Вейль - О философии математики - 1934, страница 11

Отношиния и их со яд и няни в. Стгхктх за схждвиий В геометрии Эвклида лгы оперируем тремя категориями предметов: точками, прямыми и плоскостями, не опреде яемычи, а рассматрив.емыми в качестве интуитивно-данных, и тремя основными отношениями: „лежать на" (точка лежит на прямой, прямая лежит на плоскости, точка лежит на плоскости), „между" (~очка х лежит между то каки х и 00 и „конгруентный" (конгруентность отрезков и углов).

Аналогичным образом в области натуральных чпсел 1, 2, 3,... единстве.,ным основным отноше~ нем, при помощи которо~о определяются все прочие, является отношение, существующее между числом и и следующим за ним чгслом натурального ряда и'. Хороший пример для учения об отношениях представляют собой отношения родства между людьми. Здесь мы имеем дело с двумя основными категориями, именно, лицами мужского и липами женского пола, а в качестве основных отпошснпй выступают отношение де~ей к родителям (х дитя у) и брак (х состоит в браке с у). Схема суждения о каком- либо о т н о ш е н и и, например: ж следует за у, солержит одно или несколько пустых мест х,у,..., каждое нз которых относится к опрелеленной категории предметов.

Определенное суждение, например: 5 следует за 4, получается из схемы сух<ленив тогла, когла каждое п>етое нес~о заполняется каким-либо опрелеленным предметом соответствующей категории. Наша речь не отражает точно структуру подобных сужленпй об отношениях,— в иих не существует субъекта, связки и предпката, а имеется лишь отношение с двумя равноправными пустыни местами, заполняечыми предметами.

Для того чтобы освободиться от случайных грамматических форм речи, можно было бы схемы суждений об отношениях ззменить деревянными дощечками со вставленными в них колышками, соответствующими пустым местам схемы, а предметы — небольшими просверленнылш шариками, которые можно было бы насаживать на эти колышки. Сами по себе это столь же целссозбразные символы, как н слова.

Два суждения такого рода, как „5 следует за 4" и „4 предшествует 5", выражают одно и то же отношение мсжлу 4 и 5; в этом случае несправедливо было бы говорить о двух обратных друг другу отношениях. Разумеется, пустые места обладают каждое в схеме суждения своим специфическим местом, и те отношения тг(ху), которые (как, например, х брат у) имеют то я.е значение (или же обладают одинаковым по значению объемом), что и й (ух), отличаются некоторым особеншам свойством (псреместительностью). В число отношений мы включим также и свойства, подобно тому как единицу мы считаем числом; соответствующая свойствам схема суждения содержит только одно пустое место.

В пятом письме к Кларку Лей.ниц (Напр!зсЬг!!!сп, изд. Сазгйгегг РЫ!. В!Ы., т. 107!108; 1, стр. 185) говорит о некотором „отношении между Е и М, не обращая внимания иа то, какой его член являетск прелшествующим илн последующнма какой субъектом или объектом". „Нельзя сказать, Зб что оии оба — 1. и М вЂ” вместе представляют собой субъект подобной акциденнии, нбо в этом случае мы получили бы одну акциденцию в двух субъектах, которая таким образом как бы стояла одной ногой в олпом, а другой в другом субъекте, что несоединимо с понятием акциденции. Поэтому следует сказать, что отношение вообще существует впе субъектов и что оио, поскольку оно не является нн субстанцией, ни акциденцией, должно представлять собой нечто чисто идеальное, исследование чего, однако, не становится от этого менее плодотворным".

То (высказываемое нли молча принимаемое) мнение, будто каждое отношение должно основываться на свойствах, причинило много вреда философии. Если, например, суждение, что одна роза окрашена отлично от другой, основывается на том, что одна из ннх красная, а другая желтая, то отношение „точка А лежит слева от В" не обосновывается на каких-либо качественно отличных положениях точки А самой по себе и В самой по себе. Сказанное имеет силу и для отношений родства. Оспариваемое здесь мнение имеет своей основой, очевидно, область чувственных данностей, способных дать только свойства, но не отношение.

Поэтому-то Лейбниц в цитированном отрывке считает отношение чем-то чисто идеальным. Об отношениях, в которые входит более двух членов, в логико-. философской литературе почти что не упоминается. Введение схем суви дений с пустыми местами представляет собой важное преимущество математической логики по сравнению с традиционной; по аналогии с математическими функциями, доставляющими число при замене их аргументов или пусгых мест числами, эти схеиы суждения часто называют также пропозициональными функциями („функциями суждения" — (ЫеИз1цпкйог~еп).— В аксиомах арифметики наряду сотношениями играютроль также и о п е р а ц и и, например действие сложения, порождающее из двух чисел а, Ь третье число а+Ь.

