Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980), страница 13

Вычиелить расстояние от точки М4 эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фо- кусом. ! 461. Эксцентриситет эллипса е = —, центр его совпа- дает с началом координат, одна из директрис дана урав- нением х = 16. Вычислить расстояние от точки М) эл- липса с абсциссой, равной -4, до фокуса, односторон- него с данной директрисой. хг у' 462. Определить точки эллипса †, + — = 1, рас- 36 стояние которых до правого фокуса равно 14.

Х2 Ч2 463. Определить точки эллипса —,+ — 1, рас- стояние которых до левого фокуса равно 2,6. 63 ч 2 тггй 464. Через фокус эллипса —. + —. = 1 проведен пер- 26 15 пендикуляр к его большой оси, Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов. 465.

Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны: 1) точка М,(- 2 ~~5; 2) эллипса и его малая полуось Ь=3; 2) точка М2(2; — 2) эллипса и его большая полуось а=4; 3) точки М,(4; — 1/3) и М~(2 $~2; 3) эллипса; 4) точка М,(~Б; — 1) эллипса и расстояние между его фокусами 2с=8; бг точка м,12; — — г эллноса н его экснентркснтет 5'а 2 е ° я э 6) точка М2(8; 12) эллипса и расстояние г2 — — 20 от нее до левого фокуса; 7) точка М,( — $~5; 2) ,Д эллипса и расстояние ме>кду его директрисами равно 1О.

466. Определить эксцентриситет з эллипса, Ю Л' если: 1) его малая ось видна из фокусов под углом в 60'; 2) отрезок между фоку. сами виден из вершин малой оси под прямым углом; 3) расстояние между директрисами в три раза больше расстояния между фокусами; 4) отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса пополам. 467. Через фокус Р эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси (рис.

15). Определить, при каком значении эксцентриситета эллипса отрезки АВ и ОС будут параллельны. 69 468. Составить уравнение эллипса с полуосями а, Ь н центром С(хо, до), если известно, что оси симметрии эл- липса параллельны осям координат. 469. Эллипс касается оси абсцисс в точке А (3; 0) и оси ординат в точке В(0; — 4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям. 470. Точка С( — 3; 2) является центром эллипса, ка- сающегося обеих координатных осей.

Составить урав- нение этого эллипса, зная, что его оси симметрии парал- лельны координатным осям, 471. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис: 1) 5х~+9у' — 30х+18у+9 = 0; 2) 16х'+ 25д'+ 32х — 100у — 284 = 0; 3) 4х~ + Зу' — 8х + 12у — 32 = О. 472.

Установить, какие линии определяются следую. щими уравнениями: 1) у = — 7 + — 1/16 + 6х — х2', 2 5 4 2) у — — з — бх- 3) х= — 2 1у' — 5 — 6у — у' 4) х= — 5+ — ~/8+2у — у2. 2 з Изобразить эти линии на чертеже. 473. Составить уравнение эллипса, зная, что: 1) его большая ось равна 26 и фокусы суть Ру( — 10;0), Р~(14; 0); 2) его малая ось равна 2 и фокусы суть Р~( — 1; — 1), Р2(1, 1), 3) его фокусы суть Р1 ( — 2, -~, Р, ~2; — — ~ и ексиеи. )'у 2 триситет е =— 4) его фокусы суть Р1(1; 3), Р2(3; 1) и расстояние между директрисами равно 12 7 2. 474. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет е= —, фокус Р(2; 1) и уравнение соот- 2 ветствующей директрисы х — 5 = О, 70 475.

Составить уравнение эллипса, еслч известны его эксцентриситет е = —, фокус Е( — 4; 1) и уравнение 1 соответствующей директрисы д+ 3 = О. 476. Точка А( — 3; — 5) лежит на эллипсе, фокус ко- торого Р(-1; — 4), а соответствующая директриса дана уравнечием х — 2 = О. Составить уравнение этого эл- липса. 477. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет е = †, фокус Е(3; 0) и уравнение соот- 1 ветствующей директрисы х+ д — 1 = О. 478.

Точка М~(2; — 1) лежит на эллипсе, фокус кото- рого Р(1; 0), а соответствующая директриса дана урав- нением 2х — д — 10 = О, Составить уравнение этого эл- липса. 479. Точка Мг(3; — 1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой д+6 = О. Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентри- ситет е= —. 2 480. Найти точки пересечения прямой х+ 2д — 7 = 0 и эллипса хг+ 4дг = 25. 48!.

