс в логарифмнческом масштабе.