Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980), страница 11

Следовательно, уравнение (1) является уравнением прямой з. Таким образом, задача решена. 2-й способ. Будем рассматривать декартову прямоугольную систему координат,' положительная полуось абсцисс которой совпадает с полярной осью заданной полярной системы. В этой декартовой системе имеем нормальное уравнение прямой з: хсоза+у арпа — р=О.

(2) Воспользуемся формулами преобразования полярных координат в декартовы: х=рсозО, у=р з!и О. (3) Подставляя в уравнение (2) вместо х и у выражения (3), получим: р(сов Осоз а+ зло О з1п а) = р или р соз (Π— а) 381. Вывести полярное уравнение прямой, если даны: 1) угол р наклона прямой к полярной оси и длина перпендикуляра р, опущенного из полюса на эту прямую.

Написать уравнение этой прямой в случае 6 ' Р=З; 2) отрезок а, который отсекает прямая на полярной оси, считая от полюса, и полярный угол а нормали этой прямой, Написать уравнение этой прямой 2 в случае а = 2, а = — — тс; 3 3) угол р наклона прямой к полярной оси и отрезок а, который отсекает прямая на полярной оси, считая от полюса. Написать уравнение этой прямой в слу.чае р= —, а =6. 382. Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку М~(р1', 01) и наклоненной к полярной оси под углом р. 383.

Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку М~(р~,'01), полярный угол нормали которой равен а. 384. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М~(р|',01) и Мз(рз,'Оз), ГЛАВА 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ~ 17. Окружность Уравнение (х — а)'+ (у — р)' = Л' (1) определяет окружность радиуса И с центром С(а; р). Если центр окружности совпадает с началом координат, т. е. если а = О, р = О, то уравнение (1) принимает вид х~+ уе =.ка.

(2) 385. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев: 1) центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус 1т = 3; 2) центр окружности совпадает с точкой С(2; — 3) и ее радиус 1т = 7; 3) окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с точкой С(6; — 8); 4) окружность проходит через точку А(2; 6) и ее центр совпадает с точкой С( — 1; 2); 5) точки А(З; 2) и В( — 1; б) являются концами одного из диаметров окружности; 6) центр окружности совпадает с началом координат и прямая Зх — 4д + 20 = 0 является касательной к окружности; 7) центр окружности совпадает с точкой С(1; -1) и прямая 5х — 12у+9 = 0 является касательной к окружности; 8) окружность проходит через точки А (3; 1) и В( — 1; 3), а ее центр лежит на прямой Зх.— у — 2 = О; 9) окружность проходит через три точки А(1; 1), В(1', — 1) и С(2; 0); 10) окружность проходит через три точки: М~(-1; 5), Л2( — 2; -2) и Мз(5; 5), бз 386.

Точка С(З; — 1) является центром окружности, отсекающей на прямой 2х — 5д+ 18 = 0 хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окружности. 387. Написать уравнения окружностей радиуса Д = )/5, касающихся прямой х — 2д — 1 = 0 в точке М~(З; 1). 388. Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых: 2х+ у — 5 = О, 2х+ у+ + 15 = О, причем одной из них — в точке А (2; 1), 389.

Составить уравнения окружностей, которые проходят через точку А(1; 0) и касаются двух параллельных прямых: 2х+ у+ 2 = О, 2х+ у — 18 = О, 390. Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой 2х+ у = О, касается прямых 4х— — Зу + 10 = О, 4х — Зд — ЗО = О. 391. Составить уравнения окружностей, касающихся двух пересекающихся прямых: 7х — у — 5 = О, х+ д+ ,+ 13 = О, причем одной из них — в точке М1(1; 2). 392. Составить уравнения окружностей, проходящих через начало координат и касающихся двух пересекающихся прямых: х+ 2у — 9 = О, 2х — у+ 2 = О, 393.

