Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976)

А. Н. КОЛМОГОРОВ, С. В, ФОМИН ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОВ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ Дапущено Министерством вмсшего и среднего специальнога обеаэавания СССР в качестве рчебныка для стедентов математические специальностед рниверситетов ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА> ГЛАВНАЯ РЕДАКНИЯ цэИЗИКО-МАТВМАТИЧЕСКОИ Л55ТЕРАТУРЫ Маскиа 5976 К 60 5!7.2 УДК 517.5(075.8) Элементы теории функций н функционального анализа, А. Н Кол но.

г о р о в, С. В. Ф о и и н. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1976 г. Вр Глееиаи реке«иии физико-метем«тите«кой литературы или«текет ее Науке, !зтб, е иемеиеииеми. 20203 — 062 053(02)-76 Книга представляет собой учебник, соответствующий в основном той программе курса «Анализ 1П>, которая принята в МГУ н в ряде других университетов. Предназначена в первую очередь для студентов механико-математических и физико-математических факультетов университетов. Для ее чтения требуется владение основами математического анализа и линейной алгебры.

Первая часть содержит основные теоретико-множественные понятия. В главах П вЂ” 1Ч изложена теории линейных пространств, включавшая элементы теории обобщенных функций. Эти главы, а также примыкающая к ним глава Х, посвященная некоторым вопросам нелинейнего функционального анализа, ие предполагают знакомства с понятием меры и лебеговой теорией интегрирования. Теория меры, измеримые функции, интеграл Лебега, а также лебегова теория дифференцирования и основные свойгтва линейных пространств суммируемых функций излагаются в главах Ч вЂ” ЧП. Глава ЧП! содержит ряды Фурье и интеграл Фурьс.

В главе 1Х изложены основные факты из теории интегральных уравнений. Помещенное в конце книги Дополнение содержит кратное изложение основных сведений о банаховых алгебрах и некоторых нх применениях. Илл. 24, библ. 57 назв. ОГЛАВЛЕНИЕ 9 Гб 12 Предисловие к четвертому изданию Из предисловия ко второму изданию.

Предисловие к третьему изданию, 6! э 2 $3 б 1 $ 2 93 $4 $5 Глава 1 Элементы теории множеств Понятие множества. Операции над мнажествани.......... 13 1. Основные определения (13). 2. Операции над множествами (И). Отображения. Разбиения на классы . 16 1, Отображение множеств. Общее понятие функция (16), 2. Разбие- ние на классы.

Отношения эквивалентности (18). Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества...., 21 1, Конечные и бесконечные множества (21), 2. Счетные л~ноже- ства (22), 3, Эквивалентность множеств (24), 4, Несчетность множе- ства действительных чисел (26). 5. Теорема Кантора — Бернш- тейна (28). 6. Понятие мощности множества (28). Упорядоченные множества. Трансфинитные числа......... 31 1. Частично упорядоченные множества (31). 2. Отображения, сох- раняющие порядон (32). 3. Порядковые типы.

Упорядоченные мно- жества (33), 4. Упорядоченная сумма упорядоченных множеств (34). 5. Вполне упорядоченные множества. Трансфинитные числа (34). б. Сравнение порядновых чисел (36). 7. Аксиома выбора, теорема Цермело и другие эквивалентные им утверждения (38). 8. Траис- финитная иидукция (40), Системы множеств............., ...,,, 41 1, Кольцо множеств (41). 2. Полукольцо множеств (42). 3.

Кольцо, порожденное полукольцом (44). 4. и-алгебры (45). 5. Системы множеств и отображения (46). Глава П Метрические н топологическне пространства Понятие метрического пространства ........... .... 48 1. Определение и основные примеры (48). 2. Непрерывные отображения метрических пространств. Изометрия (55). Сходимость. Открытые и замкнутые множества.......... 56 1. Предельные тачни. Замыкание (56). 2. Сходимость (58). 3. Плотные подмножества (59). 4. Открытые и замкнутые множества (60).

5. Открытые и замкнутые множества на прямой (62). Полные метрические пространства 66 1. Определение и примеры полных метрических пространств (бб), 2, Теорема о вложенных шарах (69). 3. Теорема Бара (70). 4. Пополнение пространства (71). ОГЛАВЛЕНИЕ $4. Принцип сжимающих отображений и его применения...,... 74 1. Принцип сжимающих отображений (74).

2. Простейшие применения принципа сжимающих отображений (75). 3. Теоремы существования и единственности для днффереициальнык уравнений ( 8). 4. Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям (8!). $5, Тапалогическне пространства . 83 1. Определение и примеры топологическнх пространств (83). 2. Сравнение топологий (85), 3. Определяющие системы окрестностей. База. Аксиомы счетности (86). 4.

