Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980), страница 12

Из точки Р(2; — 3) проведены касательные к окружности (х — 1)'+ (у+ 5)' = 4. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания. 432. Из точки С(6; — 8) проведены касательные к окружности х'+ у' = 25. Вычислить расстояние д от точки С до хорды, соединяющей точки касания. 433. Из точки Р( — 9; 3) проведены касательные к окружности х'+у' — 6х+4у — 78= 0. Вычислить расстояние д от центра окружности до хорды, соединяющей точки касания. 434.

Из точки М(4; — 4) проведены касательные к окружности х'+ у' — 6х+ 2у+ 5 = О. Вычислить длину й хорды, соединяющей точки касания. 435. Вычислить длину касательной, проведенной из точки А(1; — 2) к окружности х~+ у~+ х — Зу — 3 = О. 436. Составить уравнения касательных к окружности х'+у'+10х — 2у+6 =О, параллельных прямой 2х+ +у — 7=0. 437. Составить уравнения касательных к окружности х~+у' — 2х+4у= О, перпендикулярных к прямой х' — 2у+9 = О.

438. Составить уравнение окружности в полярных координатах по данному радиусу Я и полярным координа-' там центра С(Р; Оо). 439. Составить уравнение окружности в полярных координатах по данному радиусу И и полярным координатам центра окружности: 1) С(й; О); 2) С(Я; д)1 3) С'))); — ); 4) С')))', — — ). 440. Определить полярные координаты центра и радиус каждой из следующих окружностей: 1) р 4сов61 2) р =Зв1п6; 3) р = — 2сов6; 4) р = — 5в1пО; 5) р — 6сов(ц — е); 5) р=ввш(е — — з); 7) р= = 8в1п — — 6 .

441. Окружности заданы уравнениями в полярных координатах: 1) р = 3 сов 6; 2), р = — 4 в1п О; 63 3) р = соз Π— з)п О. Составить их уравнения в декартовых прямоугольных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс — с началом координат. 442. Окружности заданы уравнениями в декартовых прямоугольных координатах: 1) х' + у' = х; 2) х' +, +у'= — Зх; 3) х'+у' 5у; 4) ха+у'=-у; 5) х'+ + уз = х+ у. Составить уравнения этих окружностей в полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс— с началом координат.

443. Составить полярное уравнение касательной к окружности р = Л в точке Мг(В Оо). 5 18. Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, ббльшая, чем расстоя ние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначают буквами Рь и Гу, расстояние между ними- через 2с.

По определению эллипса 2а .> 2с илн а» с. Рис. 12. Пусть дан эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение данного эллипса имеет вид х' уз — + — =1 аг Ьз = (1) где Ь = У а' — с~; очевидно, 'а ) Ь. Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением эллипса. При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии (рис, 12). Оси симметрии эллипса называются в а= —, а где а — большая полуось, называется эксцентриснтетом эллипса.

Очевидно, в < 1 (для окружности в О). Если М(х; у) — произвольная точка эллипса, то отрезки Р~М =. г~ и РеМ = ге (рис. 12) называются фокальными радиусами точки М, Фокальные радиусы могут быть вычислены по фор. мулам г| - — а+ вх, гз а — ех. Если эллипс определен уравнением (1) и а .~ Ь, то прямые а -'~ ~ е' (рис, 12) называются дирек.

трисами эллипса (если Ь ) а, то директрисы определяются уравнениями Ь Ь~ Д= — у=— 8 8! Рис. 13. Каждая директриса обладает следующим свойством: если расстояние произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, И вЂ” расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом г директрисы, то отношение — „есть постоянная величина, равная эксцентрнситету эллипса à — =е. д Если две плоскости а и р образуют острый угол <р, то проекцией.на плоскость р окружности радиуса а, лежащей на плоскости а, является эллипс с большой полуосью а; малая полуось Ь 3 Д. В, Клетекак 65 просто его осями, центр симметрии-просто центром.

Точки, в которых эллипс пересекает свои осн, называются его вершинами. На рис. 12 вершины эллипса суть точки А', А, В' и В. Часто осями эллипса называются также отрезки А'А = 2а и В'В 2Ь; вместе с тем отрезок ОА = а называют большой полуосью эллипса, отрезок ОВ = Ь вЂ” малой полуосью. Если фокусы эллипса расположены на оси Оу (снмметрично относительно начала координат), то уравнение эллипса имеет тот же вид (1), но в этом случае Ь а; следовательно, если мы желаем буквон а обозначать большую полуось, то в уравнении (1) нужно буквы а и Ь поменять местами. Однако для удобства формулировок задач мы условимся буквой а всегда обозначать полуось, расположенную на оси Ох, буквой Ь вЂ” полуось, расположенную на оси Оу, независимо от того, что больше, а или Ь, Если а = Ь, то уравне.

