Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980), страница 41

1) (2; -3; 6); 2) прямая, параллельная плоскости; х — 2 у+4 «+1 8) прямая лежит на плоскости, 1041. 1042. х — 2 д+3 г+5 1043. 2х — Зд + 4г — 1 = О. 6 — 3 — 5' 1044. х + 2у + Зг = О. 1045. т = — 3. 1040. С = — 2. 1047. А = 3 В= — 23. 1048. А= — 3, В=4 —. 1040. 1= — 6, С 1 3 1059. (3; — 2; 4). Решен ие. Искомую точку найдем, решая совместно уравнения данной прямой с уравнением плоскости, проведенной нз точки Р перпендикулярно к этой прямой.

Прежде всего заметим, что направляющий вектор данной прямой (3; 5; 2) будет являться нормальным вектором искомой плоскости. Уравнение плоскости, которая проходит через точку Р (2; — 1; 3) н имеет нормальный вектор п =(3; 5; 2), будет иметь вид 3 (х — 2)+5(у+ 1)+ +2(г — 3) 0 или Зх+5у+2г — 7=0. Решая совместно урав'нения х=31, у=5! — 7, «=2!+2, Зх+бу+2г — 7=0, найдем координаты искомой проекции: х=З, У=-2, г=4. 1051. Я (2; — 3; 2). 1052, Я(4; 1; -3). 1053.

(1;4; — 7). Решение. Искомую точку найдем, решая совместно уравнение данной плоскости с уравнениями прямой, проведенной ' из точки Р перпендикулярно к этой плоскости. Прежде всего заметим, что нормальный вектор данной плоскости (2; — 1; 3) будет являться направляющим вектором искомой прямой.

Параметрические уравнения прямой, которая проходит через точку Р (о; 2; -1) и имеет направляющий вектор а =(2; -1; 3), будут иметь внд х=2!+5, у= — !+2, г=3! — 1, Решая совместно уравнения 2х — д+ 3«+ 23 = О, х = 2!+ 5, д = — !+ 2, г = 3! — 1, найдем координаты искомой проекции: х = 1, у = 4, г= — 7. 1054. Я ( — 5; 1; О).

1055. Р (3; — 4; О). У к а з ан не, Задача может быть решена по следующей схеме: 1) устанавливаем, что точки А и В расположены по одну сторону от плоскости Охд; 2) находим точку, симметричную одной из данных точек относительно плоскости Оху, например точку Во симметричную точке В; 3) составляем уравнение прямой, проходящей через точки А и В,; 4) решая совместно найденные уравнения прямой с уравнением плоскости Оху, получим координаты искомой точки. 1056.

Р ( — 2; 0; 3). 1(!57, Р (-2; — 2; 5). 1058, Р ( — 1; 3; -2). 1059. 1) Р (-25; 16; 4); 4) за прдыежутбк времени, равпый 5; 3) МОР =60. 1060, 2=28 — 7,51, у= — 30+81, г= — 27+6г'; 1) Р( — 2;2; — 3); 2) от Г~ — — О до 1,=41 3) меР 450. 1061. За промежуток времени, равный 3, 1062. 4(=7„ х+3 у-(2 г-8 Р е щ е н н е. Выберем на прямой 2 какую.

нибудь точку, например М4 (-3; -2; 8); будем считать, что направляющий вектор прямой а = (3; 2; — 2) приложен в точке М„ Модуль векторного произведения векторов 0 и М,Р определит площадь йараллелограмма, построенного на затих векторах; высота этого паралЛелограМма, проведенная из вершинь) Р, будет являться искомым расстоянием А Следовательно, для вы4исления расстояния Н имеем формулу рз= ', Теперь вычислим координаты Иаь|р1 ! 1а! вектора М1Р, зная координаты его конца и начала:М,Р (4;1; -10), Найдем векторное произведение векторов а и М,Р: (аМ4Р1 = й 3 2 -2 4 ! -!Π— 181 + 221 — 5й. Определим его модулы 1(а41~~Р] ! 'г' 18 + 22'+ 5' = г' 833 = 7У !7.

Вычислим модуль ек р е: 1а~=рр4-44-4 у Г7. нараем к кем е раееееакке: д= ' =7. 1063. 1) 2!', 2) 6; 3) 15. 1064. 41=25, 1065. 9х+11у+ 7(7!7 г' 17 +5г — 16 = О. 1068. 4х+ бу+ 5г-1 = О. 1070. 2х — 16у — !Зг+ 3! =О. 1072. 6х — 20д — 11г+ 1 = О.

