Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985), страница 6

является дробно-рациональной функцией этой переменной. Полное описание процессов в замкнутой автоматической системе, т. е. описание изменений во времени управляемой величины у(1) при заданном входном воздействии д(1), дается общим решением уравнения (1.7). Как известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение у(С) уравнения (1.7) представляет собой сумму общего решения у,(1) однородного уравнения (а,р" +а,р" '+... +а„)у,(1) =О, получаемого из (1.7) приравниванием нулю его правой части, и частного решения у, (1) неоднородного уравнения (1.7), т.

е. у(с) =у,(1)+у.И. (1. 10) где Х;(1=1, п) — корни характеристического уравнения системы с1(р) =аарл+а рл-л + -да = 0 (1. 12) соответствующего дифференциальному уравнению (! .7); С; — посто- явные, определяемые начальными условиями. Начальными условиями называют значения функции у(с) н и — 1 ее первых производных в момент времени 1=-0, т. е. и чисел у(0), у (0), ..., у" ' (0), среди которых, по крайней мере, одно должно бьжь отличным от нуля. В противном случае есе С,=О и свободное движение отсутствует. Это означает, что к моменту времени 1=0 система находилась в состоянии покоя. Таким образом, общее решение у,(1) однородного уравнения ищем 22 Общее решение однородного уравнения у,(с) определяет свободное движение автоматической системы, обусловленное начальным рассогласованием системы в отсутствие внешнего воздействия.

Частное решение у,(1) неоднородного уравнения определяет вынужденное движение автоматической системы, т. е. реакциюл системы на внешнее воздействие в отсутствие начального рассогласования. Общее решение однородного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения имеет вид л у(1) ХС '' (1.11) ~ =! -при ненулевых начальных условиях. Зто решение характеризует процессы в системе в отсутствие внешнего воздействия (с чем связано его название «свободное движение») и определяется начальными условиями. Свободное движение нормально работающей автоматической системы с течением времени затухает, т. е.

у,(!)- 0 при 1- оо. Частное решение неоднородного уравнения у,(1) ищем при нулевых начальных условиях в соответствии с методикой, излагаемой в руководствах'по дифференциальным уравнениям. Оно однозначно определяется для каждого дифференциального уравнения внешним воздействием д (1) (отсюда название — <вынужденное движение») и характеризует реакцию автоматической системы на это воздействие. Вынужденное, или установившееся, движение системы с той или иной степенью точности воспроизводит задающее воздействие как функцию времени, т. е, у. (1) = а (!) — е (!), (1.1З) где е(!) — установившаяся ошибка автоматической системы. Системы, свободное движение которых с течением времени затухает, называют устойчивыми. Устойчивость — важнейшее свойство автоматической системы, которое должно быть обеспечено в процессе проектирования и наладки системы. Неустойчивые системы не могут выполнять своих функций. Как следует из (1.1!), система устойчива тогда и только тогда, когда все вещественные корни характеристического уравнения (1.12) этой системы отрицательны, а все комплексно-сопряженные корни этого уравнения имеют отрицательные вещественные части.

Действительно, каждому отрицательному вещественному корню соответствует в (1.11) слагаемое вида Се "', где а)0, а каждой паре комплексно- сопряженных корней с отрицательной вещественной частью — слагаемое вида Се "' з1п («о<+у), где !))О.

Каждое из этих слагаемых стремится к нулю при 1- оо и, следовательно, у,(1)l~- 0, т. е. система устойчива. Таким образом, однородное дифференциальное уравнение автоматической системы дает возможность исследовать важнейшее свойство системы — ее устойчивость, Использование передаточных функций. Пусть дано дифференциальное уравнение линейной динамической системы (1 3); М м Х им о"*<'(!)= Х ум <х(п(!), М~д' »=о с=о Преобразуем по Лапласу левую и правую части этого уравнения.

Напомним что, если й(х(!)1= ~х(1)е-»сйг=Л'(,о), (1.1 4) о где р=с+1<о — комплексная переменная, есть изображение по Лапласу функции времени х(1), то изображение по Лапласу А-й производной этой функции при нулевых начальных условиях х(0)=м(0)=...= =хм о(0)=0: Е (хм' Я) = РЧ (х (1) ) = рлх (р). Применив преобразование (1.14) к левой и правой частям уравнения (!.3) я учитывая свойство линейности этого преобразования, получим л' м Х ом-лрлх (Р) = Х "л1-~Р'Х (Р) ул м Х,(р) Р о „р" =Х,(р) ,'Р Ьм,р~', откуда х,(р) = х,(р) = 1р (р) х,(р), Рм (р) (1.15г где й' (Р) лтм (РУ Плл(Р) (1. 16г Здесь Вм(р) = )'; ам „рл, Кл1 (р) =- ~~.', Ьм,р' — полиномы переменл=о в=О ной р степеней У и М соответственно, 1Р'(р) называ1от передаточной Функцией динамической системы. Она определяет отношение изображения по Лапласу отклика системы к изображению входноговоздействия.

