Босс В. - Лекции по математике Том 2. Дифференциальные уравнения

ББК 22.16 Ббя73 Лекции по математике: дифференциальные уравнения. М.: Едиториал УРСС, 2004. — 208 с. !5Вг2 5-354-00790-9 Излателастаа Елиториат УРСС . П7312, г. Москаа, пр-т 60-лети» Октября, 9. Липснзия ИД Ьа05175 от 25.06.2001 г. Полонезно л печати 23.00.2004 г.

Формат ббх90716. Печ. л. 13. Зак. РЬ 3-14927665. Отпечатано а типографии ООО *РОХОС*. 117312, г. Москам пр-т 60-летия Октября, 9. 1ЯВ7ч2 5-354-00790-9 © Едиториап УРСС, 2004 2550 10 21043 11 1111 11 111 785354 007905 Книга отличается краткостью и прозрачностью изложения, вплоть до объяснений «на пальцах». Значительное внимание уделяется мотивации резучьтатов и укрупненному вйдению.

Помимо обычной для дифференциальных уравнений тематики рассматриваются: аттракторы и детерминированный хаос, бифуркации и катастрофы, солитоны. Просто и достаточно полно излагается теория устойчивости. Среди нововведений — ликбез по аналитической механике, начала теории регулирования, конусные методы, модели коллективного поведения. «Высокие материи» рассматриваются на доступном уровне.

Определенная автономность частей позволяет ограничиться любым желаемым срезом содержания. Книга легко читается. Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников. Огланление Предисловие Глава 1. Вспомогательный материал 1.1. Пространство и измерений 1.2. Линейные функции и матрицы..... !.3. Прямоугольные матрицы . 1.4. Квадратичные формы !.5. Нормы в гг".................. 1.6. Функции и пространства .

!.7. Принцип сжимающих отображений .. Часть 1 ОСНОВЫ ТЕОРИИ 19 Линейные уравнения Бава 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Глава 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. Общая картина н опорные точки Объект изучения . Простейшие уравнения и примеры ....... Существование и единственность........ Продолжимость и зависимость от параметра . О структуре и направлениях............

Движение по градиенту . Уравнения с частными производными..... Об уравнениях первого порядка Исходные понятия Принципы суперпозиции Уравнения с постоянными коэффициентами Системы уравнений Случай равных корней . 8 8 1О 13 14 !5 16 !7 20 20 23 29 33 36 41 42 45 50 50 52 55 57 58 Оглавление Устойчивость 81 Глава 5. Колебания 101 Автоколебания .

Глава 6. Возмугцення и бифуркации 122 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 Глава 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4,9. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Неоднородные уравнения Матричная экспонента Теорема Лиувилля Неавтономные системы Фрагмент из обобшенных функций Функция Грина и краевые задачи Операционное исчисление Основные понятия Второй метод Ляпунова Неавтономный случай . Уравнение в вариациях Обратные теоремы Устойчивость в целом Диссипативные системы Проблема Рауса — Гурвица Линейные неавтономные системы . Гармонические сигналы Вынужденные колебания Резонансные явления Связанные системы .

Нелинейный маятник Волны и солитоны Примеры и предостережения Бифуркации . Катастрофы . Структурная устойчивость .. Парадокс Циглера . Методы усреднения . 62 63 67 68 70 74 78 81 84 88 89 92 94 96 97 99 101 103 106 109 112 115 118 122 123 125 126 129 130 Оглавление Аттракторы и хаос Часть 11 Дополнения и приложения 150 Глава 9. Механика 9.!. Обобщенные координаты и силы 9.2. Уравнения Лагранжа . 9.3. Формализм Гамильтона .

9.4. Вариационные принципы 9.5. Инвариант Пуанкаре — Картана .. 9.6. Завершение картины Глава 10. Коиусные методы 1О.!. Полуупорядоченность . !0.2. Монотонность оператора сдвига . !0.3. Гетеротонные системы . 10.4. Дифференциальные неравенства . 10.5. Супероднородность .. !0.6. Примеры 10.7. Матричный конус Глава 7. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

7.5. 7.6. озава 8. 8.1. 8.2. 8,3. 8.4. 8.5. 8.6. Эргодичность и перемешивание Ликвидация противоречий.... Адиабатические процессы Атгракторы и фракталы Странный атграктор Лоренца .. Сложное в простом Теория регулирования Практические задачи и примеры . Передаточные функции . О подводных рифах Частотные методы Задача компенсации Управляемость .. 135 135 !38 140 143 146 147 152 152 154 !56 157 159 161 164 164 168 169 171 172 174 177 178 178 182 !83 184 186 187 Оглавление 11ива 11. Коллективное поведение 11.1. Содержательные примеры 11.2.