1074. (2; — 3; — 5). 1075. Я (1; 2; 2). 1076. Я(1; -6; 3). 1077. 1Зх — 14у+11г+ 51=0. 1079. х — Зу— — 13г+ 9 =О. 1081. + — . 1082. х = 8Š— 3 х — 3 д+2 г+4 5 — 6 9 у= — 31 — 1, г= — 4г+2. 1083. 1) 13; 2) 3; 3) 7. 1084. 1) хз+ + уз+ гз=81; 2) (х — 5)з+ (у+3)з+ (г — 7)з = 4; 3) (х — 4)Р+ + (д+ 4)з+ (г + 2)а = 36; 4) (х — 3)з + (у + 2)2 + (г — !)з = 18; 5) (х — 3)г+ (у+ 1)'+(г — 1)'=21; 6) х'+ у'+ г'=9; 7) (х — 3)з+ + (у+ 5)з+ (г+ 2) =56; 8) (х — 1) + (у+ 2)з+(г — З)~ =49; 9) (х+ 2)з+ (у — 4)2+ (г — 5)з 81.

1085. (х — 2)з+ (д — 3)з+ + (г+ 1)з =9 и х'+ (у+ 1)з+(г+ 5)з 9. 1086. Я =5. 1087. (х+ !)'+ (у — З)2+ (г — 3)' 1, 1088. (х+ 1) + (у — 2)з+ + (г — 1)з = 49. 1089, (х — 2)' + (у — 3)' + (г + 1)' = 289. 1090, 1) С (3; — 2; 5), г 4; 2) С (-1; 3; О), г 3; 3) С (2; 1; — 1), г = 5; 4) С (О; 0; 3), г = 3; 5) С (О, -10; О), г = 10.

!091, х = 51 — 1, 1 3 1 х — — у+ — г+— 2 2 2 У = — К + 3, г = И вЂ” 0,5. 1092. 2 раю — 3 ма 4 1093. 1) Вне сферы, '2) и 5) на поверхности сферы; 3) и 4) внутри сферы, 1094. а) 5; б) 21; в) 7. 1095. 1) Плоскость пересекает сферу; 2) плоскость касается сферы; 3) плоскость проходит вие сферы. 1096.

!) Прямая пересекает сферу; 2) прямая проходит вне сферы; 3) прямая касается сФеры. 1097, М, (-2; -2; 7), И 3. 1098. С( — 1; 2; 3), М=8. 1099. (х 1)'+(у — 2)'+(г —.1)'=36, 2х — г — 1 О. 1100. (х — 1)'+ (у + 1)з+ (г+ 2)' = 65, 18х-22у + -(-5г — ЗО О. 1101. (х — 2)'+ у'+ (г — 3)з =27, х+ у — 2=0 1103. 5х — Зу + 5г — 7 -" О. 1104. х' + у'+ гз — !Ох + 15у -25г = 0' 236 У! — Уо г! — го ~' ~ г! — го х! — Хо ~~ ~ х! -хо У! Уо !'Рч я'+ >' 1! !о Хз Х т! то уо-д! и! и2 г 6! абс.

вел »4>. >> — > — ~ — - ~~' >>— ~"(а!ао)' т, и, ' и, 1! ' 1! т! о а' х! 1а~ )/12 + т2 + ио 1147. — а и !а! Рт У! = 1/!! + то+ ио Ри > и! >»> )/12 + т! 1 ио 233 % Ят !ги хо=— Уо аы > г2~ >Р+ >'.»' >Р~-Ы.»' !'РСт~~~>' И 1148. !'о+ — а и !"о- та', х! =хо+ )а~ ~ а! УИ + то+ ио > У! =Уо+ Рт Яи + > г! го+ и хо=хо)/ !! ) тг ~ и! ' '1/1о+ т" + и' Ю от Ю > Уг=уо— ° г! .го »! ~ »~.»'' )~>'-»>~.»~' ' гт+ ~'.> ~' 1149, (г! — !'о) (г — ио) = Й' 1150.

(г — г!)'- (г!и+ П)' )~+ ( )~ + ( )о (Ах~ + Вд~ + Сг~ + 0)~ 1151 — — Я=Ъ, — + Я = 0; иг иг Ах+ Ву+ Сг — Я=О, 1 и ~ ! и ! / А + В + С Ах+Ву+Сг +я О 1152. о — Д = О, ) Ао+ Во+ С' )а~ а (!' ио) . 1(х хо) + !и (у уо) + и(г го) +л=о; Й=О, !а! Р+ то+ ио + Я=О 1153 3, 1> 3; (2> 3; 0), 1/ 1о-!- т'-»- ио (2; -3; 0), (2' 0: )/ 3) (2' 0; — )/ 3) 1154 4 3; (4' 0' — 1), (-4; 0; — 1). 1156. 16; 0; -6; — — ). 1156. Уравнения про- 3~ екции а) на плоскость Оху: х'+4ху+Бу'-х=О, б) на плос- г=О; кость Охг: х' -' 2хг + Бг' — 4х О, в) на плоскость Оуг! У=О; у'+ г' + 2У вЂ” г = О, 1167.

