Вейль - О философии математики - 1934, страница 13

Сазз)гег, 1, стр. 185):,Впрочем„я пост пил приблизительно так, как и Эвклид; когда он не мог прямо определить абсолютный смысл какого.нибудь геом=трнческого отношения, 41 то он указывал, что следует понимать под равными отношениями". И несколько выше он пишет: „дух, однако, пе удовлетворяется этим соответствием, он ищет тождества, вещи, которая действительно была бы той «ке самой, и он представля.т ее себе как бы находящейся вне субъекта". В математшсе принцип этот приобрел особенную силу и притом в многообразных его проявлениях только в Х1Х веке.

Созпагельно сформулированным во всей его всеобщности он встречается у Паша (1882) в уже цитированном отры-ке, еще отчетливее он у ч реге (11!е Огипб!адеп дегАг!1Ьше!йг, Вгез!ап 1884, 3 63 — 68). Затем ср. Не!шйо!1х, уаЬ!еп ппй Меззеп (1887), %!ззепзс!з. АЬЬапб!ипяеп, т. 3, стр. 377. Представляется как будто бы возможным параду с математической формой абстракции поставить еще другую, изначальную абстракцию, Я могу выделить в цветке' абстрактный момент цвета как такового; эта абстракция является здесь первичной, а основывающееся на ней эвентуальное суждение, что два цветка имеют оба одинаковый красный цвет, является вторичным. Между тем в случае математической абстракции равенство является первичным, а тот момент, по отношению к которому ил~еет силу равенство, получается лишь па основе отношения равенства.

Однако я также могу охарактеризовать числа класса чисел, сравнимых по людулю 5, тем, что все они прн делении па 5 дают один и тот же остзток, а подобие двух треугольников †т, что величины углов и отношений сторон в обоих треугольниках одинаковы. Общ~ й способ посгроения остатка или же указанных величин играет здесь роль момента „цвета", а тождественность получающихся для обоих предметов результатов — роль тождественной красноты" у двух чувственных вещей. Таким образом изначальная абстракция подчинена математической. Я, однако, не в состоянии выразить при помопш какого-либо обьективного признака то общее, что присуще всем конгруентным треугольникам, или то общее, что присуще всем находящимся в одном месте телам (на этот пример указывает в приведенном отрывке Лейбниц), я могу лишь указать: конгр,ентно с данным треугольником, находится в данном месте.

Интересуюший нас вопрос связан с проблемой относпгельности, с противоположностью, существующей между абстрактным определением ииьыуитивнымуказанием. Однако и в том и в другом случае существенным моменточ является преобразование общего признака в некоторый идеальн.й объект, например свойства быть красным в носящий характер предмета „красный цвет", к обладанию которым „причастны" красные вещи. Каждому свойству Е (х), обладающему смыслом в пределах некоторой задзнной категории предметов, мы ставим в соответствие некоторое множество, именно, „множество вещей х, обладающих свойством Е".

Так, например, лгы говорим о множестве всех четных чисел, о множестве простых чисел, о множестве всех точек, лежащих на данной прямой. Следует особенно остерегаться того представления, будто подобное множество как бы собрано из его отдельных элементов. То обстоятельство, что мы знаем какое-либо множество, означ.ет лишь, что нам дано какое-нибудь характерное для его элементов свойство, Только в случае ко((ечных множеств наряду с общим описанием мо;кот существовать и индивидуальное описание, со тоящее в указа,пп каждого из его 42 элементов. (Впрочем, последнее можно формальным образом подчинить вакономерному описанию: например обраэованкочу из трех данных предметов а, Ь, с множеству со тветствует свойство быть либо а, либо Ь, либо с: (х=а1~/(х=Ь)х/(х=с).) Прн некоторых условиях двум различным свойствам Е и ЬУ соответствует одно и то же множество— это имеет нес~о именно тогда, когда каждый предмет (нашей категории), которому присуще свойство Е, обладает также и св йством Е', и наоборот.

Таким образом для тождественности двух множеств, в противоположность свойствам, существенным является не способ их опрелеления из основных отн~ швинд ~при помощи пере шсленпых в й 1 принципов), а только некохорое фактическое, не вытекающее пз смысла определения, а относящсеся к категории с у щ е с т в у ю щ и х предметов обстоятельство, именно — приналлежпость каждого элемента одного множества к другому, и наоборот. Если так трактовать понятие множества, то ясно, что творческое определение есть не что иное, ьак переход от свойства к множеству, так что возведение новых математических налстроек пу",ем установления новых классов идеальных объектов может быть в общем виде охарактеризовано как образование множеств.

Т.перь уже нет ничего предосуди ельного я определении круга с центром в О, и проходящего через А, кдк множества всех точек Р, расстояние которых от О равно ОА; цвета к~кого-нибудь предмета — как множества всех одинаково с ннм окрзшенных предметов; числа 5 — как множества всех тех совокупностей, которые равночислепны с данной совокупностью пальцев моей правой руки. Разумеется, иллюзия предполагать, будто благодаря этому мы оказываемся способныаш конкретно постичь идеальные предметы (иллюзия, н<сртвами которой явились Дедекинд, Фреге и Рессель, прелставлюощие себе очевидно „м:ожество" как некоторый коллектив). Скорее наоборот, можно сказать, что благодаря принципу творческого определения удалось раскрыть смысл общего понятия множсства и оградить его ог ложных толкований.

