Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980), страница 38

х = — уе — у+ 7, 1 4 б 1 601. у = — хз — х+ 3. 602, хз+ 8 р У=у з +2ху+ уз — бх+ 2у+9=0. 603. Р (9; — 8), . 604. 4хз — 4ху+ +уз+32х+34у+89=0. 605. (2; 1), ( — 6„9). 606. ( — 4; 6) — прямая касается параболы. 607. Прямая и парабола не пересекаются, 608. 1) Касается параболы; 2) пе- Рнс. 127.

ресекает параболу в двух точках; 1 1 1 3) проходит вне параболы, 609. 1) а < —; 2) я= —; 3) а > —. 2' 2' 2' 610. р = 2ЬФ. 612. у,у= р (х+ ха). 613. х+ у+2 =О. 614, 2х— — у — 16=0 615* 0=2 У13 616- М~ (9: — 24)' И=10 617 Зх— — у-!-3=0 н Зх — 2у+12=0. 6!9. 5х — 18у+25=0 620. с(=13 —. 5 13* 621. (6: 12) н (6; — 12).

622, (!О: ~300), (10; — ~ 30), (2; )/ 6 ), (2; — $~ 6 ). 623. (2; 1), ( — 1; 4), ~; ) и г 3+ )ГГЗ 7+ ~Г13 ~ 2 ' 2 < 3 — к'13 7 — к'13~ 625. у — !8=0. У к а з а н и е. Вос- 2 ' 2 /' пользоваться свойством параболы, сформулированным в задаче 624.

Р 5 3 8' 2) 5+3 О' 629' 1) р 4 5 16 !6 д 5 — ЗсозО' 5+Зсоз8' 4 — 5 сов О' 9 144 144 2) р 630. 1) р= ; 2) р=*— 4 — 5 сов О 5+13 сов 81 5+13 соз 8 3 631. р= . 632. 1) Эллипс; 2) парабола; 3) ветвь гиперболы; 1 — соз О 4) эллипс; 5) ветвь гиперболы; 6) парабола. 633. 13, 12. 634. 8, 6, 21 29 635. р= — —, р= —. 636. Уравнения директрис; р 2 сов 8 ' 2 сов 8 ' 34 16 20 — —, р — —; уравнения асимптот: р= 5в!и О' 5соз О' 3 з(п — 4 сов 8' р= —, .637. 6; — . 6; —, 638. 3; — а 3; — — и . 639. 1) —; и;2) р; —, д — — .

640. р» 841. Р = г гО 1' В42. Р 1 — ег совг О ° аг соз'Π— 1 ' з!пг О 643. Вх+ 25у О. 644. 9х — 32у — 73 = О. 645. х — у =О, х+ 4у О, 646. х + 2у = О, Вх — 9у = О, 647. х + 2у = О, 2х — Зу О. 654, 2х — 5у О. 655. 7х + у — 20 = О. 656.

х Ву = О, 2х — у = О. 657. х — 2у = О, Зх — у = 0; х+ 2у = О, Зх+ у = О, 661. у + 2 = О, 662. 2х — у + 1 = О. 865. Линии 1), 2), 5) и 8) имеют единственный центр, 3), 7) — не имеют центра, 4, 6) — имеют бесконечно много центров. 666. 1) (3; -2); 2) (О; -5); 3) (О; 0); 4) ( — 1; 3), 667.

1) х — Зу — 5=0; 2) 2х+у — 2=0; 3) 5х — у+ + 4=0. 868, !) 9хг — 18ху+ бу' +2=0; 2) бхг+4ху+ уг — 7=0; 3) 4хг+ 6ху 1- уг — 5=0; 4) 4хг+ 2ху+ буг+ 1 =0. 689. 1) т~4, п — любое значение; 2) т 4, пчьб; 3) т=4, и=б. 670. 1) 1=2; 2) й, — 1, lгг — — 5; 3) при всех яФ2 и удовлетворяющих неравенствам — 1</г<5; 4) при я< — ! и при я>5. 671.

хг — 8у'— — 4=0. 672. х'+ ху+ уг+Зу =О. 673. 1) Эллиптическое уравнег2 ~2 ние; определяет эллино†+ У 1; 0'(5; -2) — новое начало; у' 2) гиперболическое уравнение; определяет гиперболу — — — 1; 0'(3; -2) — новое начало; 3) эллиптическое уравнение — + — = — 1; не определяет никакого геометрического образа (является уравнением «мнимого эллипса»); 4) гиперболическое уравнение; определяет вырожденную гиперболу — пару пересекающихся прямых 4х' — д' 0; 0'( — 1; -1) — новое начало, '5) эллиптическое уравнение; определяет вырожденный эллипс (единственную точку) 2х' + Зу' О.