Эллипс; (2; -1; 1) — центр этого х=О. эллипса. Указ а н и е. Центр сечения проектируется в центр проек« ции. 1153. Гипербола; (1; -1; -2) — центр этой гиперболы. 1159. 1) Эллипс; (-3/2; 1; 13/4) — центр этого эллипса; 2) пара. бола! не имеет центра! 3) гипербола! (2! -3; 4)-центр втой гиперболы. 1160. а) 1<!и!<)/ 2; б) 1и!<1. 1161.

а) иФО и т > — 1/4, причем в случае т= — 1/4-вырожденный эллипс— точка; б) т = О. 1162. (9; 5; — 2). 1163. (3; О; -10). 1164. (6; -2; 2). 1165. т = +- ! 8. 1166. 2х — у — 2г — 4 = О. 1167. х — 2у + 2г — 1 = О, х' у' -)- г' х' у' х — 2у+2г+ 1= 0! —. 1168. — + — 1. 1169, — + — + 3 ' ' 9 25 ' ' 36 Гб г' 2 4 х' у' + г' + =1, 1170. с, = —, а, = —.

1172. — + 9 ' ' 5 ' ' 5 ' а' Ь2 =1 г2+ дз гз хз у2 !173. — — — 1. !178. — — — =2г. 1180. 1) (3; 4; — 2) а' с' ' р с и (6; — 2; 2); 2) (4; — 3; 2) — прямая касается поверхности; 3) прямая и. поверхность ие имеют общих точек; 4) прямая лежит иа поверхности. 1181.

2х — 12д — г+ !6 О, 1 2х — 12у — г+ 16= 0, х — 2у + 4 = О; ~( х + 2у — 8 = О ! 182. !у+2г О, (2х — 5г О, х у+ 1 г — 1 1183. !х — 5 =О; 1 у+4=0. 1 4 — г' х у+9 г+3 х д — 3 г х ° 2 у г — — — 1184. ! !2 2 ' ' 1 0 — 2' О 3 -4 1 х' у' г' х- 'у' г' 1185.

агссоз . 1186, !) — + — — — 0', 2) — — — + — = О! 17 ' ' а' Ь' с' ' а' Ь' с' ха дл г2 „2 3) — — + — + — =О. 1188. хэ+уз — гз=О. 1189. ' + —— а' Ь' с' — аг Ь' (г — с)' = О. !190. Зхэ — 5у2+ 7гэ — бхд+ 10хг — 2дг — 4х+4у— х2 у2 г2 — 4г + 4 = О. 1191. — + — — — = О. 1192, хз — Зул + гэ О, 25 25 49 1193. 35х' + 35у' — 52г' — 232ху — !!6хг + 1!6уг + 232х — 70у— — 116г + 35 О. 1194.

ху + хг + дг = Π— ось конуса проходит в первом и седьмом октантах! ху + хг — уг = 0 — ось конуса проходит во втором и восьмом октантах; ху — хг — уг Π— ось конуса проходит в третьем и пятом октантах; ху — хг + уг = Π— ось конуса проходит в четвертом и шестом октантах. 1195. 9хз — 16у' — 16г'— — 90х + 225 О. 1196. х' + 4уз — 4гз + 4хд + 12хг — 6уг = О.

1197. 4х' — 15у' — 6г' — !2хг — Збх+ 24г+ 66 = О. 1198. !6х'+ + 16уг+ !Згг — 16хг + 24уг + 16х — 24у — 26г — 13! О. 1199. х'— — у2 — 2хг+ 2уг+ х+ у — 2г = О. 1200. 5хл+ 5у2+ 2гз — 2ху -! + 4хг + 4дг — Б = О. 1201. 5х' + 8у' + 5г' + 4ху + Зхг — 4уг -( + бх+ 24у-6г — 63 О. 1202. 5хэ+ !Оу2+ 13г'+ 12ху — бхг-! + 4уг+26х+ 20у — 38г+ 3= 0. 1203. х'+ 4уз+ 5г' — 4ху — !25=0. 1204. 1) 18; 2) 10; 3) О; 4) — 50; 5) 0; 6) хз — х~! 7) 0; 8) 1. 1205.