Употребляемые при образовании нового абстрактного понятия Ф свойства, вообще говоря, зависят от одного или нескольких аргументов а, и, ..., могущих свободно изменяться в некоторых облас гях объектов: Ф янляех ся ф у н кцией и, и, ... Так, в случае определения круга трехчленное отношение ОР=ОА расскатривае:ся как ззвисящее от О и от А отношение (свойство) с одним пустым местом Р; „круг с цен~ром в О и прзходящий через А" есть функция О и А.

Болыпую важность представляют те случал, в которых трансфииитпый, апеллирующий ко всей совокупности пре дметов какой-нибудь области критерий совпадения двух значений Ф (и, и,...) и Ф (и', и',...) известного аостракгного понятия может быть на основании некоторых, име:ощих общее значение условий преобразован в кр ~торий фииптный, явствующий из смысла определяемого отношения, как это инею место в случае круга и определений пос, едством абстракции. Идеальные элеченты можно также определять вместо свойств от н о ш е н и я и н. Если угодно придерживаться и в этом пункте теоретико-мновсественцзй терминологии, то, напрзчер, каждому двухместному отношедию тх мы должны посгавить в соответствие „двухместное множество' Я) таким обрзэзч, что (,9) являетс~ тождественным с Я') в том случ.ш, если лля любых элементов а и Ь не может быть из 43 двух суждений /с(а, Ь) и )с' (а, Ь) одно истинным, а другое ложным.

В соответствии со всея сказанным окончательная форму ировка принципа творческого определения такова: отношение !с (ху.../ио...), одни пустые места которого ху... отделены от других по..., определяет некоторое зависящее от ио абстрактное понятие Ф(ио...); Ф(ио...)=Ф(а'о'...) тогда и только тогда, когда предметы х,у... соответствующей категории, находящиеся к и, и... в отношении Я, всегда находятся в том же самом отношении !с и к и', о'..., н наоборот. 3.

Логичискои умозаключвннв Теперь, после того как мы рассмотрелн вопрос об определении, перейдем к проблеме доказательства. Если представить себе какую- либо геометрическую теорему в виде гипотетического суждения, большая посылка которого состоит нз всей совокупности геометрических аксиом, и если заменить мысленно сокращенные выражения тем, что они означают согласно их определению, то мы получим „ф о р и а л ь н о справедливое" „аналитическое" суждение, истинность которого ни в коей мере не связана со смыслом заключающихся в нем понятий: точка, прямая, плоскость, лежит на,между, конгруентный.

Задачей логики умозаключения является дать характеристику тех структур суждений, которые обусловливают формальную справедливость суждения. Формы ВагЬага, Вага1!р!оп и т. д. приносят в этом деле небольшую помощь. Л.йбниц видел в учении об „агпшпепз еп 1огше" цпе езресе бе Ма1!тэша1!йце пп!ч етзе1!е, боп! Гппрог!апсе п'ез! раз аззех сопппе (своего рода универсальную математикг, значение которой еще недостаточно известно„й!опчеацх Еаза!з, кн. 1Н, гл. ХН11, э 4).

Ту часть логики, которая оперирует исключительно логическими связками „не", „и", „илн", мы противопоставим в качестве ф и н и т но й лог и к и логике т р а н с ф и н и т н о й, которая кроме этих связок пользуется еще высказывательными операциями: „существуст" и „все". Причина этого подразделения в следующем. Если передо мной лежат несколько кусков мела, то суждение, „все эти куски белые" представляет собою только сокращение такого суждения: „этот кусок белый й этот кусок белый бг...

(причем я указываю на них один за другим); точно так же суждение „среди них существует красный кусок" есть лишь сокращенное выражение для суждения: этот кусок красный Н' этот кусок красный Н'... Но подобное толкование возможно только в случае конечных множеств, элементы которых заданы. В случае же бесконечных множеств в смысле выражений „все" и,существует" заключается глубокая проблема, расположенная в самом центре математики и составляющая истинную тайну бесконечного. Этот вопрос будет рассмотрсн нами в ближайшей главе.

Здесь налицо имеется аналогия с переходом от конечных сумм к бесконечным,— смысл последних связан с известными условиями сходимости, и имн не во всех отношениях можно оперировать как конечными суммами. В исчисление предложений целесообразно ввести нарязу с символами для „нет", „и", „нлн" еще символ а-ь6, читающийся так; на и следует Ь, М Он означает ие что иное, как а~/Ь (либо а ложно, либо Ь истинно) и не выражает никакой отличной от этого к более глубокой связи между высказываниями а и Ь.

Впрочем, можно было бы ограничиться только двумя из числа четырех символов, й, ~/,-»; в исчислении предложениИ целесообразно избрать символы-+ и —. Более того, достаточно одного символа а/Ь, означающего несовместимость предложениИ а и Ь (а~/Ь). Именно, вместо а, а -» Ь, а й Ь, а ~/ Ь можно писать: а/а, а/(Ь/Ь), (а/Ь)/(а/Ь), (а/а)/(Ь/Ь). Однако мы для большей ясности будем пользоваться здесь всеми че„ырьмя символами.