Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980), страница 10

338. Составить уравнение геометрического места то.к, равноудаленных от двух параллельных прямых; 841. Определить, лежат ли точка М(1; — 2) и начало коордииат в одном, в сме кных или вертикальных уг. лах, образованных при пересечении двух прямых: 1) 2х — у — 5=0,. 2) 4х+Зу — 10=0, Зх+ у+ 10 = О; 12х — 5у — 5 = 0; 8) х — 2у — 1 =О, Зх — у — 2 =О. 342. Определить, лежат ли точки М(2; 3) и У(5; — 1) в одном, в смежных или вертикальных углах, образо- ванных при пересечении двух прямых: 1) х — Зу — 5=0, 2) 2х+7у — 5=0, 2х+ 9у — 2= О; х+ Зу+ 7=0; 3) 12х+ у — 1=0, 13х+ 2у — 5 =О.

343. Определить, лежит ли начало координат вну- три или вне треугольника, стороны которого даны урав- нениями 7х — 5у — 11 О, 8х+Зу+31 О, х+8у— — 19 = О. 344. Определить, лежит ли точка М( — 3; 2) внутри или вне треугольника, стороны которого даны урав- нениями х+ у — 4 = О, Зх — 7у+ 8 = О, 4х — у — 31 =, =О. 345. Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми Зх — 2у+ 5 = 0 и 2х+ +у — 3 О, содержит начало координат. 346. Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми Зх — 5у — 4- "0 и х+' ,+ 2у+ 3 = О, содержит точку М (2; — 5).

347. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми Зх — у — 4 = 0 и 2х+6у+ 3 = О, в котором лежит начало координат, 348. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми х — 7у+ 5 = О, 5х+ 5у — 3 = О, смежного с углом, содержащим начало координат 349. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми х+ 2у — 11 = О и Зх — 6у — 5 О, в котором лежит точка М(1; — 3). 350.

Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми 2х — Зу — 5 = О, 6х — 4у+7 = О, смежного с углом, содержащим точку С(2; — 1). 52 351. Составить уравнение биссектрисы острого образованного двумя прямыми Зх+ 4д — 5 = Π— 12д+ 3 = О. 352. Составить уравнение биссектрисы тупого образованного двумя прямыми х — Зд+ 5 = О, — д+15 = О. угла, 5х— угла, Зх— $ 15. Уравнение пучка прямых Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку Я, называется пучком прямых с центром Я. Если,А~х+ В1у+ С~ = О и А~х+ В~у+ Са = Π— уравнения двух прямых, пересекающихся в точке 5, то уравнение а (А~х+ В у+ С~) + р (А,х+ В~у+ Се) =О, (1) где а, 11 — какие угодно числа, не равные одновременно нулю, определяет прямую, также проходящую через точку 5.

Более того, в уравнении (1) числа и, р всегда возможно подобрать так, чтобы оно определило любую (заранее назначенную) прямую, проходящую через точку 8, иначе говоря, любую прямую пучка с центром 8. Поэтому уравнение вида (1) называется уравнением пучка (с центром 3).

Если и Ф О, то, деля обе части уравнения (1) на а и полагая — Л, получим: а А~х + В,у+ С1 + Х (Аех+ В,у+ Се) = О. (2) Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с цент ом Я, кроме той, которая соответствует а = О, т. е. кроме прямой ех+ Вру+ Се = О. 353. Найти центр пучка прямых, данного уравнением а(2х+ Зд — 1) + р(х — 2д — 4) = О. 354. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых и(х+2д — 5)+ р(Зх — 2у+ 1) =- О и 1) проходящей через точку А(3; — 1); 2) проходящей через начало координат; 3) параллельной оси Ох; 4) параллельной оси Од; 5) параллельной прямой 4х+ Зд+ 5 = О; 6) перпендикулярной к прямой 2х+Зд+7=0.

355. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых Зх — 2д+ 5 = О, 4х+ Зд— — 1 = О и отсекающей на оси ординат отрезок Ь = — 3. Решить задачу, не определяя координат точки пересечения данных прямых. 356. Составить уравнение прямой, которая проходит ,через точку пересечения прямых 2х+ д — 2 = О, Я х — 5д — 23 = 0 и делит. пополам отрезок, ограниченный точками М~(5; — 6) и Мр( — 1; — 4). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых. 357. Дано уравнение пучка прямых а(Зх — 4д — 3)+ + р(2х+Зд — 1) = О. Написать уравнение прямой этого пучка, проходящей через центр тяжести однородной треугольной пластинки, вершины которой суть точки А( — 1; 2), В(4; — 4) и С(6; — 1), 358.

Дано уравнение пучка прямых я(Зх — 2д — 1)+ + р(4х — 5д+8) =О. Найти прямуо этого пучка, проходящую через середину отрезка прямой х+ 2д+ 4 = О, заключенного между прямыми 2х+ Зд+ 5 = О, х+ .+ 7д — 1 = О. 359. Даны уравнения сторон треугольника х + 2д— — 1 = О, 5х + 4д — 17 = О, х — 4д + 11 = О. Не определяя координат его вершин, составить уравнения высот этого треугольника, 360.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х+7д — 8 =О, Зх+2д+ +5=0 под углом в 45' к прямой 2х+Зд — 7= О. Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых, 361. В треугольнике АВС даны уравнения высоты АМ: х+5д — 3=О, высоты ВЛ' х+д — 1=0 и стороны АВ: х'+Зд — 1 = О. Не определяя координат вершин и точки пересечения высот треугольника, составить уравнение двух других сторон и третьей высоты. 362. Составить уравнения сторон треугольника АВС, зная одну его вершину А(2; — 1), а также уравнения высоты 7х — 10д+1 = О и биссектрисы Зх — 2д+ 5=0, проведенных из одной вершины.

