Вейль - О философии математики - 1934, страница 9

До сих пор все это †иг, но далее игра ~реврашается, по выражению ') Н11Ь е г 1, !ЧеаЬейгяпг!ипя г!ег МаШеша!!и, АЬЬ. аг!з о. Маюегп. цепь пег оп. Нашпигй, т. 1, 1922! В!е 1ой!а Ьеп вшпп!айеп г!ег Машешашс, Маш. Аппа1еп, .т 88> 1922. 27 Гильберта, в „м е т а л~ а т е и а т и к у", в предмет познания, ибо доказывается, что конечная формула какого-ни буль доказательства никогда не может оказаться противоречивой. Подобно этому и шахматы перестают быть игрою, а становятся зланием, когда доказывается, что в шахматной партии при правильном расположении фигур па доске 10 королев одинакового цвета на ней оказаться не могут. Зто положение можно доказать следуюгцим образом. Правила ходов учат нас тому, что ни олин ход не может увеличить суммы количества пешек н королев одного и того же цвета.

Вначале эта сумма равна 9, поэтому она — зтесь мы совершаем ийтуитивно-конечное умозаключение, опираясь на принцип полной шшукцин,— ни прн каком расположении фигур на доске не может превзойти 9. Для доказательства единственно лишь этого обстоятельства Гильберт вынужден прибегнуть к обладающему содержанием и смыслом мышлению, при этом его доказательствт отсутствия противоречия в конечной формуле какого- нибудь доказательства протекает путем, совершенно аналогичным только что указанному, хотя, естествснным образом, и много сложнее последнего. Из нашего изложения следует, что математика и логика должны быть формализованы заодно.

В связи с этим столь поносимая философами математическая логика приобретает решающее значение. В процессе построения системы появляется не только знак о, символизирующий одночленную числовую операцию, порол<дающую из всякого числа а ряда О, 1, 2, 3,... число оа, непосредственно за ним следуюпгее, но и одночленная высказывательпая операция (Апззаяеорега!!оп), трансформирующая высказывание а в высказывание поп-а или же, силшолически, — а '). Далее точно так же устанавливается не только двучленное числовое отношение а =Ь (в котором фигурирует известный знак равенства), ио и двучленное высказызательное отноц~е|п1е а — ьЬ (которое отрицает, что одновременно а момгет быть истинным, а Ь ложным, оно читается так: из а следует Ь). Символ Уа выражает свойство быть числом (принадлежать ряду О, 1, 2,...); Еа читается так: а есть число.

Мы рассматриваем, однако, свойства и Отношении как операции; так, например, операция -~- порождает нз двух высказываний а и Ь новое предложение а-ьЬ. Последовательно рассуждая, можно в таком случае эти символы писать н не р ед членами, к которым применяются ущ>мянутые операции. Мы вовсе не боимся поступать таким образом, как если бы этп операции были применимы ко всему возможному Действительно, если применение наших символов пе приводит к протнворечио в таком общем виде, то оио допустимо и в том более узком круге, когда мы связываем с н м некоторое реальное содержание и значение; но отказываясь от подобных ограничений, мы зато чрезвычайно упрощаем нашу формальную систему. Наряду со знзками операций мы употребляем еще два рода символов, а именно постоянные (как например 0) и переменные (а, Ь, х); эти символы отличаются одни от других так, как шахматные фигуры ') В основу своего изложения я положил зязчительио более простую, нежели гильбертова, систему, разработанную проживающим в Цюрихе молодым математиком Ф.

Незваном. (См. Гч'е вша пп, Епг Н1!ЬегГзсдеп Веже!зрлеопе, МаШ. Ее!Гасит„! 926. П р и м. и е Р ) 28 различаются согласно правилам их передвижения. Термин ф о р и у л а определяется рскуррентным образом: а) всякая постоянная или переменная сама по себе представляет формулу; б) мы получим нз одной, или двух (илч нескольких) уже наличных формул новую формулу, если мы поставим этп формулы в какой-либо одно-, или двух., илн многочленный символ операции. Можно всегда выясн,ть, является ли макая-либо определенная комбинация символов формулой или нет, при том условии, что символы выписаны доста>очно разборчиво и ясно указала их последовательность.

Нетрудно привести для примера несколько а к с и ои. При это>;, однако, мы в соответствии с обычным упо>реблепием символов будем вписывать символы =, — ь снова и еж д у членами, а знак отрицания будем писать п о в е р х ой ицаемого высказывания. При этом необходимо придется прибегнуть к употребленшо скобок. Ь вЂ ь (а - Ь). (Истинное пред>ох~ение Ь остается справедлнвьи, если присоединить к нему ли>инюю предпосылку а.) (Ь вЂ” ~-с) -ь [(а — ь Ь) — э.

