Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980), страница 37

100); 9 25 »2 уг 3) половина эллипса — + — =1, расположенная в левой полу- 4 9 У2 плоскости (рис. 101); 4) половина эллипса х'+ — 1, располо- 49 женная в правой полуплоскости (рис. 102). 456. 15. 457. 8. 458. 5»+ 12У+ !0=0, х — 2 О. 459. г, =2,6, гг= 7,4. 460. 20. 461. !О. 462. ( — 5; 33' 3) и ( — 5; — ЗУЗ). 463.

~ — 2; — ~ и — )~21 ! хг уг — 2; — — ~. 464, 3 и 7. 465.!) — + — ' 1; У 2 ~' ' ' Зб 9 х' уг хг уг хг уг 2) — + — 1; 3) †, + †' 1; 4) — + ' — = 1; 16 го/г ' 20 15 ' 20 4 хг уг х" у х2 5) — + — =1; 6) —,+ — 1; 7) — + -=1. 9 5 ' 256 !92 ' 15 6 466. 1) —,; 2) —; 3) —; 4) —, Рис. 100.

- Рнс. !О!. Рис. 102. Рис, 99, !' 2 (» — хо) (у — уо) 467. е 468, г + (т — 3)2 (у+ 4) 1 470 (х+ 3) (у — 2)2 9 + !6 ' ' 9 4 2 47!. 1) С (3; — 1), полуоси 3 и ~ 5, е = —, уравнения директрис: 2х — !5 О, 2х+3= О; 2) С(-.1;2), полуоси 5 и 4, и — уравнения директрис: Зх — 22 О, Эх+28= 0; 3) С(1; -2), 3 5' 1 полуоси 2 )' 3 н 4, е = †, уравнения директрис: У-6=0, у+10=0.

(х — 3)' (у + 7)' 472. 1) Половина эллипса + 4 . =1, расположенная 2о (х+ 3)2 над прямой у+ 7=0 (рис. 103); 2) половина эллипса 216 (у -!)й .1- — ° 1, расположенная под прямой у — 1=0 (рнс. 104); 16 х' (у+ 3)' 3) половина эллипса — + 16 4 = 1 расположенная в левой полуплоскости (рис.

105); 4) половина эллипса (х-! 5)~ (у — 1) + — =1 4 9 расположенная вправ~ от прямой х+ 5 = 0 (рис. 106). Рис. 104. Рис, 103, Рис, 106. Рис. 105. (х — 2)~ у~ 473, 1) + — =1; 2) 2х'- — 2ху+2у' — 3=0; 3) 68хе+ 169 25 ! 48ху + 82у~ — 625 = 0; 4) 11х~ + 2ху + 11у' — 48х :48у — 24 = О. 474. 5х~ + 9у~ + 4х — 18у — 55 = О. 475.

4х~+Зу~+32х — 14у+59=0. 476. 4х~-1- 5у~+ 14х+ 40у+ 81 = 0. 477, 7х~ — 2ху+ 7у~ — 46х+ .«.-2у -1- 7! = О. 478. 17х' + 8ху +23у' + ЗОх — 40и — 175 = О. 479. ~~+ 2уе — бх+24у+31 =О. 480, ~4; — ), (3; 2). 481. ~З; ф— прямая касается эллипса. 482. Прямая проходит вне эллипса. 483. 1) Прямая пересекает эллипс; 2) проходит вне эллипса; 3) касается эллипса. 484. 1) При !т!<5 — пересекает эллипс; 2) при т= й.5 — касается эллипса; 3) при !т~>5 — проходит вне эллипса. 485. Иа'+Ь'=т~. 486. — '+ — ' *1. 488, Зх+2у-10 О а' Ь' и Зх+2у+10 О. 489.

х+у — 5 О н х+у+5 О. 490. 2х— — у — 12=0, 2х-у+!2=0; И вЂ”, 491. М~(-3; 2); И=)~13. 24 ~~5 492. х+ у — 5 0 и х+ 4у — 10 О. 493. 4х — бу — 10 О, х' у' х' 4у' хв уе 494, Ы = 18. 495. — + — ! или — + — аа 1. 496. — + — 1, 20 5 80 5 ' ' 40 10 217 499. — + — = 1.

У к а з а н н е. Воспользоваться своиством эллипса, ~2 У2 '!7 8 х' у' сформулированным в задаче 498. 500. — + —. 1. Ук а з анне Воспользоваться свойством эллипса, сформулированным в задаче 498, 502. 2х+1!у — 10=0. Указание. Воспользоваться свойствон эллипса, сформулированным в задаче 501. 503. (3; 2) и (3; -2), 504. Я . 505.

