Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980), страница 39

72!. 1) (2; 3; -1), (5; — 3; — 2), ( — 31 21 1), (а; Ь,' с); 2) (2; — 31 1), (5; 3; 2), ( — 3; — 2; - 1), (а; — Ь1 С),' 3) (-2; 3; 1), (-5; 3; 2), (3; 2; — 1), (- а; Ь; с)1 4) (2; 31 — 1), (51 3; -2), (-3; -2; 1), (а; — Ь; — с); 5) (-2; 3; — 1), ( — 5; -31 — 2), (3; Й; 1), (- а; Ь; „ с); 6) ( — 2; — 3; 1) ( — 5; 3; 2), (3; -2; — 1), (- а; Ь; с); 7) ( — 2; -3; -1), ( — 5; 3; -2), (3; — 2; 1), ( — а; Ь; с).

722. (а; а; — а), (а; — а1 а),( — а; а; а), ( — а; — а; а), 723, 1) В первом, третьем, пятом н седьмом; 2) во втором, четвертом,шестом и восьмом; 3) в пеРвом, четвеРтом, шестом и седьмом; 4) во втором, третьем, пятолг н восьмом; 5) в первом, втором, седьмом и восьмом; 6) в третьем, четвертом, пятол1 н шестом. 724, 1) В первом, третьем, пятом н седьмолц 2) во втором, третьем, йятом и восьмом; 3) в первом, втором, седьмолз н восьмом, 4) в первом, третьем, шестом и восьмом; 5) во втором, четвертом, пятом и седьмом. 725.

1) ( — 31 3; 3); 2) (3; 3; — 3); 3) (-3; 3; — 3); 4) ( — 3; -3; — 3); 5) (3; — 3; -3), 726. 1) 7; 2) 13; 3) 5. 727. ОА=6, ОВ 14, ОС =13, 0.0 25. 730, ~ М,МзМг — тупой. 732. (5; 0; О) н ( — 11; 0; 0). 733. (О; 2; О). 734. С (3; — 3; — 3), Р= 3. 735. (2; — 1; — 1), ( — 1; -2; 2), (О; 1; — 2), 736. 7. 737. х=4, У -1, я=3. 738. С(6; 1; 19) и 0(9; — 5; 12), 739.

П(9; — 5; 6). 740. Четвертая вершина параллелограмма может совпадать с одной из точек: 01 ( — 3; 4; — 4), Пг (1; — '2; 8), Вз (5; О; — 4). 741. С (1; 5; 2), 0 (3; 2; 1), Е(5; — 1; 0), Р(71 — 4; — 1). 742. А(-1; 2', 4), В (8;-4; — 2). 743. — )~74. 2 ъ/ х! + хг + хз + хз У1 + Уг + Уз + У4 4 745. х = 4 з У— 4 з х~ + я + яз 746 ~пР~ + зпгхг + зпзхз+ сг4х4 4 ш, + шг+шз+ ж, 1 + сгг г+ зпзУз+ сз~У4 пг,а~ + сггхг+ сззяз+ т,х, пг1 + зпг + пзз + пзз аз~ + заг + сзз + сз4 747. (2; — 3; 0), (1; 0;2), (01 3; 4).

748. ! а! 7. 749. а= ~3. 750. АВ = (-4; 3; -1), ВА (41 -31 1), 751. Л'(4; 1; 1), 752. (-1; 2; 3). 12 3 753. Х=1 2, У=1, Е= 1. 754. сова= —, созр= — —, 5' 16 3 4 12 соау = — —. 25 ' 755. сова = —, совр = —, сов у= —. 13 ' . 13 ' 13 ' 756. 1) Может; 2) не может; 3) может. 757. 1) Не может; 2) может,' 3) не может. 758. 60' или 120'. 759. а = (1; — 1; 112) или а=(1; — 1; — ~'3.