(а — >.с)]. (Формула силлою>зма.) а — ь(а -ьЬ). (Принцип косвенного доказательсгва.) к. О. Ла-+Е(еа). (а =' Ь! — ь (аа = аЬ). Более целесообразно рассматривать написанное не как аксиомы, а как схемы для образования аксиом: подставляя в любую из этих схем вместо букв какие-либо формулы (при этом, конечно, одинаковые буквы заменяются повсюду одними и теми же формулами), мы >олучаем аксиому. Полнило умозаключения гласит: из двух формул а и а-+Ь, у которых го второй из них слева от знака — ьстоит первая фо; мула, вытекает формула Ь. В тои случае, когда одне из двух разы~раиных партий игры в доказательство приводит в разул.тате к формуле а, а другая — к протпвополо>кной ей формуле а, мы имеем дело с п р о т и в о р е ч и е и. Если оставаться в круге только что рассмотренной нами системы аксиом (перечисленных, впрочем, недостаточно полно), то нетрудно доказать положение об отсутствии противоречия в конечной формуле какого-нибудь доказательства.

Именно, пользуясь рекуррентным методом, каждой формуле можно в соответствии со способом се получения приписать одно из двух „значений" истинности или ложности так, что все эти аксиомы прим.т значения исжпшых. Формула а — «Ь будет принимать значение ложной только в том случае, если а окажется истинным, а Ь ложным, и наконец, предложение а будет ложным или истинным, смотря по-тому, истиш<о или ложно а. Из сказанного следует, чго по с кол ь к у т ра н сфинитное находится за пределами системы, постольку силлогизм, дедуктивный метод остается совершенно б е с с и л ь н ы и; мы оказываемся в состоянии установить истинность илц же ложность п сылки а в формуле а- Ь только после того, как у>ке установлена истинность или ложность предлохсеиия Ь. 2в длв введения трансфиннтпых способов умозаключения мы нуждаемся в новом виде символов.

Когда мы из какого-ннбудь свойства схемы высказывания а (х) с одной переменной иаи пустым местом х (вроде: человек х подкупен) образуем высказывание: все х удовлетворяют высказыванию а (х) (все люди подкупны), то мы фактически выполняем некоторое логическое действие, исключающее переменную х из формулы высказывания (х после этого более заменить ничем нельзя). Подобное действие может быть названо и н т е г р и р о в а н и е м по х.

В формалнзоваш:ой математике этому действшо будет соответствовать некоторый символ с индексом х. При этом трудность, связанная со свободным применгндем в содержательном анализе выражений „существует" и „все", формально преодолевается следующим образом. В качестве исходного пункта мы примем сначала старую, оспариваемую Броуером дилемму, согласно которой либо все люди подкупны либо существует по крайней мере один неподкупный человек; далее, если все люди подкупны, то мы условимся понимать под словом „Аристид" любого человека, в случае же обратном какого-либо из неподкупных людей.

Как известно, согласно Броуеру, мы имеем право сделать вывод, что такой Аристид существует, только если мы су. меем сконструировать его, исходя нз свойства подкупности. Вообразим же себе для эгого некий божественный автомзт, так устроенный, что если мы бросим в него формулу вв)сказываннв а(х) с одной переменной х, то он указует нам на такого 'индивидуума т,а, который (по отношению к свойству х) может репрезентировать собою всех людей, причем репрезентировать он может их в силу того, что имеет силу следующее предложение, если этот индивидуум т„а обладает свойством а, то свойство а присуще всем л:одам. Символ т„при этом выражает собой интегрирование по х.

Если бы мы имели в своем распоряжении подобный автомат, то он избавил бы нас от всех забот, но само собою разумеется, вера в его существование является чистейшей бессмыслицей. Математика, однако, поступает так, как если бы наш автомат существовал. Это можно выразить прн помощи определенной схемы аксиом и если такая схема не влечет за собой противоречия, то ее употребление в формализованной математике оказывается вполне законным. Схема эта имеет такой вид: ) (ь) т.

е. гласит: возьми две формулы а, Ь и слева от символа-+.выпиши ту формулу, которая возникает из а, когда ты заменишь переменную х во всех тех случаях, когда она встречается, формулой т„а; справа же выпиши формулу, возникающую из а, когда ты точно так же заменишь х через формулу Ь; полученная таким образом формула и будет аксиомой. Разумеется, эта схема не может оказать нам той услуги, что автомат, и когда задана формула а, она не говорит нам, что с о 6 ою представлвет т,а; только при некоторых условиях базирующееся на наших аксиомах доказательство в конечном итоге привздит к таким формулам, как, например, т„а = О. Гильберту удалось доказать отсутствие противоречия в конечной формуле доказательств, включив в систему аксиом также н трансфннит- 30 ную схему (*).

Одного рекуррентного подразделения всех формул на „истинные" и „ложные" недо.таточно. Лишь в соединении с трансфипнтным становится, как нас уверяют, плодотворным силлогизм, но в результате подобного их соединения мы далеко выходим за пределы той принципиально доступной интуитивному узрению области, точные границы которой стремился установить Броуер. Одной трансфиннтной аксиомы('), конечно, недостаточно; для беспрепятственного образования множеств и функций необходима еще и другая.