Составить уравнения окружностей, которые, имея центры на прямой 4х — 5у — 3 =О, касаются прямых 2х — Зд — 10 = О, Зх — 2у+ 5 = О. 394. Написать уравнения окружностей, проходящих через точку А( — 1; 5) и касающихся двух пересекающихся прямых: Зх+ 4у — 35 = О, 4х+ Зу+ 14 = О. 396. Написать уравнения окружностей, касающихся трех прямых: 4х — Зу — 10 = О, Зх — 4у — 5 = 0 и Зх— — 4у — '15=0. 396. Написать уравнения окружностей, касающихся трех прямых: Зх + 4у — 35 = О, Зх — 4у — 35 = 0 и х— — 1 = О. 397.

Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружности? Найти центр С и радиус Р каждой из них: 1) (х — 5)'+(у+ 2)'=25; 3) (х — 5)~+(у+2)'=0; 5) х~+у~ — 2х+4у — 20=0; 6) х~+ у~ — 2х + 4у + 14 = 0; 7) хам+уз+4х — 2у+5=0; 9) ха+ у~+ бх — 4у+ 14=0; 2) (х+ 2)~ + у~ = 64; 4) х~+(у — 5)~=5; 8) х'+ у'+ х = 0; 10) х'+у~+у=О, 398. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: » 1) у=+ ~9 — х~; 6) у=15 — ~'64 — х-"; 2) у= — 725 — х~; 7) х= — 2 — ~9 — у'-'; 3) х= — ~/4 — у~; 8) х= — 2+ ~/9 — у'; 4) х=+ ~16 — у-'; 9) у= — 3 — ф~21 — 4х — х~ 5) у=15+ ~64 — х~' 10) х= — 5+ ~/40 — 6у — у2 » Изобразить зти линии на чертеже. 399.

Установить, как расположена точка А(1; — 2) относительно каждой из следующих окружностей — внутри, вне или на контуре: 1) х~+у~= 1; 2) х'+у'= 5; 3) х~+ у'" = 9; 4) х~+ у~ — 8х — 4у — 5 = О; 5) х~+ ~+ у~ — 10х+ 8у = О. 400. Определить ура внение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями: 1) (х — 3)2+ у2=9 и (х+2)2+(у — 1)2=1 ° 2) (х + 2)~ +. (у — 1)~ = 16 и (х+ 2)~ + (у + 5)~ = 25; 3) х'+ у~ — 4х+ 6у = 0 и х~+ у — бх = О; 4) х'+ у~ — х + 2у = 0 и х~+ у~+ 5х + 2у-1 = О. 401.

Составить уравнение диаметра окружности х~+ + у2+ 4х — 6у — 17 = О, перпендикулярного к прямой 5х+ 2у — 13 = О. 402. Вычислить кратчайшее расстояние от точки до окружности в каждом из следующих. случаев; а) А (6; — 8), х' + у' = 9; б) В(3; 9), х'"+у~ — 26х+ЗОу+313 =0; в) С( — 7; 2), х~+у' — 10х — 14у — 151 = О. 403. Определить координаты точек пересечения прямой 7х — у+ 12 = 0 и окружности (х — 2) ~+ (у — 1) ~ = =25, 404.

Определить, как расположена прямая относительно окружности (пересекает ли, касается или проходит вне ее), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями: 1) у = 2х — 3 и х'+ у' — Зх + 2у — 3 = 0; 2) у = —,' х — — и х~ + у — 8х + 2у + 12 = О; я з 3) у=х+10 и х'+у' — 1=0„ 405. Определить, при каких значениях углового коэффициента /г прямая у = /гх 1) пересекает окружность х'+ у' — ! Ох+ 16 = О; 2) касается этой окружности; 3) проходит вне этой окружности. 406.

Вывести условие, при котором прямая у = йх+ + 6 касается окружности х'+ д' = Ю 407. Составить уравнение диаметра окружности (х — 2)'+ (д+ 1)~ = 16, проходящего через середину хорды, отсекаемой на прямой х — 2у — 3 = О. 408. Составить уравнение хорды окружности (х — 3)'+ (д — 7)' = 169, делящейся в точке М(8,5; 3,5) пополам, 409. Определить длину хорды окружности (х — 2)'+ + (у — 4)'= 10, делящейся в точке Л(1; 2) пополам.

