Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980)

Д. В, КЛЕТЕНИК СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОГ ГЕОМЕТРИИ Под редакцией проф. Н, В. ЕФИМОВА ИЗДАНИЕ ТРИНАДЦАТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ Л внушено Министерством высшего и среднего сяеииального образования СССР в качестве учебного яособия для студентов высших учебных заведений МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1980 л2.!о!.5 К 48 УДК 51б От ивдателбетвГ4 Настоящее (тринадцатое) издание книги не отличается от предыдущего (1975 г.) Завив Викторович Клегеник Сборник задач по аналитической геометрии М., 1980 г., 240 стр. с нлл. Редакторы Ф.

и. Кивнер, В. В. данченко Техн. редактор В. Н, Кондакова Корректоры Т. С. 77лвгнева, Н. Д, дорохова ИВ № !!59б Печать с матриц. Подписано к печати 05.03.80. Бумага 84Х108'/м, тнп. № 3. Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн, печ.л. 12,б. Уч.-изд. л.

14„73, Тира>к 200 000 экз, (1-й завод 1-100 000 зкз.!. Заказ № 2899. 1!ена книги 55 коп. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Отпечатано с матриц Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской типография № 2 имени Евгении Соколовой «Союзполиграфпрома» яри Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.

Измайловский проспект„29 в типографии № 2 изд-ва «Наука», Москва, Г.99, Шубинский пер., 10 ОГЛАВЛ ЕН И Е ЧАСТЬ ПЕРВАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Г л а в а 1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 5 $1. Ось и отрезки осн. Координаты на прямой (5). 5 2. Декартовы прямоугольные коордянаты иа плоскости (7). $3, Полярные координаты (9). э 4.

Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекция отрезка иа оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точкамн (12). $5. Деление отрезка в данном отношении (!6). $6. Площадь треугольника (20). $7. Преобразование координат (2!), Глава 2. Уравнение линии,....,..., ° а . 25 З 8. Функция двух переменных (25). $9.

Понятие уравнения линии, Задание линии при помощи уравнения (27), 5 1О. Вывод уравнений заранее данных линий (29). $1!. параметрические уравнения линии (33), Г л а в а 3. Линии первого порядка э в ° ° ° . 85 3 12, Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых (35). й 13.

Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение прямой «в отрезках» (43). 5 !4. Нормальное уравнение прямой, Задача определения расстояния от точки до прямой (47). 5 15, Уравнение пучка прямых (БЗ). $16. Полярное уравнение прямой (56).

Г л а в а 4. Геометрические свойства линий второго порядка 58 З 17, Окружность (58). $ 18. Эллипс (64). $ !9, Гипербола (75). $20. Парабола (85). $21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы н па. раболы (90). $22, Диаметры линий второго порядка (92). Г л а в а 5. Упрощение общего уравнения линии второго порядка. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и ее приложениях..., 95 5 23.

Центр линии второго порядка (96). 5 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линни второго порядка (98). 25. Приведение к простейшему аиду параболического уравнения (103). 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике н ее приложениях (105). )в 8 ЧАСТЬ ВТОРАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Г л а в а 6. Некоторые простейшие задачи аналитической гео. метрии в пространстве 6 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве (112). $28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении (113).

116 Г л а в а 7. Векторная алгебра й 29. Понятие вектора. Проекции вектора (!!6), $30, Линейные операции над векторамн (1!8). 6 31. Скалярное произведение векторов (124), 6 32. Векторное произведение векторов (!28). 6 33. Смешанное произведение трех векторов (131). $ 34.

Двойное векторное произведение (!33.) 138 Г л а в а 8. Уравнение поверхности и уравнения линии 3 35, Уравнение поверхности (!35). й 36. Уравнения панин. Задача пересечении трех поверхностей (138). 6 37. Уравнение цилиндрической оверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей (139). 141 Приложение. Элементы теории определителей 6 !.

Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (185). $2. Однородная система двух уравнений первой стевени с тремя неизвестнымн (!87). % 3. Определители третьего порядка (188). $4. Свойства определителей (190). 9 5. Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвест* ными (194). 6 6.

Определители четвертого порядка (!96), Ответы и указания к задачам Г л а в а 9. Уравнение плоскости. Уравнения прямой. Уравнения поверхностей второго порядка з 38, Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку н имеющей данный нормальный вектор (!41). $39. Неполйые уравйения плоскостей, Уравнение плоскости «в отрезках» (!45).

й 40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости (!47); 9 41. Уравнения прямой (15!). % 42, Направляющий вектор прямой, Каионические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой (!54). % 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости н уравнениям прямой (!59), $44. Сфера (165), 6 45.

Уравнения плоскости, прямой И Сферы в векторной символике (!70), 9 46. Поверхности второго порядка (174). ЧАСТЬ ПЕРВАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ГЛАВА 1 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ 5 1, Ось н отрезок оси. Координаты на прямой Прямая, на которой выбрано положительное направление, иа. зывается осью. Отрезок осн, ограниченный какими. нибудь точками А и В, называется направленным, если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая — концом. Направленный отрезок с началом А и концом В обозначается символом АВ.