674 ")..1) Гиперболическое уравнение; определяет х' у' 1 . 2 гиперболу — — — =1; !да=-2, сова = —, з(па г'5 75 г2 ~2 2) эллиптическое уравнение; определяет эллипс — + — = 1; а = 45', 16 4 3) эллиптическое уравнение; определяет вырожденный эллипс— единственную точку х' + 4у' =0;1па =2,сова ==,з!па==; У'5' $~'5' 4) гиперболическое уравнение; определяет вырожденную гипер- 2 болу — пару пересекающихся прямых х' — у' = 0; 1и а = —,, 3 2 соз а = —, з!и а = =; 5) эллиптическое уравнение', не опре- ')~13 ) ГЗ деляет никакого геометрического образа (является уравнением «мпимого эллипса»); в новых координатах его уравнение имеет вид ~2 — + у'~ = — 1; а = 45'.

675. 1) Гиперболическое; 2) элтиптиче- 4 скос; 3) параболическое; 4) эллиптическое; 5) параболическое; 6) гиперболическое. 676. 1) Гиперболическое уравнение; определяет ) В задачах 674 1) -5) а есть угол от положительного направления старой оси абсцисс до новой. 224 и гиперболу, уравнение котороп приводится к виду х — — = 1 ,з у' 4 путем двух последовательных преооразований координат'. х = х + 2, у=у — 1 н х —, у= — (рис, 128); 2) эллиптическое х' — у' х'+ у' )У2 г'2 уравнение, определяет эллипс, уравнение которого приводится г2 а2 к виду — + — = 1 путем двух последовательных преобразований 18 9 Рис. 129 Рис, 128.

Рис. 130. х'-у' х +у координат: х х — 1, у=у+1 и Я= - — у== (рис. 129); 3) гиперболическое уравнение; определяет гиперболу, х ей 2 уравнение которой приводится к виду — — —,=1 путем двух 38 последовательных преобразований координат: х=х+ 3, у =б — 4 и р = — , р = ррюе. $30у Е) еипероолиееоиое ураих' — 2у' 2х'+ у' )уб 1у 5 8 Й. В, Клетеник пение; определяет вырожденную гиперболу — пару пересекающихся х2 прямых, уравнение которых приводится к виду х — 4у' =О путем двух последовательных преобразований координат: х х — 2, у=у и х 1 у=, (рис.

131); 5) эллиптическое х'+ Зу',~ — Зх'+ у' М 10 .(' 1'10 уравнение; не определяет никакого геометрического образа — «мни. 2 х2 мый эллипс»; его уравнение приводится к виду х +2у — — 1 путем двух последовательных преобразований координат: х = х — 1, у=у и х=, у= .; 6) эллиптическое уравнех'+ Зу' — х'+ у', )У 10 д 10 пие; определяет вырожденный эртатипс — единственную точку; его уравнение приводится к виду 2х' + .х + Зу'2=0 путем двух последовательных преобразований коорди- Р нат:х х, у=у — 2их== 1У 2 х х'+ у', х' ур' Ю' б х $/ 2 30 5 у= ..

677. 1) — + — ' = 1 — элтипс; 2) Охз — 16уа =5— гипербола; 3) х» — 4у» =*0 — выро. жденная гипербола — пара пересекающихся прямых, уравнения которых х — 2у О, х+ 2у = 0; ,х' 4) 2х» + Зул = — 1 — «мнимыи эллипс»; уравнение не опредеутяет никакого геометрического образа; 5) х~ + 2у' = 0 — вырожденный эллипс; уравнение определяет единствепнук точку — начало коор- х' у» х» динат, 6) — + — 1 — эллипс; 7) — — у' 1 — гипербола! 9 4 4 8) — + у" =1 — эллипс 678 1) 3 и 1; 2) 3 и 2; 3.2 1 н -„- а 4) Зм 7. 073.

1) х = 2а у = 31 2) х = За у ~ — 3; 3', х ~ ах !а - -1; 4) х ~ — 2, д = '., 1 680. 1) 2 и 1; 2) 5 и 1; 3) 4 и 2: 4) ~ и -,—. 682 1) х+ у — 1=0, Ох+у+1=0,' 2) х — 4у — 2=0, х — 2д+2- 0; 3) х — у О, х — Зу.=--О, 4) х+ у — 3 .О, х+Зу+ 3=0. 682. 1) Элтипс; 2) гипербола; 31 пара пересекающихся прямых (вырожденная гипер:,азааа) а! УРавнеиис пе опРеделЯет никакого геометРического обРаза ',«мннмый эллипс»); 5) точка (вырожденный эллипс).

