Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения, страница 5

Общая картина и опорные точки 28 Наряду с уравнением (2.11) незатухающих колебаний рассматривается также уравнение колебаний при наличии вязкого трения (2.!2) Все это примеры линейных дифференциальныхуравнений, на которых еше недавно базировалась вся физика. Сейчас, конечно, вся эта богатая и красивая наука уже набила оскомину. Колесо истории повернулось в сторону изучения нелинейных процессов.

Но эмоции не меняют устройства мироздания. Многие природные явления по-прежнему линейны. Обратим внимание на уникальную особенность, с которой сталкивается здесь теория. Примеры обычно отражают лишь некоторые грани обших моделей. В данном случае изучение линейных уравнений второго порядка (2.12) равносильно изучению любого конкретного примера: маятника (неважно какого), колебательного контура и т. п. Другими словами, с некоторой натяжкой маятник по богатству содержания не уступает линейным уравнениям второго порядка общего вида. Систематически линейные уравнения рассматриваются в следуюшей главе. В то же время обшие принципы усматриваются на «маленьком» примере (2.12), при решении которого уже не удается обойтись тригонометрическими функциями, что естественно, ибо трение ведет к энергетическим потерям и колебания должны затухать. В качестве решения напрашивается ех', поскольку дифференцирование экспоненты сводится к умножению на константу, (ем)' Лем (2.13) В результате подстановка ем в (2.12) дает (Л +тЛ+ы )ем = О Поэтому, если Л вЂ” корень уравнения (2.14) Л +уЛ+ьг =О, 2.3.

Существование и единственность 29 то е~г — удовлетворяет (2.12). Получается, что обшее решение имеет вид х(1) = с1е ' + сзе ', где Л1, Л? — корни (2.14). В случае комплексных корней Л1, Л? возникает впечатление, что нашла коса на камень. Но тревога оказывается ложной. Более того, все разрешается наилучшим образом — эффективно и просто. Если е~~ удовлетворяет уравнению (2.!2) при Л1 ? = гт ш Ц, — то уравнению (2.12) удовлетворяет как действительная часть функции е~~(сов,11ш з з!п,з1), так и мнимая. Поэтому все действительные решения уравнения (2.12) исчерпываются семейством х(1) = е~~(с1соъ|3ь+ с? в1п)з1).

Несмотря на простоту, использование комплексной экспоненты Ем представляет собой выдающийся трюк, на котором базируется вся теория линейных дидп11еренциальных уравнений. если юворит ь об аналогиях, то уместно вспомнить позиционную запись числа а„1бл+... + а,!0+ аь. Тоже совсем простая вещь, но что было бы с математикой ири записи чисел римским способом? В векторном варианте линейное однородное уравнение имеет вид х = Ах, а его решением, проходяшим через точку х(0) = хо является х(1) = е"тхо, что в значительной мере определяет роль матричной экспоненты (см. далее). 2.3.

Существование и единственность Имеет ли задача решение? Этот естественный вопрос тысячи лет повсеместно выпадал из поля зрения. Выпадал ло тех пор, пока на квадратуру круга и вечный двигатель не стало уходить слишком много сил. Сейчас такой вопрос стал обязательным. И хотя он не всегда изобилует красотами, но это элемент фундамента, который, как известно, нужен не потому, что в подвале жить хорошо. зо Глава 2. Общая картина и опорные точки Существование решения. Чтобы говорить о разрешимости уравнения х = у(х, !) надо уточнить, какие имеются в виду функции 2(х, !), и что подразумевается под решением.

Утрясти такие вопросы раз и навсегда не удается, ибо по мере развития теории «аппетит возрастает». Обычно отталкиваются от ситуации непрерывных 2(х, !), а под решением х = 2".(х,!), (2.15) подразумевают непрерывно дифференцируемую функцию х(с) = (х1(с),..., х„(!)), удовлетворяющую (2.15). Сказанное оставляет большую свободу толкования и, как правило, уточняется следующим образом. Предполагается, что речь идет не о какой-то функции х(!), удовлетворяющей (2.15), а о решении х(!), проходящем через заданную точку хо в момент Цо, т. е. о задаче Коши х = з (х с) х(со) = хо. (2.1 6) При этом подразумевается решение (2.16), определенное в некоторой окрестности точки (о, т.е.

имеется в виду факт локального существования. Вопрос о подходящих х(!), определенных на всей оси времени (если ! — это время), трактуют как задачу о иродалзкимости локальных решений. В русле сказанного имеет место приятный факт. 2.3.1. Теорема Пеано. Решение задачи Коши (2.16) существует всегда. Иными словами, для существования функции л(1), удовлетворяюшей (2.16) в некоторой окрестности точки (к„1е), ничего кроме непрерывности правой части 2(х,1) в окРестности (кш 1«) пРедполагать не надо. Однако расходовать порох на доказательство результата в обшей форме— не обязательно. На практике, как правило, выполняются чуть более жесткие требования, в которых доказательство становится проше, а выводы — сильнее (см.

далее). Единственность. Для обеспечения единственности решения требу- ются дополнительные условия. Одной непрерывности г(х, !) уже не достаточно. 2.3. Существование и единственность 31 Например, решением в области х > О служат функции х(С) = (С+ С) при С > — С.