Решить задачу, не вы-. числяя координат вершин В и С. 363. Дано уравнение пучка прямых а(2х+д+8)+! + р(х+д+3) = О. Найти прямые этого пучка, отрезки которых, заключенные между прямыми х — д — 5 = О, х — д — 2 = О, равны ~5. 364. Дано уравнение пучка прямых а(Зх+д — 1)+ + р(2х — д — 9) = О. Доказать, что прямая х+Зд+ + 13 = О принадлежит этому пучку. 365. Дано уравнение пучка прямых и(5х+Зд+5) +.

+ р(Зх — 4д — 37) =О. Доказать, что прямая 7х+2д— — 15 ='0 не принадлежит этому пучку. 366. Дано уравнение пучка прямых а(Зх+2д — 9)+ + р(2х+5д+5) =О. Найти, при каком значении С 64 прямая 4х — Зу+ С = 0 будет принадлежать этому пучку.

367. Дано уравнение пучка прямых а(5х+ Зу — 7)+ + р(Зх +10у+4) — О. Найти, при каких значениях а прямая а~~+5у+9 0 не будет принадлежать этому пучку. 368. Центр пучка прямых и (2х — Зу+ 20) + + р (Зх + 5у — 27) = 0 является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой х+?у — 16=0. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата. 369. Дано уравнение пучка прямых а(2х+5д+4)+ + р(Зх — 2у+25) =О. Найти прямую этого пучка, отсекающую на координатных осях отличные от нуля отрезки равной величины (считая от начала координат).

370. Дано уравнение пучка прямых я(2х+д+ 1)+ «+ р(х — Зд — 10) = О. Найти прямые этого пучка, отсекающие на координатных осях отрезки равной длины ',(считая от начала координат). 3?1. Дано уравнение пучка прямых сс(21х+ 8у— — 18)+ р(11х+ Зу+12) = О. Найти прямые этого пучка, отсекающие от координатных углов треугольники с площадью, равной 9 кв. ед. 372, Дано уравнение пучка прямых а(2х"+у+4)+ '+р(х — 2д — 3) =О.

Доказать, что среди прямых этого пучка существует только одна прямая, отстоящая от точки Р(2; — 3) на расстоянии Ы = ~10 ° Написать уравнение этой прямой. 373. Дано уравнение пучка прямых а(2х — у — 6)+ + р(х — у — 4) =О. Доказать, что среди прямых этого пучка нет прямой, отстоящей от точки Р(З; — 1) на расстоянии д = 3, 374. Составить уравнение прямой, 'проходящей через точку пересечения прямых Зх+у — 5 =О, х— ,— 2у+10= 0 и отстоящей от точки С( — 1, — 2) на 'расстоянии д = 5. Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых. 375.

Дано уравнение пучка прямых и(5х+ 2у+ +'4) + р(х+ 9у — 25) = О. Написать уравнения прямых этого пучка, которые вместе с прямыми 2х — Зу+ + 5 = О, 12х+ 8у — 7 = 0 образуют равнобедренные треугольники. 376. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых 11х+ Зу — 7 = О, 56 12х+у — 19 = О на одинаковых расстояниях от точек А (3; — 2) и В ( — 1; 6). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых. 377. Даны уравнения двух пучков прямых а| (5х + Зу — 2) + ~~ (Зх — у — 4) = О, аз(х — у+ 1)+р,(2х — у — 2) =О. Не определяя их центров, составить уравнение прямой, принадлежащей обоим пучкам.

378. Стороны АВ, ВС, СР н РА четырехугольника АВСР заданы соответственно уравнениями 5х+ у+; +13 =0, 2х — 7у — 17= 0, Зх+2у — 13 =О, Зх— 4у+ 17 = О. Не определяя координат вершин этого четырехугольника, составить уравнения его диагоналей Аси ВР. 379. Центр пучка прямых а(2х+ Зу+ 5)+ р(Зх— — у+2) = О является одной из вершин треугольника, две высоты которого даны уравнениями х — 4у+ 1 = О, 2х+у+1 = О. Составить уравнения,сторон этого треугольника.

$ 16. Полярное уравнение прямой Прямая, проведенная через полюс перпендикулярно к данной прямой, называется ее нормалью. Обозначим буквой Р точку, в которой нормаль пересекает прямую; установим на нормали положительное направление от точки О к точке Р. Угол, на который нуж. но повернуть полярную ось до наложения ее на отрезок ОР, будем называть полярным углом нормали. 380. Вывести полярное уравнение прямой, зная ее расстояние от полюса р и полярный угол нормали а.

Р е ш е н и е. 1-й с п о с о б. На данной прямой г (рис. 11) возьРис. 11. мем произвольную точку М с по- лярными координатами р и О. Точку пересечения прямой з с ее нормалью обозначим буквой Р. Из прямоугольного треугольника ОРМ находим; р аав Р (1) соз (6 — й) Мы получили уравнение с двумя переменными р и О, которому удовлетворяют координаты всякой точки М, лежащей на прямой г, 56 и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой прямой.