410. Дано уравнение пучка прямых а(х — 8у+ 30) + '+ р(х+5у — 22) = О. Найти прямые этого пучка, на которых окружность х'+ у' — 2х + 2у — 14 = 0 отсекает хорды длиною 2 1'3. 411. Даны две окружности (х — т,)'-+ (у — п,)~ = ~~, (х — т,)'- + (д — п,)~ = Р,', пересекающиеся в точках М~(х1', д1) и М~(х~, 'д~). Доказать, что любая окружность, проходящая через точк~ Мь М~, а также прямая М1М~, могут быть определены уравнением вида а [(х ~п~) +(д и'1) 1~1~+ ~[(х ~п~) +(у п2) 1~21 =0 при надлежащем выборе чисел а и р.

412. Составить уравнение окружности, проходящей через точку Л(1; — !) и точки пересечения двух окружностей: х'+ д'+ 2х — 2у — 23 = О, х'+ у' — 6х + 12д— — 35= О. 413. Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения двух окружностей: (х+ 3)~+ (у+1)~ = 25, (х — 2)~+ (у+4)~ = =9 414. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения двух окружностей; х'+ у'+ Зх — у =- = О, Зх~+ Зуа+ 2х + у = О. 415. Вычислить расстояние от центра окружности х~+у~ = 2х до прямой, проходящей через точки пересечения двух окружностей: х'+ у'+ 5х — 8у+ 1 = О, х'+ + у' — Зх + 7у — 25 = О. 416.

Определить длину общей хорды двух окружностей: ~Р+ у~ — 10х — 10у = О, х~ + ф+ 6х + 2у — 40 = О. 61 417. Центр окружности лежит на прямой х+д = 0„ Составить уравнение этой окружности, если известно, что она проходит через точки пересечения двух окружностей: (х — 1)'+ (д+5)'= 50, (х+ 1)~+ (д+1)' 10. 418, Составить уравнение касательной к окружности х'+ д' = 5 в точке А(-1; 2).

419. Составить уравнение касательной к окружности (х+2)~+ (д — 3)~ 25 в точке А( — 51 7). 420. На окружности 16х'+16д'+48х — 8д — 43 =0 найти точку Мь ближайшую к прямой 8х — 4д+73 = О, и вычислить расстояние ««от точки М~ до этой прямой. 421. Точка М~(х~„д~) лежит на окружности х~+ д~ = = Ю Составить уравнение касательной к этой окружности в точке Мь 422. Точка М~,(х~, д~) лежит на окружности (х — а)-'+ (д — в)~ ~ Ж Составить уравнение касательной к этой окружности в точке Мь 423. Определить острый угол, образованный при пересечении прямой Зх — д — 1 = 0 и окружности (х — 2)~+д'= 5 (углом между прямой и окружностью называется угол между прямой и касательной к окружности, проведенной в точке ик пересечения).

424. Определить, под каким углом пересекаются две окружности; (х — З)~+ (д — 1)~ = 8, (х —.2)'+,' «+ (д+2)'=2 (углом между двумя окружностями назьрается угол между их касательными в точке пересе,чейня) . 425. Вывести условие, при котором две окружности (х — а,)-'+ (д — р,)' = Л',, (х — а,)'+ (д — (3,)' = Я,' пересекаются под прямым углом. 426, Доказать, что две окружности х~+ д'- — 2тх — 2пд — т~+ п~ = О, х'-1- д' — 2пх -~-2тд+ т' — и'=0 пересекаются под прямым углом. «5 51 427. Из точки Ар ; — †, ~ проведены касательные к окружности х'+'д' = 5.

Составить их уравнения. 428. Из точки А (1; 6) проведены касательные к окружности х"-+д'+2х — 19=0, Составить их уран. нения, '429. Дано уравнение пучка прямых сс(Зх+ 4у— -10) + р(Зх — у — 5) =О. Найти прямые этого пучка, которые касаются окружности х'+ у'+ 2х — 4у = О. 430. Из точки А (4; 2) проведены касательные к окружности х'+ у' = 10. Определить угол, образованный этими касательными. 431.