Но в данном случае имеется также особое решение" х(С) г— а О. Помимо этого, решениями будут еще функции, получаемые склеиванием х(С) = О с полупараболами х(С) = (С+ С), (С > -С). Получается, что через любую точку оси х = О проходит бесчисленное множество различных траекюрий "1 уравнения х = 2з/х. Легко заметить, что единственность в приведенном примере нарушается там, где частная производная Д(х, С) обращается в бесконечность, т. е. в тех точках, где поле у(х, С) бесконечно быстро меняется по х. Именно это обстоятельство часто слу:кит источником неприятностей, и запрет на него сразу обеспечивает единственность решения (теорема Пикара).

Результат сохраняет силу и в векторном случае — при условии ограниченности всех производных /, (х, С). Разумеется, речь идет о достаточных условиях. Через любую точку области х > О проходит единственное решение уравнения х = 2 /х + 1, несмотря на то, д(2ьг'х + 1) [ что = оо. дх Более общий вариант теоремы Пикара не предполагает дифференцируемости правой части и опирается на предположение о липшицевасти14) 2(х, ь), 2.3.2. Теорема. Если Дх, С) удовлетворяет условию Пипшица, то через любую точку рассматриваемой области проходит единственное решение задачи Коши (2.16). < Липшицевость в доказательстве работает так.

Задача Коши на промежутке [Св, Св + СзС[ заменяется эквивалентным интегральным уравнением (2.17) которое получаешься интегрированием дх/гСт = у(х, т) по т от Св до С. !41 10собым называют решение, в квжлой точке которого нарушается единственность. гз1 Множество всех решений задачи Коши в случае неедннственноетн называют ывюегрвгьвой воровкой. мзФункцня т(х,г) называется лнвшвиевой по х, если сушествует такая константа Ь, [[т(х, с) — У(у, с)[[ < Цх — у[[ лля любых х, у, С в рассматриваемой области. 32 Глава 2. Общая картина и опорные точки Правая часть (2.!7) при ьтС < Ь ' (Ь вЂ” константа Липшица) представляет собой сжимающий оператор с, поскольку для С б [СО, СО + ЬС[ ! ]У(х(т),т) — 1(р(т), т)] дт < йбьС)[х — уЦ, 55 где под Ц Ц подразумевается норма в С[СО, СО+ьтС[ — т е.

Цх(С)Ц = гпах)х(С)[ по С. По той лес причине Р переводит в себя шарик из С[СО, СО+ С!С[ с центром в точке х(С) = х(СО). Далее решает ссылка иа принцип сжимающих отображений. Переход от дифференциального уравнения к эквивалентному интегральному (2.)7) характерен для задач, касающихся изучения решений х(С) в целом. Дифференциальное уравнение как бы дает лишь мгновенную фотографию, и не очень удобно там, где нужна целостная информация о траектории.

В интегральных уравнениях траектории «присутствуюте целиком, и для определенной категории проблем это удобнее. Нелокальиая теорема. В теореме 2юн2 установлено существование и единственность решения х(С), определенного лишь на промежУтке вРемени ]Сб, Со+ С.'ЕС]. На самом деле, ничего не добавлЯЯ к предположениям, можно утверждать большее. 2.3.3. Теорема. Пусть Т'(х, С) на промежутке ]О, Т] удовлетворяет условию Липшица с константой Ь. Тогда через любую точку рассматриваемой области проходит единственное решение задачи Коши (2.16), определенное на ]Со, Со + Т].

Положим для простоты СΠ—— 0 и вместо обычной нормы Цх(С)Ц = !пах [х(С)[ 5е)ь.т! возьмем эквивалентную норму' ) )[хЦ = !пах е [х(С)[. к)ьх! Необходимое заключение следует из того, что оператор в правой части (2.)7) сжимает по норме )) Ц' с коэффициентом ! — е т, что вытекает из неравенстна гпах е / [Т(х(т), т) — 1(р(т),т)] дт < !е)ь.т! О и) Эквивалентную в силу неравенства е ьтЦх(С)Ц < Цх(С)Ц < Ц*(С)Ц. 2.4. Продолжимость и зависимость от параметра 33 < шах е ~ )е Цх(т) — у(т)) )Ст < и)о,т) у о < ))х — у))* )пах С ем' ')й )Ст = () — е ~~)|)х — у))*. !е)о,т),/ о Достижимо лн равновесие за конечное время? В условиях единственности решения — не достижимо. В противном случае при обращении времени 'б) (замене С на — С) из равновесия выходило бы бесконечно много решений. Вот более точный результат.

2.3.4. Теорема. Если С'(О,С) = О, та в условиях теоремы 2.3.2 нулевое равновесие системы х = 0 не может быть достигнуто из ненулевою положения за конечное время. и Предположим противное. Пусть х(О) ~ О, но х(С) = 0 при некотором С > О. Тогда два решения х(С) и у(С) т— в 0 сливаются при С > О, а при обратном течении времени нулевое решение раздваивается в момент -С на х(-С) и у(-С) т— а О, что противоречит единственности, ь Такого же сорта причины не дают системе достичь за конечное время предельных циклов и других инвариантных множеств.