Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980), страница 14

Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса Р = ~/3. Определить, под каким углом к оси цилиндра нужно его пересечь плоскостью, 73 чтобы в сечении получить эллипс с большой полуосью а =2. 509. Равномерным сжатием (или равномерным растяжением) плоскости к оси абсцисс называется такое преобразование точек плоскости, при котором произвольная точка М(х; у) перемещается в точку М'(х'; у') (рис. 1б) так, что х'=х, у' = ду, где д) 0 — постоянная, называемая коэффициентом равномерного сжатия. Аналогично определяется равномерное сжатие плоскости Рис.

16. Рис. 17. к оси Оу при помощи уравнений х' = дх, у' = у (рис. 17). Определить, в какую линию преобразуется окружность х',+ у' * 25, если коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси абсцисс д = —. 4 5' б10. Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Оу равен 4 . Определить уравнение линии, в кото. 3 х' у' рую при таком сжатии преобразуется эллипс — +— 16 9 =1. 511.

Найти уравнение линии, в которую преобра- х~ у2 зуется эллипс — + — = 1 при двух последовательных 49 9 равномерных сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к 4 6 осям Ох н Од равны соответственно — и —. 3 7' б12. Определить коэффициент д равномерного сжатия плоскости к оси Ох, при котором эллипс — + — = 1 у~ преобразуется в эллипс — "+ — = 1. ф~ 36 16 513. Определить коэффициент д равномерного сжатия хг у' плоскости к оси Од, при котором эллипс — + = = 1 81 25 г преобразуется в эллипс — + = = 1. 36 25 И4. Определить коэффициенты дл и дз двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох- и лг уг Оу, при которых эллипс ~5 + — 1 преобразуется в окружность ха+ уз = 16. $ 19.

Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается обычно через 2а. Фокусы гиперболы обозначают буквами Г1 и Рг, расстояние между ними — через 2с.

По определению гиперболы 2а < 2с, или а~с. Рис, 18, Пусть дана гипербола. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид хг уг — в 1 аг Ьг (1) где Ь = Ус~ — аг. Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением гиперболы При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии (рнс. !8). Оси симметрии гиперболы называются просто ее осями, центр симметрии — центром гиперболы.

Гипербола пересекает одну из своих осей; точки 75 пересечения называются вершинами гиг(ерболы. На рис. 18 вершины гиперболы суть точки А' и А. Прямоугольник со сторонами 2а и 2Ь, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы. Отрезки длиной 2а и 2Ь, соединяющие середины сторон основного прямоугольника гиперболы, также называют ее осями.

Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженные) являются асимптотами гиперболы; их уравнения суть: Ь Ь у= — х, у= — — х. а ' а Уравнение «2 уа — — + — =1 а2 Ь2 (2) в одной и той же системе координат, называются сопряженными, Гипербола с равными полуоясми (а = Ь) называется равностороннеи.; ее каноническое уравнение имеет вид или — хз + у' = а'. хз у'=а~ Число с в— а' где а — расстояние от центра гиперболы до ее вершины, называется эксцентрнситетом гиперболы, Очевидно, для любой гиперболы е ~ 1.

Если М(х; у) — произвольная точка гиперболы, то отрезки Р~М и У~М (см. рис. 18) называются фокальными радиусами точки М, Фокальные радиусы точек правой ветви гиперболы вычисляются по формулам г, = ех + а, гз = ех — а, фокальные радиусы точек левой ветви — по формулам г, — вх — а, гз — ах+ а. Если гипербола задана уравнением (1), то прямые, определяемые уравнениями а х= в' называются ее директрисами (см. рнс. 18). Если гипербола задана уравнением (2), то директрисы определяются уравнениями Ь Ь у= в' в' определяет гиперболу, симметричную относительно координатных осей с фокусами на оси ординат; уравнение (2),как и уравнение (1), называется каноническим уравнением гиперболы; в этом случае постоянная разность расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов равна 2Ь. Две гиперболы, которые определяются уравнениями х2 уз х' — — — 1 — — + — =1 а' Ь' а' Каждая директриса обладает следующим свойством: если г — расстояние от произво1ьной точки гиперболы до некоторого фокуса, И вЂ” расстояние от той жс точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение ~ есть постоянная величина, равная аксцентрнснтету гиперболы: 5!5.

Составить уравнение гиперболы, фокусы когорой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) ееоси2а=10и26=8; 2) расстояние между фокусами 2с = 10 и ось 2Ь = 8; 3) расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцентри- 3, ситет е= —; 1 4) ось 2а = 16 и эксцентриситет в = — ', 5. 5) уравнения асимптот у= ~- — х и расстояние меж- 3 ду фокусами 2с = 20; 2 6) расстояние между директрисами равно 22 —, и расстояние между фокусами 2с = 26; 32 7) расстояние между директрисами равно = и ось 5 2Ь = 6; 8 8) расстояние между директрисами равно — и экс- 3 3.