Найти точки пересечения прямой Зх+10д — 25=0 и эллипса — "+ — =1. Д~ 26 4 482. Найти точки пересечения прямой Зх — 4д — 40 0 хг уг и эллипса — + — = 1. 16 9 483. Определить, как расположена прямая относи- тельно эллипса; пересекает ли, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы следующими урав- нениями: 1) 2х — д — 3=0, 2) 2х+ д — 10 =0, хг дг хг уг 16 9 — + —. =1' — + — =1' 9 4 1 3) Зх+2д — 20=0, г дг — + — =1. 40 10 484. Определить, при каких значениях лг прямая д =: — х+т х' у' 1) пересекает эллипс — + — =1; 2) касается егор 3) проходит вне этого эллипса, 71 485.

Выгестп условие, при котором прямая у = Ах+я касается эллипса — + — = 1. У' а' б' 486. Составить уравнение касательной к эллипсу х~ У~ —, + —., = 1 в его точке Ме(хе, уе). х' У' 487. Доказать,что касательные к эллипсу †, + — '„, = 1, проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны. (Диаметром эллипса называется его хорда, проходящая через центр.) 488.

Составить уравнения касательных к эллипсу х2 2у2 — + — „= 1, параллельных прямой Зх+ 2у+ 7 = О. 489. Составить уравнения касательных к эллипсу х'+4у'= 20, перпендикулярных к прямой 2х-2у — 13= = О. х' у' 490. Провести касательные к эллипсу — + — = 1 30 24 параллельно прямой 4х — 2у+ 23 = 0 и вычислить расстояние д между неемее. х2 Ч2 491. На эллипсе — + — '= 1 найти точку Мь бли- !8 8 жайшую к прямой 2х — Зу+25 = О, и вычислить расстояние И от точки Ме до этой прямой. 492. Из точки А ~ —; — ) проведены касательные ~10.

5Е ~3' 3) к эллипсу — + — =1. Составить их уравнения. 20 493, Из точки С(10; — 8) проведены касательные к х2 У2 эллипсу — + —, =1. Составить уравнение хорды, со- 26 Е6 единяющей точки касания. 494. Из точки Р( — 16; 9) проведены касательные к х2 У2 эллипсу — + — =1.

Вычислить расстояние д от точки 4 3 Р до хорды эллипса, соединяющей точки касания. 495. Эллипс проходит через точку А(4; — 1) и касается прямой х + 4у — 10 = О. Составить уравнение этого эллипса при условии, что его оси совпадают с осями координат. 496.

Составить уравнение эллипса, касающегося двух прямых Зх — 2у — 20 = О, х+ бу — 20 = О, при условии, что его оси совпадают с осями координат. 497. Доказать, что произведение расстояний от центра эллипса до точки пересечения любой его касательной 72 с фокальной осью и до основания перпендикулярв, опущенного из точки касания на фокальную ось, есть величина постоянная, равная квадрату большой полуоси эллипса. 498. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату малой полуоси, 499. Прямая х — у — 5 = О касается эллипса, фокусы которого находятся в точках Г~( — 3; О) и Р~(3; О).

Составить уравнение этого эллипса. 500. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к эллипсу Зх+ 10у — 25 = О и его малая полуось Ь = 2. 501. Доказать, что прямая, касающаяся эллипса в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами Р,М, Р~М и проходит вне угла Р~МРь.

К2 ф2 502. Из левого фокуса эллипса — + — = 1 под ту- 45 20 пым углом а к оси Ох направлен луч света. Известно, что 1да = — 2. Дойдя до эллипса, луч от него отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч. 503. Определить точки пересечения двух эллипсов: х~ + 9у~ — 45 = О, х~+ 9у' — бх — 27 = О. 504. Убедившись, что два эллипса ~Рх~+т'д' — т'и'= = О, т'х'+ и'Ч' — т'и~ = О (т Ф и) пересекаются в четырех точках, лежащих на окружности с центром в начале координат, определить радиус Р этой окружности. 505.

Две плоскости я и р образуют угол ~р = 30'. Определить полуоси эллипса, полученного проектированием на плоскость р окружности радиуса Р = 10, лежащей на плоскости и.. 506. Эллипс, малая полуось которого равна 6, является проекцией окружности радиуса Р = 12. Определить угол ~р между плоскостями, в которых лежат эллипс и окружность. 507. Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса Р = 8. Определить полуоси эллипса, полученного в сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к его оси под углом «р = ЗО'. 508.