760. М (УЗ; Л 3; Уз), М,( — ~'З; — ~'З; — ~З. 761. См. Рис. 134. 762. ! а — Ь ! =22. 763. ! «+ Ь ! =20. 764. !а+ Ь! !а-Ь| =13. 765. !а+ Ь! =3'129 = 11,4, !а — Ь! 7, 766. ! а + Ь ! = к' 19 = 4,4, ! а — Ь ! = 7. 767. 1) Векторы а и Ь 228 должны быть взаимно перпендикулирны) 2) угол между векторами а и Ь должен быть острым; 3) угол между векторами а и Ь должен быть тупым.

768. ! а ! = ! Ь !. 769. См. рис, 135. 774. ! М ! ! 5. 775. !) (1! -116); 2) (5; — 3', 6); 3) (6; -4; 12); 4) 1; — — 1 О 1 5) (О; -2; 12); 6) 3; -' —; 2 . 776. Вектор Ь длиннее вектора а ,5 в три раза! они направлены в противоположные стороны. Рис. 134. Рис. !35. 777. а =4, р = — 1. 779, Вектор АВ в два раза длиннее вектора СЭ! 16 2 3) оии направлены в одну сторону. 780. а' ~ —; —.~-!в Г 3 4 12) 781, а' ~ —; — — — ~.

782. !а+Ь |=6 !а — Ь !=14. ( !3' !3* !3 )" Ф 783. д = — 481 + 451 — 369. 784. с = (-3; 15', 12). 785. АМ=(3; 4; -3), ВЧ (О; -5; 3), СР=( — 3; 1; О). 787. а=2р+5су. 788. а= 2Ь+с, 1 1 — 1 1 Ь= — а — — с, с=а — 2Ь. 789. р =2а — ЗЬ.

790. АМ= — Ь+ —.с 2 2 2 2 — 1 ВУ вЂ” с — Ь, СР— ' Ь вЂ” с, где М, У и Р— середины сторон треугольника АВС, 791. АВ 11А — 7АС, ВХ> = 1ОА — 7АС, С5 = Н А — 8АС, А0 + ВВ + С.О = 32А — 22АС. 793. с = 2р -Зд+г, 794. д 2а-ЗЬ+ с, с — 2а+ЗЬ+д, Ь = — а+ — с--И 2 1 1 3 3 3 а = — Ь вЂ” — с+ -д.

795. 1) -6; 2) 9; 3) 16; 4) 13; 5) -61; 6) 37; 7) 73. 3 ! 796. 1) — 62; 2) 1621 3) 373, 797. Сумма квадратов диагоналей па1заллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 798. — аЬ =аЬ, 229 когда векторы а и Ь коллииеариы и имегот противоположные па. правления; аЬ = аЬ, когда векторы' а н Ь коллинеарны н имеют одинаковые направления. 799. При условии, что Ь перпендикулярен к векторам а и с, и также в тЬм сяучае, когда векторы а и с коллинеарны.

800. аЬ+ Ьс+ са= 4 . 801. аЬ+ Ьс+ са= — 13, 2' 3 — Ьс 802. [ р [ = 10. 803. а й -. 804, ! а [ = [ Ь!. 807. ВР = —, с — Ь. сз 2 / 41 808. а = агссоз —. 809. (р = агссоз ~ — —.). 810. Плоскость, пер« У7 пендикулярная к оси вектора а и отсекаюшая на ней отрезок, веа дичина которого, считая от точки А, равна т —. 811. Прямая !а[' ересечеиия плоскоотей, перпендикулярных к осям векторов а и Ь отсекающих на зтих осях отрезки, величины которых, считая от точки А, равны — и — [. 812. 1) 22; 2) 6; 3) 7; 4) -200; !а! 5) 129; 6) 41. 813. 17. 814.

1) -524; 2) !3; 3)' 3; 4) (АЛ ° АС) ° ВС= е=( — 70; 70; -350) и АВ(АС ° ВС) =( — 781 104; — 312). 816. 31. 816. 13. 818. а = — 6. 819. сов гр = —. 820. 45'. 821. агссоз ~ — — ~. 21 ' ' ' ' ~ 9 ~' 1 1 ) 823. х = ( — 24; 32; 30). 824. х = 1; †; — — ~, 825. х = — 4!в -бг+ 12Ь. 826. х =(-3! 3; 3), 827. х =(2; — 3; О). 828. х =21+ [- З~ — 2Ь. 829. [~3, 830. — 3.