Формальная модель. 11.3, Системы с ограниченным взаимодействием 11.4. Гомогенные системы............. Обозначения Литература Предметный указатель 189 .... 189 190 .... 193 195 197 199 201 Предисловие Есть три способа отвечать на вопросы: сказать необходимое, отвечать с приветливостью и наговорить лишнего. Плутарх Время меняет ситуацию. Традиционные курсы дифференциальных уравнений стареют, и простого выхода из положения нет, С одной стороны, ясно, что тематику надо расширять, иначе «молодые побеги» вЂ” хаос, аттракторы, солитоны и т. п. — будут расти сквозь асфальт.

С другой стороны, базовые курсы нуждаются в резком сокрашении, поскольку для самих дифуров не так много места остается в этой жизни. Дискретная математика начинает теснить, виртуальные проблемы... Не говоря об экспансии юридического и сексуального пространства.

В итоге одно противоречит другому — и стандартных мер недостает. Единственное средство — тривиализация дисциплины. Математика, как и человек, — иногда надувает щеки, наряжается и творит мифы. Поэтому в дифурах немало лишнего, вычурного, случайного — и одно лишь наведение порядка высвобождает массу свободного места. Затем переосмысливание и переоценка. Потом отказ от второстепенных деталей.

Не насовсем, конечно. Но из «основ» многое — что загромождает — можно и нужно вынести за скобки. Наконец, пора вспомнить, что успех достигается только играючи, вслед за удовольствием. Кто учится говорить с натугой — остается немым. На этом фоне писался данный том, который, как и лекции в целом, адресован «всем», поскольку преподносит некую обшую часть. Не простую и не сложную, но дающую представление об основах и позволяюшую при необходимости двигаться дальше. Глава 1 Вспомогательный материал 1.1. Пространство и измерений При изучении функций и = 1(х„ хц ..., х„) переменные х„..., х„называют координатами, набор х = (хн..., х„) — вектором, — направляя мысль по пути ассоциаций с геометрией обычного пространства.

Постепенно выясняется, что в аналогии заключено больше смысла, чем можно было бы ожидать. Для х, у вводятся стандартные операции: умножение на скаляр Л, Лх = (Лх,,..., Лх„); сложение и вычитание, х ту = (х, хун...,х„туп), а также скалярное произведение, х.у = х~у1+... +х„у„, с помощью которого задается норма (длина вектора), В некоторых ситуациях для скалярного произведения используется специальное обозначение (х, у), а также максимально простое ху — там, где ясно, о чем идет речь. Множество векторов, на которых введены перечисленные операции, называют и-мерным евклидовым пространством и обозначают В".

1.1. Пространство п нэгиереннй Сталкиваясь с вариациями обозначений, студенты иногда проявляют недовольство. Почему бы, мол, не стандартизовать? Вообще говоря, можно, избавляясь заодно от синонимов в разговорном языке. Вариации позволяют учитывать обстоятельства.

Например, «формула переброски матрицы» с первого множителя на второй (см. далее), (Ах,у)=(х,А у), в отсутствие обозначения (х, у) оказывается «как без руки Но в других ситуациях (х, у) выглядит чересчур громоздко. Вариант ху представляется самым экономным, однако точка в х у иногда придает формуле визуальную ясность, Полужирный шрифт для обозначения векторов выглядит заманчиво, но если векторов много — рябит в глазах. Поэтому любой стандарт, как и медаль, имеет две стороны.

Умножение на число растягивает (1Л! > 1) или сжимает (1Л~ < 1) вектор, не меняя направления при Л > О, и меняет его на противоположное при Л < О. Сложение соответствует обычному правилу сложения векторов по правилу параллелограмма.

Вычитание выводится из сложения: б — а определяется как вектор, который в сумме с а дает б. На плоскости скалярному произведению соответствует перемножение адин векторов на косинус угла между ними. В общем случае такая интерпретация может быть сохранена благодаря известному неравенству Коши — Буняковского, х у<11х11 11у(),т.е. х,у,+...+х„у„< х',+...+хт ут+...+у„', которое дает возможность ввести понятие косинуса угла при любом и, х у 11х11 11У11 Векторы х, у определяют как артаганальные, если их скалярное произведение равно нулю, х у = О.

Важная роль ортогональности заключена в том, что с ее помощью определяется понятие плоскости, как множества векторов х, ортогональных некоторому вектору а, а х=б, те. ах,+...+ах„=О. Говорят, что множество векторов (х',..., х") линейно зависимо, если существуют такие коэффициенты Лп..., Л„, не все равные нулю, что Л1х'+...

+ Л„х = О. Глава 1. Вспомогательный материал 10 Коллинеорные векторы '), например, — всегда линейно зависимы. Линейно независимое множество (е',..., е") называют базисам, если любой вектор х можно представить в виде линейной комбинации х = Л, е +...