Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Определить: 1) координату точки М, симметричной точке А относительно точки В; 2) координату точки И, симметричной точке В относительно точки А. 15. Отрезок, ограниченный точками А( — 2) и В(19), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления. !6. Определить координаты концов А и В отрезка, который точками Р( — 25) и Я( — 9) разделен на три равные части. $ 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости ~декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком.
нибудь порядке. Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси — координатными осями. Первая из координатных осей называется осью абсцисс, а вторая — осью ординат. Начало координат обозначается буквой О, ось абсцисс — символом Ох, ось ординат — символом Од. Координатами произвольной точки М в заданной системе называют числа х = ОМ„, я = ОМд (рис. 1), где М и Мк суть проекции точки М на оси Ох и Оу, ОМ„ обозначает величину отрезка ОМ„оси абсцисс, ОМ, — величину отрезка ОМт оси ординат. Число х называется абсциссой точки М, число у называется ординатой этой же У точки. Символ М(х; у) обозначает, что точка М имеет абсциссой число х, а ординатой число у.
Ось Оу разделяет всю плоскость иа две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси Ох, называется правой, другая — левой. Точно так же ось Ох разб) р~ х деляет плоскость на две полуплоскости„ у х та из них, которая расположена в положительном направлении оси Оу, назыРис. 1. вается верхней, другая нижней. Обе координатные оси вместе раз- деляют плоскость на четыре четверти, которые нумеруют по следующему правилу: первой координатной четвертью называется та, которая лежит одновременно в правой и в верхней полуплоскости, второй — лежащая в левой и в верхней полуплоскостн, третьей — лежащая в левой и в нижней полуплоско. сти, четвертой — лежащая в правой и в нижней полуплоскости. 17, Построить точки А(2; 3), В( — 5; 1), С( — 2; — 3), В~О', 3), Е( — 5; 0), Р( — —; -). 18.
Найти координаты проекций на ось абсцисс точек А (2; — 3), В (3; — 1), С( — 5; 1), Р ( — 3; — 2), Е( — 5; — 1) . 19. Найти координаты проекций на ось ординат точек А ( — 3; 2), В( — 5; 1), С(3; — 2), Р( — 1; 1), Е( — 6; — 2). 20. Найти координаты точек, симметричных относительно оси Ох точкам: 1) А (2; 3); 2) В( — 3; 2); 3) С( — 11 — 1); 4) Р( — 3; — 5); 5) Е( — 4; 6); 6) ~(а; 1)). 21. Найти координаты точек, симметричных относительно оси Оу точкам: 1) А ( — 1; 2); 2) В (3; — 1), 3) С( — 2» —.2); 4) Р( — 2", 5); 5) Е(3; — 5); 6) Р(а; Ь), 22. Найти координаты точек, симметричных относительно начала координат точкам: 1) А(3; 3); 2) В(2; — 4); 3) С( — 2; 1); 4) Р(5; — 3); 5) Е( — 5; — 4); 6) Е(.а; Ь).
23. Найти координаты точек, симметричных относительно биссектрисы первого координатного угла точкам: 1) А (2; 3); 2) В(5; — 2); 3) С( — 3; 4). 24. Найти координаты точек, симметричных относи. тельно биссектрисы второго координатного угла точкам: 1) А(3; Б), 2) В( — 4; 3); 3) С(7; — 2). 25. Определить, в каких четвертях может быть расположена точка М(х;у), если: 1) хд) 0; 2) ху(0; 3) х — у=О;4) х+у=О; 5) х+у)0;6) х+у:.0; 7) х — д)0;8) х — д< О. $ 3. Полярные координаты Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча ОА, исходящего из этои точки, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин.
Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты У вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положитель- .о ными считаются повороты против часовой стрелки). Ф Полярными координатами произвольной точки М (относительно задан- г7 д пой системы) называются числа р=ОМ и 0 = АЛОМ (рис. 2). Угол О при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии.
Число р называется первой координатой, или полярным радиусом, число 0 — второй .координатой, или полярным углом точки М (О называют также амплитудой) *). Символ М(р; О) обозначает, что точка М имеет полярные' координаты р и О. Полярный угол О имеет бесконечно много возможных значений (отлича|ошихся друг от друга на величину вида +оп, где и: — целое положителыие число).
Значение полярного угла, удовлетворяюшее неравенствам — и ~ О (+и, называется главным. В случаях одновременного рассмотрения декартовой н полярной систем координат условимся: 1) пользоваться одним и тем же масштабом, 2) при определении полярных углов считать положительными повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путем сонме. стить ее с положительной полуосью ординат (такнм образом, если осн декартовой системы находятся в обычном расположении, т. е.
ось Ох направлена вправо, а ось Оу — вверх, то и отсчет полярных ~) Здесь ОМ обозначает длину отрезка, понимаемую как в элементарной геометрии (т. е. абсолютно, без учета знака), Употреб. лять более громоздкий. символ ~ОМ~ в данном случае нет надобности, поскольку точки О и М рассматриваются как произвольные точки плоскости,.
а ие.как точки некоторои осп. Подобное упрощение символики в аналогичных случаях часто делается и дальше: угтчов должен быть обычйыл(, т, е, положитечьнымн следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки). При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки осуц(ествляется по формулам х=рсоз8, у=рв(п0.
В этом же случае формулы р=Ух'+у2, 1дО=— Д х являются формулами перехода от декартовых координат к полярным. При одновременном рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми. 26.
Построить точки, заданные полярными координатаии: А(31 — "), В(2; и), С(31 — — ), В'(41 3-), Е(5; 2) и Г(1; — 1) (для точек Р, Е и Р выполнить построение приближенно, пользуясь транспортиром), 27. Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам И( 3;— Мз(21 — "), Ма(3; — 3), М,(1, 2) и Ма(5; — 1), заданным в полярной системе координат.
28. Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полюса точкам М( 1; 4 М, (51 -'), Мз (2, — -), М, (41 — и) и М,(3; — 2), заданным в полярной системе координат. 29. В полярной системе координат даны две вершины А 3; — — 2т! и В~5; —,я параллелограмма АВСР, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины этого параллелограмма.
30. В полярной системе координат даны точки А 8; — -о-и) и В~6; ~-~, Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки А и В, 31. В полярной системе координат даны точки А (3, ), В (21 — -), С (11 и), В (5', — — и), Е(3; 2) и 10 Г(2; — 1), Положительное направление полярной оси изменено на противоположное. Определить полярные координаты заданных точек в новой системе. 32. В полярной системе координат даны точки И, (3; — ), д1е(1; — и), Ма(2', 0), М,(5; — ), Мв(3; — — и) !! и М6 1; — „я . Полярная ось повернута так, что в новом положении она проходит через точку М,. Определить координаты заданных точек в новой (полярной) системе.
33. В полярной системе координат даны точки М! 12; — а) и М,~12; — — ж . Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки М, и М,. 34. В полярной системе координат даны точки М1(р~', 01) и М2(р2, О.). Вычислить расстояние д между ними. 35. В полярной системе координат даны точки М! 5; 4~ и М~~8; — — !~~. Вычислить расстояние д ме. жду ними.
36. В полярной системе координат даны две смежные ж~ (. ж1' вершины квадрата М, (12; — — !о~ и М~ ~3; — ~. Определить его площадь. 37. В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата Р!б; — —,и) и Я (4; — и). Определить его площадь. 38. В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника А 4; — —, ч) и В~8; —, т . Определить его площадь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