Величиной направленного отрезка осн называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (т. е. направление от начала к концу) совпадает с положительным направлением оси, н со знаком минус, если это направление противоположно положительному направлению оси, Величина отрезка АВ обозначается символом АВ, его длина — символом ~АВ(. Если точки А н В совпадают, то, опрсдечяемый ими отрезок называется нулевым; очевидно, в этом случае АВ = ВЛ = О (направление пулевого отрезка следует считать неопределенным). Пусть дана произвольная прямая .а.

Выберем некоторый отрезок в качестве единицы измерения длин, назначим на прямой а положительное направление (после чего она становится осью) *) н отметим на этой прямой буквой О какую-нибудь точку, Тем самым на прямой а будет введена система координат. Координатой любой точки М прямой а (г. установленной системе координат) называется число х, равное йеличиие отрезка ОМ: х =ОМ. Точка О называется началом координат; ее собственная координата равна нулю. В дальнейшем символ М(х) означает, что точка М имеет координату х. Если М1(х~) н М~(х2) — две произвольные точки прямой а, 1о формула М!М2 ха х! выражает величину отрезка М~Мь формула )М~М~~ = ~х2 — х;~ гыражает его длину.

*) Обычно на чертежах у горизонтальных осей положительным назначается направление слева направо. $. Построить точки А(3), В(5), С(-1), 0 [ — ~, Е~ — ~, ~ Ь' 2), О( — [/ 5). 2. Построить точки, координаты которых удовлетворяютуравнениям; 1) [х[ = 2; 2) [х-1[=3;3) [1 — х[= =2; 4) [2+х[ =2, 3. Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам~ 1) х>2; 2) х — 3(0; 3) 12 — х(0; 4) 2х — 3(0; 5) Зх — 5 ° 0; 6) 1 ~ х ( 3; 7) — 2 ~-: х ~ 3;8) — > >О, 9) — >1, 10) — <О, 11) — <1, '12) х2 — 8х+15(0; 13) -х2 — 8х+15 О, 14) х2+ + х — 12 > 0; 15) х2 '+ х — 12 ~ О. 4.

Определить величину АВ и длину [АВ[ отрезка, заданного точками: 1) А(З) и В(11)1 2) А(5) и В(2); 3) А( — 1) и В(3)1 4) А( — 5) и В( — 3)', 5) А( — 1) и В( — 3); 6) А( — 7) и В( — 5). 5. Вычислить координату точки А, если известны: 1) В(3) н АВ=5; 2) В(2) и АВ= — 3; 3) В( — 1) и ВА =2; 4) В( — 5) и ВА = — 3; 5) В(0) н [АВ[ =2; 6) В(2) и [АВ['= 3; 7) В( — 1) и [АВ[ =5; 8) В( — 5) и [АВ[ = 2. 6.

Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют следующим неравенствам: 1) [х[<1; 2) !х[>2; 3) !х [~2; 4) [х[~3; 5) [х — 2[<3; 6) [ х — 5 [(1; 7) [ х — 1 [ 2; 8) [ х — 3 [) 1; 9) [ х+ 1 [ < 3; 10) ! х + 2 [ > 1; 11) [ х + 5 [:: 1; 12) [ х + 1 [ » «2. АС 7. Определить отношение Х = —, в котором точка С делит отрезок АВ при следующих данных: 1) А(2), В(6) и С(4); 2) А(2), В(4) и С(7); 3) А( — 1), В(5) и С(3); 4) А(1), В(13) и С(5); 5) А(5), В( — 2) и С( — 5). 8. Даны три точки А( — 7), В( — 1) и С(1). Определить отношение А, в котором каждая из ннх делит отрезок, ограниченный двумя другими. 9.

Определить отношение Х= —, в котором дан- М~М мм * ная точка М(х) делит отрезок М~И2, ограниченный данными точками М~(х~) и М2(х2). 10. Определить координату х точки М, делящей отрезок М1Л1з, ограниченный данными точками М!(х~) и М~М ! Ма~хат н данном отношении ММз /' 11. Определить координату х середины отрезка, ограниченного двумя данными точками М~(х~) и Мз(хз).

12. Определить координату х середины отрезка, ограниченного двумя данными точками, в каждом из следующих случаев; 1) Л(3) и В(5); 2) С( — 1) и 0(5); 3) М1( 1) и Мз( 3); 4) Р~( — 5) и Рз(1) т 5) 01(3) 62( — 4). 13. Определить координату точки М, если известны: 1) М! (3), Мз(7) и А=М1 = 2; 2) А(2), В( — 5) и Х= — =3; 3) С( — 1), Х>(3) и Л= — = —; СМ 1 4) А( — 1), В(3) и 1~ Мв 2 АМ 5) А(1), В( — 3) и Х= — = — 3; ВМ 6) А( — 2) В( — 1) и Х= — = — —,. ВМ а МА 2' 14. Даны две точки Л (5) и В( — 3).