831. — 5. 832. 6. 833. — 4. 834. 5, 14 14 7 835. — 11, 836. Х = — —, У = — —, Е = — —. 837. 3. 3' 3' 3' 838. — 6 . 839. ~ [аЬ) ~= !5. 840. [[аЬ[~ =!6. 841. аЬ= й 30. 5 7' 842. 1) 24; 2) 60. 843. 1) 3; 2) 27; 3) 300. 844. Векторы а и Ь должны быть коллинеарны. 846. В случае перпендикулярности векторов а и Ь, 850, !) (5; 1; 7); 2) (!О; 2; !4); 3) (20; 4; 28). 851. 1) (6; — 4; — 6); 2) (-12! 8', 12). 852. (2; 11; 7). 863, ( — 4; 3; 4). 2 2 11 3 864. 15; сова = —, совр= — —, сову= —..

856. 28; соза= — —, 3 ' !5 ' 15' ' ' 7 ' 6 2 г — 1 4 сов р = — —, сову = —. 856. 1 66; сова = —, соз р = —— 7 7 766 1' 66 сову= — =. 857. 14 кв. ед. 858. 5, 859. в!п~р = 7 . 5 !7 М66' ' ' ' ' ' 21 860. ( — 6; — 24; 8). 861. гп=(45; 24; 0). 862. х=(7; 5; 1), 864.

[[аЬ) с) =( — 7; 14; — 7); [а [ЬсЦ (10,' !3; 19), 865. 1) Правая) 2) левая; 3) левая; 4) правая, 5) Векторы компланарны; 6) левая, 866.'аЬс =24. 867. аЬс -~27; знак плюс в том случае, когда тройка векторов а, Ь, с правая, н Минус когда эта тройка левая. 868. В том случае, когда векторы а, Ь, с взаимно перпендикулярны. 873. аЬс — 7. 874.

1) Компланарны', 2) на компланарны; 3) комплапарны. 876. 3 куб. ед, 877, 11 878. Р,(0! 8; 0), Р,(0; — 7; 0)! 881. Х вЂ” 6, )' — 8, Я вЂ” 6, 882, ЙЕкторы а и с должны быть коллинеарны или вектор Ь должЕН бйть перпендикулярен к век' тоРам а и с, 886, 'Точки Мм Мз,-М4 лежат на повеРхности, точки 230 М„Ма, М6 не лежат на ней. Уравнение определяет сферу е центром в начале координат и радиусом, равным 7.

886, 1) (1; 2; 2) и (1; 2; -2); 2) иа даннои поверхности нет тацой точки; 3) (2; 1; 2) й, (2; -1; 2); 4) на даинои поверхности иет такой.точкй. 887. 1) Плоскость Оуг; 2) плоскость Охг; 3) плоскость Оху; 4) плоскость, параллельная плоскости Оуг и лежащая в ближнем полупространстпе на расстоянии двух единиц от нее; 5) плоскость, параллельная плоскости Охг и лежащая в левом полупроетранстве на расстоянии двух единиц от нее; 6) плоскость, параллельная плоскости Оху и лежащая в нижнем полупространстве на расстоянии пяти единиц от нее; 7) сфера с центром и начале координат и радиусом, равным 5; 8) сфера с центром (2; — 3; 5) н радиусом, равным 7; 9) уравнение определяет единственную точку — начало координат; 10) уравнение никакого геометрического образа в пространстве нв определяет! 11) плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плоскостями Охг, Оуг и проходит в 1, 3, 5 и 7 актантах; 12) плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плоскостями Оху, Одг и проходит во 2, 3, 5 и 8 октаитах; 13) плоскость, которая делит пополам двуграиный угол между плоскостями Оху, Охг н проходит в 1, 2, 7 и 8 октаитах; 14) плоскости Охг и Оуг; 15) плоскости Оху и Оуг; 16) плоскости Оху и Охг; 17) совокупность всех трех координатных плоскостей; 18) плоскость Оуг и плоскость, параллельная плоскости Оуг и лежащая в ближнем полупростраистве на расстоянии четырех единиц от нее; 19) плоскость Охг и плоскость, которая делит пополам двуграниый угол между плоскостями Охг, Оуг и проходит в 1, 3, 5 и 7 октантах; 20) плоскость Оху и плоскость, которая делит пополам двуграниый угол между плоско.