центриситет в = —; 3 9) уравнения асимптот у= ~ — х и расстояние ме- 4 4 жду директрисами равно 12 —. 5' 516. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) ее полуоси а = 6, Ь = 18 (буквой а мы обозна- чаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс); 2) расстояние между фокусами 2с = 10 и эксцентри- 5. ситет з = —; 3 ' !2 3) уравнения асимптот у = + — х и расстояние 5 между вершинами равно 48; 4) расстояние между директрисами равно 7 — и экс.

1 7. центриситет е = —; 5' 5) уравнения асимптот у= -ь — х и расстояние ме- 4 з жду директрисами равно 6 —. 2 5' 517. Определить полуоси а и Ь каждой из следуюших гипербол: х' у' «' 1) — — — 1 2) — — у'= 1; 3) х'-4у'=16; 4 ' 16 4) х' — у'=1; 5) 4х~ — 9У' =25; 6) 25х' — 16у'=11 7) 9х~ — 64у~ = 1.

518. Дана гипербола 16х'-9у'= 144. Найти: 1) полуоси а и Ь; 2) фокусы; 3) эксцентриситет1 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис. 519. Дана гипербола 16хэ — 9у~ = -144. Найти: 1) полуоси а и Ь,* 2) фокусы13) эксцентриситет1 4) уравнения аснмптот; 5) уравнения директрис. 520. Вычислить плошадь треугольника, образованного «2 у~2 асимптотами гиперболы 4 — -~- =1 и прямой 9х+, "+ 2у — 24 =* О. 521. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: 1) у =+- ~ ~/х~ — 9; 2) у — 3)~х~+ 1' 3 3) х — ~~/~р+9; 4) у + 5 ~х'+25.

2 Изобразить эти линии на чертеже. «' 522, Дана точка М,(10; — ')/5) на гиперболе —— у2 — — 1. Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки Мь 523. Убедившись, что точкаМ~ — 5, 4~ лежит на ги- 9~ «' у' перболе — — — = 1, определить фокальные радиусы точки Мь 78 524. Эксцентриситет гиперболы в =2, фокальный радиус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 16.

Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы. 525. Эксцентриситет гиперболы з = 3, расстояние от точки.М гиперболы до директрисы. равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой. 526. Эксцентриситет гиперболы е =2, центр ее лежит в начале координат, один из фокусов Р(12; О). Вычислить расстояние от точки М~ гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу. з 527. Эксцентриситет гиперболы з= —, центр ее лежит в начале координат, одна из директрис дана уравнением х = — 8. Вычислить расстояние от точки М~ гиперболы с абсцнссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе.

Хи у' 528. Определить точки гиперболы — — — =1 рас- 64 36 стояние которых до правого фокуса равно 4,5. х2 у2 529. Определить точки гиперболы — — — = 1, расстояние которых до левого фокуса равно 7. Хл у2 530. Через левый фокус гиперболы — — — = 1 про- 144 26 веден перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Определить расстояния от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой. 531. Пользуясь одним циркулем, построить фокусы х' у' гиперболы — — — = 1 (считая, что оси координат 16 25 изображены и масштабная единица задана). 532.

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны: 1) точки М,(6; -1) и М~(-8; 2 1/2) гиперболы; 2) точка М1 ( — 5; 3) гиперболы и эксцентриситет г= ~/2; 3) точка м, 1 — г -1) гиперболы и уравнения аеии. /9 2 3 ее точка М, (-3; — ~ гиперболы и уравнения иирек. 51 4 „ трис х — "= 3 3 5) уравнения асимптот у = ~ — х и уравнения ди- ректрис х 5 533. Определить эксцентриситет равносторонней ги- перболы.

534. Определить эксцентриситет гиперболы, если от- резок между ее вершинами виден из фокусов сопря- женной гиперболы под углом в 60'. 535. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эл- липса ~ + — = 1. Составить уравнение гиперболы, 25 9 если ее эксцентриситет е = 2. 536. Составить уравнение гиперболы, фокусы кото- рой лежат в вершинах эллигса — + — =1, а ди- Д 100 64 ректрисы проходят через фокусы этого эллипса, 537.

Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы тб2 у2 —,— —, = 1 до ее асимптоты равно Ь. ,22 Ь2 538. Доказать что произведение расстояний от лю- бой точки гиперболы †,", — †, = 1 до двух ее асимптот у б22Б2 есть величина постоянная, равная,+,. а2+ Ь2 ' 539. Доказать, что площадь параллелограмма, ограх2 ыет2 ниченного асимптотами гиперболы —,— —,= 1 и пряа2' мыми, проведенными через любую ее точку параллельабр но асимптотам, есть величина .постоянная, равная 540. Составить уравнение гиперболы, если известны ее полуоси а и Ь, центр С(х0,у0) и фокусы располо- жены на прямой: 1) параллельной оси Ох; 2) парал- лельной оси Оу, 541.