10,б $~3 ° б06. (р 60' 507. '16,8. б08. 60о ~ и!з+йз у' 509. В эллипс, уравнение которого — + — 1. 510. х'+ у'=9. 511. — + У юв!. 512. дав —, 513. д= —, 514, д! =, дз= —, 36 !6 3' ' 3 ' 3 5' х' у' х' у' х' у' х' 515. 1) — — — * 1; 2) — — — 1; 3) — — — *1; 4) —— 25 16 ' 9 !6 ' 4 5 ' 64 х' у' х' у' х' у' — ю1' 5) — — — а 1; 6) — — — =1; 7) — — — 1; 36 ' 36 64 ' 144 25 ' 16 9 8) — — = 1; 9) — — — 1. 516.

1) — 3 4 — 1; 4 5 ' 64 36 36 324 х2 3 хз У2 хз У2 2) — — ' — 1; 3) — — !!!~ — 1; 4) —, 25 — 1; !6 9 ' 100 576 ' 24 5) — — У = — 1, 517. 1) а 3, Ь = 2; 2) а = 4, Ь = 1; 3) д = 4, 9 16 5 5, Ь = 2; 4) а = 1, Ь 1; 5) а = 2, Ь = 3 1 6) а 5, Ь = 4 1 7) а = †, Ь 8 . б18. 1) а = 3, Ь = 4; 2) Р! (-5; О), Р (5; 0); 1 1 3' 3) з — ' 4) у -~ — х; 5) х= й —. 519. 1) а= 3, Ь=4; 5 4 9 ! 3 5 ° 5 4 16 2) Р, (О; -5), Р, (О; 5); 3) з 4 1 4) У = ~ — х; 5) У = й — . Рис. 107. х' у' б20.

12 кв. ед. 521. 1) Часть гиперболы — — — * 1, расположен- 9 4 ная в верхней полуплоскости (рис. 107); 2) ветвь гиперболы х' — —" — 1, расположенная в нижней полуплоскости (рис. 108)! 9 Ф хз У2 3) ветвь гиперболы — — — 1, расположенная в левой полупло. 16 9 218 х2 уд ск кости (рис. 109); 4) неть гиперболы — — — = — 1, расположен- 25 4 иая в верхней полуплоскости (рис, 110), 522. х — 4У5 у+ 10=0 1 1 10 О 523 г2 2 9 гд 10 4 524 8 525 12 525 10 622.22.626. (16; — ! 9 116; — ). 629 1 — 642 34 91-6' — 42и32 Рис.

109. Рис. 108. 1 ! х' у' 533. 2 — и 26 — . 531. См. рис, 111, 532. 1)— 12 !2 ' ' ' ' 32 8 хд уд хд уд хд 2! х' — уд 16; 3) — — — 1; 4) — — — =1 или 18 8 4 5 /д — =1; 5) — — у 1, 533. в= !'2. 534, е=)~З. Зд'/ в 16 9 х' у' х' у' (х-хо)д (у — уд)2 535. — — — = !. 536. — — — = 1. 540 1) — — 1; 4 12 ' ' 60 40 ' ' од !22 2) (х — хд) з 64У вЂ” Уд)' цд (Зд =6 — 1.

У 541. !) С (2; — 3), а=З, Ь= 4, и = д/д, уравнения директрис: 5х — ! =О, Бх — 19= О, уравнения Рис. 110. Рис. 111. исимптот; 4х — Зу — 17=0, 4х+ Зу+ 1=0; 2) С ( — 5; 1), а= 8, 5 = 6, е = 1,25, уравнения директрис. х = — 11,4 и х = 1,4, уравнения асимптот: Зх+4у+11 0 и Зх — 4у+.19 =0; 3) С(2; -1), а = 3, б = 4, е = 1,25, уравнения директрис, 'у = — 4,2, у = 2,2, уравнения асимптот: 4х + Зу - 5 = О, 4х - Зу — 11 = О.

542. 1) Часть 219 (х — 2)2: (у+ 1) гиперболы 9 4 1, располеженная над прямой (» — ЗР (у — 7)" у+ ! =0 !рис. 112); 2) ветвь гиперболы 9 Рис, 1!2. расположенная под прямой у — 7 0 !рнс. 1!3); 3) ветвь гиперболы (х — 9Р !у+ 2)' !6 4 1, расположенная влево от прямои х — 9=0 (х — 5)' !у+ 2)~ (рис. 1!4); 4) часть гиперболы 1 Располо Рис, 1!4. Рнс. 1!3. (х — 3)' женная влево от прямой х-5=0 (рис. 115). 543.

1) !44 = 1; 2),24ху+ 7у2 — 144~0; 3) 2ху+ 2х — 2у+ 7 О. (у — 2)ч 25 х' у' х' у' 544, — — — = 1. 545. — — — * — 1, 545. х' — 4у2 — бк— 16 9 ' ' 25 144 — 24у — 47 = О. 547. 7х' — 6ху — у' + 26х — !8у-17 = О, 548. 9!х'- д2 — 100ху + !6у-' — !36х + 86у - 47 О, 549. ху — при повороте 2 ц2 сгарых осей на угол -45' ху — — прн повороте на угол+45'. 550. 1) С (О; 0). а ° Ь 6, уравнения асимптот: х= О и у ° О! 2) С (О; 0), а =Ь=3, уравнения аснмптот: х= 0 и у=О, 3) С (О; О), 714 2 ! а=Ь=5, уравнения асимптот:х Ону О. 551.