стями Оху, Охг и проходит в 3, 4, 5 и 6 октантах. 889. х'+д'+г'=г~. 890. (х — и)'+(у — р)'+(г-у)' г'. 891. у — 3=0. 892.2г — 7=0. 893. 2х+ 3=0. 894. 20у+ 53 О, 895. х2+ уз+ г'- = а~, хг з гз 896, х' + у' + г' = а'. 897, х + 2г = О. 898. — + — + — = 1, 9 9 25 „2 „г га 899. — — — + — = — 1. 900. Точки М„М, лежат на данной 16 9 16 линии; точки Мг, М, не лежат на ней. 901.

Линии 1) и 3) проходят через начало координат. 902. 1) (3; 2; 6) и (3; — 2; 6) (3; 2; 6) и ( — 3; 2; 6); 3) на данной линии нет такой точки. 903, 1) Ось апликат; 2) ось ординат; 3) ось абсцисс; 4) прямая, проходящая через точку. (2; 0; О) параллельно оси Ог; 5) прямая, проходящая через точку. ( — 2; 3; 0) параллельно оси Ог; 6) прямая, проходящая через точку. (5; 0; -2) параллельно оси Оу; 7) прямая, проходящая через точку (О; — 2, 5) параллельно оси Ох; 8) окружность, лежащая па плоскости Оху, с центром в начале координат и радиусом, равным 3; 9) окружность, лежащая на плоскости Охг, с центром в начале координат и радиусом, равным 7; ! 0) окружность, лежащая на плоч скости Оуг, е центром в начале координат и радиусом, равным 51 11) окружность, лежащая на плоскости и — 2 = О, е центром, в точке (О; 0; 2) и радиусом, равным 4. 904.

х'+у'+г' 9, у=О. 906. х~+ у2+ г' 25, у+ 2 = О. 906. (х — 5)2+ (у+ 2)~ -,' -1- (г — 1) 2 = 169, х = О. 907. х2 + у~ + г2 = 36. (х — 1)2 + (у + 2) ~ ( + (г — 2)' = 25. 908. (2; 3; -6), (-2; 3; -6), 909. (1'1 2; 2), ( — 1; 2; 2), 910. 1) Цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Оу, имеющая направляющей окружность, которая на плоскости Охг определяется уравнением х'+ г'=25; 2) цилиндри- 231 ческая поверхность с образующими, параллельными оси Ох, имеющая направлякицей эллипс, который на плоскости Оуг определяется г гз уравнением — + —.=1; 3) цилиндрическая поверхность с обра- 25 16 зующими, параллельными оси Ог, имеющая направляющей гиперболу, хз д которая на плоскости Оху определяется уравнением — — — =1 16 9 4) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельнымн оси Оу, имеющая направляющей параболу, которая на плоскости Охг определяется уравнением х' = 6г; 5) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Ог, имеющая направляющей пару прямых, которые на плоскости Оху определяются уравнениями х О, х — у=О; эта цилиндрическая поверхность состоит из двух плоскостей; 6) цйлнндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Оу, имеющая раправляющей пару прямых, которые на плоскости Охг определяются уравнениями х — г=О, х+г 0; эта цилиндрическая поверхность состоит из двух плоскостей; 7) ось абсцисс; 8) уравнение никакого геометрического образа в прострзнстве не определяет; 9) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Оу, имеющая направляюшей окружность; направляющая на плоскости Охг определяется уравнением х'+ (г — 1)' 1; 10) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Ох; направляющая иа плоскости Оуг опреде1~в 1 ляется уравнением у'+ г+ — ) = —.