нне (1) определяет окружность, рассматриваемую как частный случай эллипса. Число этого эллипса опредечяется ~о формуле Ь=йсоэф (рис, !3). Если круглый цилиндр имеет в качестве направляющей окруж. ность радиуса Ь, то в сечении этого цилиндра плоскостью, иакло. пенной к оси цилиндра под острым углом ф, будет эллипс, малая полуось которого равна Ь; большая полуось а этого эллипса определяется по формуле Ь а 51П ф (рис: 14).

444. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) его полуоси равны 5 и 2; 2) его большая ось равна 1О, Рис, 14. а расстояние между фокусами 2с=8; 3) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с = 10; 4) расстояние между его фокусами 2с =6 и эксцен- 3, триситет е = — ; 3. 5) 'его большая ось равна 20, а эксцентриситетв = 6 1 12, 6) его малая ось равна 10, а эксцентрнситет и= —.! 7) расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2с = 4; 8) его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16; 9) его малая ось равна 6, а расстояние между дирек~ трисами равно 13; 10) расстояние между его директрисами равно 32 и 1 2 ' 445. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на осн ординат, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) его полуоси равны соответственно 7 и 2; 2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8; 66 3) расстояние между его фокусами 2с = 24 и экспен.

12, трнситет а = —; ~з' з. 4) его малая ось равна 16, а зксцентриситет е= — '; 5) расстояние между его фокусами 2с = 6 н расстоя- 2, ние между директрисами равно 16 —; 2 6) расстояние между его директрисами равно 10— з и зксцентрнситет е = 4 ° 446.

Определить полуоси каждого из следующих эл- липсов: 1) — + У = 1; 2) — + у~ = 1; 3) х~ + 25д~ = 25; 4) х~ + 5д~ = 15; 5) 4х'+ 9у' = 25; 6) 9х' + 25у' = 1; 7) х~+4у~=1; 8) 16х~+д~=16; 9) 25х~+9у'=1;~ 10) 9х~ + у~ = 1. 447. Дан эллипс 9х~+ 25у~ = 225. Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис. 448. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса х'+5у'=20, а две другие совпадают с концами его малой оси. 449. Дан эллипс 9х'+5у~= 45. Найти: 1) его полуоси1 2) фокусы; 3) эксцентриситет", 4) уравнения директрис.

450, Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса 9х'+5у~= 1, две другие совпадают с концами его малой оси. 451. Вычислить расстояние от фокуса Р~с; О) эллипса Л ую — + — =1 дй зй до односторонней с этим фокусом директрисы, 452. Пользуясь одним циркулем, построить фокусы х' у' эллипса —, + — = 1 (считая, что изображены оси координат и задана масштабная единица). х' у' 453.

На эллипсе — + — = 1 найти точки, абсцисса 25 4 которых равна — 3. з~ 67 454. Определить, какие из точек А)( — 2; 3), Аг(2; — 2) „ Аг(2; — 4), А4( — 1; 3), А5( — 4т — 3), АД(3; — 1), А9(3; — 2), Аг(2; 1), Аг(0; 15) и А49(0; — 16) лежат на эллипсе 8хг+ 5уг = 77, какие внутри и какие вне его. 455. Установить, какие линии определяются слез дующими уравнениями: 1) у=+ 4 ~16 — х', 2) у= — — 9х9 — х', 8) х = — — 9т9 — 9', 4) х + — )Х49 — 9 ° г Изобразить эти линии на чертеже.

2 456. Зксцентриситет эллипса е = —, фокальный рак диус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом дирек- трисы, 2 457. Эксцентриситет эллипса е = —, расстояние от точки М эллипса до дхнректрисы равна 20. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой. 5~ Хг у2 488. Дана точка М,')2; — а) на аллнпсе а 4- — =!; составить уравнения прямых, на которых лежат фокаль- ные радиусы точки М4. 459. Убедившись, что точка М4( — 4; 2,4) лежит на Хг д' эллипсе — + †, = 1, определить фокальные радиусы точки Мь 1 460. Эксцентриситет эллипса е —, центр его совпа- дает с началом координат, один из фокусов ( — 2; О).