(6; 2) и ф, — 3 '). 220 552, ~ —; 3 — прямая касается гиперболы. 553. Прямая проходит / 25 .~4) вне гиперболы. 554. 1) Касается гиперболы; 2) пересекает гиперболт в двух точках; 3) проходит вне гиперболы. 555. !) При !щ !">4,5 — пересекает гиперболу; 2) при т =+ 4,5 — касается гиперболы; 3) при 1 т ~ (4,5-проходит вне гиперболы. 556. йгаг — Ьг тг.

557, ' — — "'" 1. 559. Зх — 4у — !О =О, Зх — 4у+!О= О. 560. 1Ох — Зу — 32 = О, 1Ох — Зу + 32 = О, 561. х+ 2у — 4 = О, « -1- 2у + 4 =ы 0; д = —. Б62, ~И, ( — 6; 3); 8 г'о Д вЂ” )~!3. 11 13 563. 5х — Зу — !6 = О, !3« -1-5у+ 48 =0. 564, 2х+ 5у — 16 О. 17 хг у' 565. а' = — 'г' 10. 10 566. 5 45 Зх' 4у' хг уг д — аю 1, 567, — — — =1 !0 45 ' ' !6 568, « — 4, х 4 у= — 1 и у 1. У~ = хг г!г хг г 572. — — — аы 1.

5 4 573 16 9 575. 2х + 11у + 6 = О. У к а з а н и е. Воспользоваться свойством гиперболы, сформулированным в задаче 574, 577. х' — уг 16. х' у' х' у' 578. — — — 1. !6 9 579. — — — 1. 25 4 2 5 580. д= —, 581. 0=2. 582. дг — — 2, дг в — ° 3' ' ' ' ' 7' 583. 1) у' бх; 2) 'у'=-х; 3) х'= — у; 1 Рис, 1!5.

4) х' — бу. 584, 1). р= 3; в правой полуплоскости симметрично осн Ох,' 2) р 2,5; в верхней полуплоскости симметрично оси Оу; 3) р 2; в левой полуплоскости 1 симметрично оси Ох; 4) Р= —; в нижней полуплоскости симме- 2' Рис, 1!6. Рис. 117, Рис. 118. грично оси Оу, 585 1) уг = 4х; 2) у' -9«; 3) хг у; 4) х' = — 2у. 586. 40 с,и.

587. хг — 12у. 588. 1. Часть параболы у' 4«, расположенная в первом координатном углу (рис, 116); 2) часть параболы у' = — х, расположенная во втором координатном углу (рис. 117); 3) часть параболы у' = — 18х, расположенная в третьем 221 Рис. 119. Рис. 120. Рис. 121. Рис. 123. Рис. 122.

углу (рис, 121); 7) часть параболы х' = Зу, расположенная во втором координатном углу (рис. 122); 8) часть параболы х' — !Вд, рас. положенная в четвертом координатном углу (рис. 123). 589. Р (6; 0), Рис. 125. Рис. 126. х+6 О. 590. 12, 591. 6. 592. (9; 12), (9; — 12). 593. у'-= — 28х. 594. 1) (у — В)' = 2р (х — а); 2) (у — р)' = — 2р (х-а).

595. 1) (х — а)' = 2р (у — р), 2) (х — а)~ = — 2р (у — р). 595. 1) А (2; 0), р =2, х — 1 0; 2) А~ —; 0~, р=3, 6х — 13=0; 3) А~О; — — ~, р 3, Од+11 0; 4) А(0; 2), р= —, 4у-9=0. 597. 1) А( — 2; 1),р= 2' 1 222 Рис. 124 координатном углу (рис, !18); 4) часть параболы у'=4х, располо. жеиная в четвертом координатном углу (рис, 119); 5) часть пара. болы х' 5у, расположенная в первом координатном углу (рис.

12О); 6) 'часть параболы х' = -25у, расположенная в третьем координатном 2) А (1; 3), р= —; 3) А (6; — 1), Р=З, 598. 1) А ( — 4; 3), р= —; 1 1 2) А (1; 2), р=2; 3) А (О; 1), р= —. 599. 1) Часть параболы 1 (у — 3)'=16(х — 1), расположенная под прямой у — З=О (рис. 124); 2) часть параболы (х+ 4)'= 9 (у+ 5), расположенная вправо от прямой х+4=0 (рис. 125); 3) часть параболы (х — 2)з= — 2 (у — 3), расположенная влево от прямой х — 2=0 (рис. 126); 4) часть параболы (у+5)з= — 3(х+7), расположенная под прямой у+5=0 (рис. 127). 600.