Как следует из (1.16), передаточная функция линейной динамической системы является дробно-рацнональиой функцией переменной р. Формально передаточная функция динамической системы прн заданном дифференциальном уравнении этой системы определяется очень просто. Для этого достаточно записать уравнение (1.3) в операторной форме (1.4), а затем, рассматривая символ р как переменную преобразования Лапласа, заменить в (1.5) функции времени х,(9 и х,(1) их изображениями Х,(р) и Х,(р), т. е. имея выражение х,(1)= =Ф'(р)х,(Г), сразу пишем Х,(р)=йг(р)х,(р). Подчеркнем, что в отличие ат (1.5) выражение (1.15) не носит форс мального характера и является алгебраическим (а не символическим!) соотношением, определяющим изображение Х,(р) выходной величины системы через изображение Х,(р) входной величины.

Таким образом, передаточная функция динамической системы определяет в области изображений реакцию этой системы на заданное входное воздействие. После того как в соответствии с (1.15) при заданной функции х,(() нлйдено изображение Х,(р) отклика системы, функцию времени х,(1) определяем путем обратного преобразования Лапласа, т. е. С+( ~ х,(г) =Ь ' [Х,(р)1= —,. ~ Х,(р) егЫР, с ! где'Е ' — оператор, обратный оператору Лапласа Т,.

Практически обратное преобразование выполняют путем разложения Х,(р) на простейшие дроби с последующим использованием таблиц преобразований Лапласа. Пример 1.1. Дано уравнение системы Тх,+х,=йх, и входное воздействие к, (1) =х з!п И. Требуется определить процесс на выходе. В соответствии с (1.5))получаем хз (О.=- йхг (1)Я!+Тр), откуда Чг (р) = й1(!+Тр). По таблицам изображений Лапласа находим Хг(р) =Ь (хм яп И)=- — '" а рз+ ае Тогда х, (р>;.: ' р — ()-,тр>(р +а>' Разложим Хз (р) на простейшие дроби: 1 А Вр С (А+ВТ) ра+(В+СТ) р+Ааз+С Е1 ~-тр>(рз+а> 1+тр р +й+р +О (1+тр)(р +а*) Приравнивая козффициенты при одинаковых степенях р в числителе леной и правой частей етого равенства, получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов: А+ВТ=О, В+СТ=-О, Айз+С= 1.

Тз Т ! «)ткуда находим А=!+та!уз, В= — 1+ 1 заз, С=1+ Тз(уа. Воспользовавшись таблицами изображений Лапласа, находим (.-г ~ — -уг. ~ . --- е =- — е А З А -ууг Т -Нг Гчстгд ~ Т 1 + Т газ Ь- ~ — 1! =..В озйу=— Вр р +а 1 — 1+т'и* соз !П, 1,-1 'С 1 С ! з!па1 — ьп- йу— (рз.+аз1 =а зпт М !+тки а и окончательно получаем процесс иа выходе системы хх(О=(- [Хз(р))=хгп(О+хат(0= Тае + ~ (Мп а1 — Тй соз аг), а'де хз„(О=- м е (з!пи — тй сони). !+т ае (О при 1(О, 1 (1) = (1 при 1) О. (1. 17) Использование переходной и весовой функций. Переходная функция служит для оценки качества работы автоматической системы в переходном режиме.

Переходной функцией линейной динамической системы называют отклик этой системы на единичную ступенчатую функвгию, определяемую как При заданном дифференциальном уравнении линейной динамической системы ее переходную функцию наиболее просто определить следующим образом. Записав дифференциальное уравнение в символической форме и обозначив переходную функцию д(!), получим из (1.5) !) (() = й' (р) 1(!)- (!.18) Перейдем в область изображений по Лапласу: ('-)(р) = йт М) I(р) где Т (р) =Т- (1(()) =1(р.

Откуда, используя таблицы преобразования Лапласа и снова переходя во временную область, получим д(() =~-т ~ — ' йу(р)11(!). (1.19) Необходимость умножения на 1(!) функции, полученной в результате обратного преобразования Лапласа, обусловлена тем, что переходная функция как реакция на воздействие, отличное от нуля лишь при ()О, равна нулю при ((О, т. е.

д(!)=-0 при !(О, что и обеспечивается введением множителя ! (!). з р) Ф Рис. !.!3 Графическое изображение переходной функции называют гмреходной каракгперистикой. Типовые переходные характеристики автоматических систем приведены на рис. 1.13. Кривые на рис. 1.13, а, б соответствуют устойчивой системе, кривые на рис. !.13, в, г — неустойчивой. Пример !.2.