Сходящиеся последовательности в 7 (90), 5, Непрерывные отображения, Гомеоморфизм (9!). 6. Аксиомы отделимости (94), 7, Различные способы задания топологии в пространстве. Метризуемость (97). $6. Компактность . 98 1, Понятие компактности (98), 2. Непрерывные отображения компактных пространств '(1О1).

3. Непрерывные и полунепрерывиые функция на компактных пространствах (101), 4. Счетная компаитность (103), 5. Предкочпактные множества (105). 9 7. Компактность в метрических пространствах............ !06 !. Полная ограниченность (106). 2. Компактность и полаая ограниченность (107). 3. Предкояпактные подмножества в метрических простанствах (109). 4. Теорема Арцела (109). 5. Теорема Пеано (111).

Равномерная непрерывность. Непрерывные отображения метрических компактов (! 13). 7. Обобщенная теорема Арцела (114). 9 8. Непрерывные кривые в метрическик пространствах........ 1!5 Глава П! Нормированные н топологнческне линейные пространства 9 1. Линейные пространств«,, . . . .. .. . . . . .. .. . . . . 119 1.

Определение н примеры линейных пространств (119). 2. Линейная зависимость (121). 3. Подпространстаа (122). 4. Фактор-простран. ства (!23). 5. Линейные функционалы (!24). 6. Геометрический смысл линейного функционала (126). $2. Выпуклые множества н выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха 128 1. Выпуклые множества и выпуклые тела (128). 2. Однородно-выпуклые функционалы (130). 3.

Функционал Минковского (132). 4. Теорема Хана — Банаха (134). 5. Отделимость выпуклых множеств в линейном пространстве (137). $3. Нормированные пространства . !38 1. Определение и примеры нармированнык пространств (!39). 2. Подпространства нормированного пространства (140). 3. Факторпростракства нормированного пространства (141). $4. Евклидовы пространства 143 1. Определение евклидовых пространств (143). 2.

Примеры (145). 3. Существование ортогональиых базисов, артагонализацня (147) 4. Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы (149), 5, Полные евклидовы пространства. Теорема Рисса — Фишера (152), 6. Гильбертово пространгтво. Теорема об изоморфизме (155). 7. Подпространства, ортогональные дополнения, прямая сумма (!58). 8. Характеристическое свойство евклидовых пространств (161). 9. Комплексные евклидавы пространства (!64). $5 Топологические линейные пространства..............

167 1. Определение н примеры (167). 2. Локальная выпуклость (169). 3. Счетно-нормированные пространства (!70). ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1Ч Линейные функцноиалм н линейные операторы Непрерывные линейные функционалы............... 174 1. Непрерывные линейные функционалы в тоползгнческих лннегных простфаиствах (174). 2. Линейные функционалы на нормированных пространствах (175). 3. Теорема Хана — Банаха в нормированном пространстве (179). 4. Линейные функционалы в счетно-нормированном пространстве (181). 9 2, Сопряженное пространство . , 182 1, Определение сопряженного пространства (182). 2. Сильная топология в сопряжеииом пространстве (182). 3.

Примеры сопряженных пространств (185). 4. Второе сопряженное пространство (190). 9 3. Слабая топология и слабая сходимость ............. . 192 1. Слабая топология и слабая сходимость в линейном топэлзгическом пространстве (192). 2. Слабая сходимость в нормированных пространствах (194). 3. Слабая топология и слабая сходичость в сопряженном пространстве (197). 4, Ограниченные множества в сопряженном пространстве (199).

9 4. Обобщенные функции . 203 1. Расширение воиятия функции (203). 2. Пространство основных функций (204). 3. Обобщенные функции (205). 4. Действия над обобщенными функциями (207). 5. Достаточность запаса основных функций (210). 6. Восстановление функции по производной. Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций (211). 7, Некоторые обобщения (214). $5. Линейные операторы .

ГН8 1. Определение и примеры лзнейных операторов (218). 2. Непрерывность и ограниченность (222). 3. Сумма и произведение операторов (223). 4. Обратный оператор, обратимость (224). 5. Сопряженные операторы (230). 6. Сопряженный оператор в евклитовом пространстве. Самосопряженные операторы (232). 7. Спектр оператора. Резольвента (234). $6. Компактные операторы . 237 1. Определение и примеры компактных операторов (237), 2. Основные свойства компактных операторов (241).

3, Собственные значения компактнзга оператора (244). 4. Компактные операторы в гильбертовом простразсгве (245). 5. Самосопряжениые компактные операторы в Н (246). Глав а Ч Мера, измернмме функции, интеграл $1, Мера плоских множеств 251 1. Мера элементарных множеств (251). 2. Лебегова мера плоских множеств (2об). 3. Некоторые дополвения и обобщения (262). 9 2, Общее понятие меры. Продолжение меры с полукольца иа кольцо.