689. 1) Параболнчесхое уравнение; определяет параболу, уравнение которой приводится к виду у" = 2х" путем двух последовательных пре- — 4х' + Зд' — Зх' — 4у' образований координат: х = 5 5 н х' = х" — 3, у' = д" + 2 (рис. 132); 2) параболическое уравнение; определяет вырожденную параболу — пару параллельных прямых, аух упавнение которых приводится к виду х' =1 путем двух последо- Зх' — Зу' 2 .Р Зу' аа ежнеьа оре Нраао нр хоорнннан х, у Зхаз и х' х" + =, д' = у" (рис. 133); 3) параболическое уравнение; )~13 не определяет никакого геометрического образа; приводится к виду у"'+ 1 = 0 путем двух последовательных преобразовании координат1 х =, у и х' = х", у' = у" — 4.

690. 1) ув = бх -! Зх' — 4у 4х'+ Зд' 5 ' 5 парабола; 2) у' = 25 — вырожденная парабола — пара параллельных Рйс, 132. Рис. 133. прямых, уравнения которых у — 5=0, у+5=0; 3) у' ° 0 — вырожденная парабола — пара слившихся прямых, совпадающих с осью абсцисс, 693. 1) (х+2у)'+ 4х+ у — 15=0; 2) (Зх — у)' — х+ -1-2у — 14=0; 3) (5х — 2у)'+Зх — у+11=0; 4) (4х+2у)' — 5х+ -1-7у ° О; 5) (Зх — 7у)'+Зх — 2у — 24 О. 697.

1) 3; 2) 3; 3) у'2! 1 4) — )~10. 699. 1) 2х+ д — 5=0, 2х+ у — 1 =0; 2) 2х — Зу-1 =.О, 2х — Зу+ 1! =О; 3) бх — у — 3= 0, бх — у+ 5=0. 700., 1) х — Зу+ + 2 =0; 2) Зх+ бд+ 7=0; 3) 4х — 2у — 9=0. 701. (хв+ у')в— -2св(х' — у') = а4 — с'. 702. (хв+ у')в 2а'(х- '— д".); р'=2а'сов20. 703, рв = Я в!и 2В; (хв+ ув)в = 28хд. 705. р = — В и р = — — О. И И 706. (2г — х) ув хз 707 х (ав -1 уг) аз 708 р а— соз 0 хвдв+(х+а)в(хв — Ьв) О. 709. р = — ~а !д О1 хв ((х+а)в+у')=цвув.

. 0 710. р 2а сов О й Ь; (х'+ у' — 2ах)' = Ь' (х' + у ). 711. р= а) в1и 20 !! 2 з~ 2 (хв+уз)в=4а'хвд'. '712. х= асовз1, у а,1дзу „з 1 з .аз 713. р=а совв О; (хв+у')в=ах'. 714. х = а (сов1+1з!и!); у ц (в!п 1 — 1з!и 1), 715. х а (Š— в!п 1), у = а (1 — соз !); х+Уу (2а — у) =аагссов . 716.

х а(2 сов! — сов й), а — у у .= а (2 з!и ! — в!п 2г); р = 2а (! — сов 0). 717. х = (а + Ь) соз !в а+Ь .. а+Ь вЂ” а соз — 1, у = (а + Ь) з!п1 — а в!и — 1. 718. х = (Ь вЂ” а) срвг+ и и Ь вЂ” а Ь вЂ” а + а сов — 1, у = (Ь вЂ” а) в1и 1 — а з!и — г. а и 227 ЧАСТЬ ВТОРАЯ 720. 1) (4; 3; 0), ( — 3; 2; 0), точка С лежит па плоскости Оху, следовательно, ее проекцИя на эту плоскость с ней совпадает, (О; 0; О); 2) (4, '0, 'б), ( — 31 01 1), (2,'01 0), точка .0 лежит на плоскости Оха, следбвательно, ее проекция йа вту плоскость с ней совпадает1 3) (О; 31 5), (О;21 1), (О; 3; 0), точка д лежит на плоскости ОУя, ее проекция на вту плоскость с ней совпадает; 4) (4; О; 0), (-3; 0; О), (21 0; О), (О; 0', 0)1 5) (О; 31 0), (О; 21 0), (О; 3,' 0), (О; 0; 0); 6) (О; 0; 5), (О; 0; 1), (О; 0; 0), точка 0 лежит на оси апликат, следовательно, ее проекция на эту ось с ней совпадает.