Однако мы можем заменить это действие отношением а+Ь=с, существующим между тр мя числами а, Ь, с; это отношение „однозначно" по отношению к аргументу с, т. е. для двух любых чисел а и Ь всегда существует одно и только одно число с, стоящее к ним в отношении а+Ь=с. Поступая так, мы подчиняем генетическое построение покоящемуся бытию отношений; в дальнейшем, однако, мы, наоборот, заменим все отношения конструктивными процессами. Принципы комбинирования отношений таковы: 1.

В схеме отношения с несколькими пустыми местами можно заставить совпасть отдельные пустые места, их отождествить. Так, например, из сиены Ж(жу) — „х племяннику", возникает Ф(хл) — „х племянник самого себн". 2. Отрицание. Символ: —. Из И(ху) возникает М(ху):,х не есть племянник у . 3. „И". Символ й. Из М(ху) и )г(ху) (что означает „х отец у ) возникает, например, отношение с тремя пустыми местами: И(ху) ЙФ(ул)— „х отец у н у племянник г". Следует указывать, какие пустые места обеих соединяемых нами схем совпадают друг с другом.

В символике это осуществляется употреблением одинаковых букв для обозначения таких мест. 4 „Или".Символ т/. У(ху) ~(Ф(ух),т.е.,хотецунлиуцлемяимнках. йй Соединение при помощи „или может быть также выражено прн помощи отрицания и соединения союзом „и", и наоборот ').

5. 3 а м е ш е н н е пустого места каким-нибудь непосредственно указанным предметом соответствующей категории. )' (я, х) означает: „я отец х"; зто есть содержащая только одно пустое место х схема того свойства, которое присуще исключительно моин детяя. 6. Все. Символ П,. Например, П„)с(ту) означает: „все х (соответствующей категории) находятся к у в отношении 77(ху)". -7. Существует. Символ Вп ~~Я(ху) означает, что существует такой у, к которому х находится в отношении )г(ху). Еа и П могут быть посредством отрицания сведены один к другому, подобно ~/и б!.

В схеме, которой предшествует знак П„или знак Е„с индексом х, пустое место х также теряет свое спейс!во быгь замещаемым, как и при замещении его согласно 5-му принципу. В помощь обоим последним принципам построения к числу непосредственно заданных отношений нашей области предметов всегда присоединяется еще двучленное отношение логического тождества х=у.

При меры. 1. 1(опустим, что знак (хй) выражает собой то, что точка х лежат на прямой б. Согласно Эвклиду, в геоаетрии на плоскости параллельность двух прямых й )! 5' заключается в том, что они не имеют ни одной обшей точки (х). Тогда определение отношения 5 )! 5' будет таково: В.((хб) ~(хй)). 2.

Утверждение, что через две различные точки (х,у) всегда проходит одна прямая (а), следует записать так: П„П„ ((х =у) 1/ Е ((хй) й (уб))). 3. В области натуральных чисел р называется простым чистом тогда, когда не существует никаких отличных от 1 чисел х и у, наход щикся к числу р в отношении х у =р. Свойство числа р быть простым следует определить так: П„П,((х= 1) ~/(у=1) ~ь/ х у =р ). Исходя из непосредственно заданных основных отношений какой-либо области предметов и применяя наши принципы произвольным обоазом. мы будем получать неограниченное количество новых „производных" отнош.ний (к которым, разумеется, мы причислим также и основные). Среди них мы встретим, в частности, отношения, содержащие только одно пустое место, когорые мы назовем „производнымн свойствами'.

') Лейбниц употреблял дся „и" н „или" символы ° и +. Мы отказываемся от такого знакоупотреблення во избежание смешения с арифметическим сложением и умноясеннем. Формальная аналогия нх пр1яв яется в установленном Л мбертом (Ас!а епнШ., !765, стр. 44!) распределительном законе: а (Ь + с) = (а с) + (а с). К лейбиипеву употребленнюо знаков примыкает паше применение символов произведения я суммы Ы я 1; в 6-м я 7-м принш!пах. р)з третьего примера (определения простого числа) достаточно ясно видно, как подобное произволное свойство Е (х) служит в качестве „б!!!егеп!!а зрес!!!са' (в смысле аристотелевой лоппги) для того, чтобы образовать новое понятие о предмете из „девиз ргохппцш" той категории предметов, к котороИ отно ится его пустое место. )(злее, среди производных схем суждения имеются и такие, которые вообще уже не обладают свободныьш местами, как во втором примере; это „с пе ци ф и ч ес кис сужд е и и я" нашей области предметов.

Если бы нам было известно о каждом из этих суядений истинно оно или нет, то мы гбладали бы совершенным знанием предметов соответствующих категорий пр менительно к непосре дственно заданным у них основным отношениям. Логическая струк~ура подобного суждения может быть удовлетворительно описана лишь в том глупа, когда будет указано, каким именно образом, в какоИ последовательно;ти и в каких комчинациях участвовали в его выведении из основных отношений наши семь принципов. Мы здесь бесконечно далеки от старой теории, согласно которой предложение всегда состоит из субь" кта, предиката и связки.

Излохгенный синтаксис отношений дает прочную основу для л о г и ч е с к о И к р и- тики нашей речи. Сравни, например, рассун<дения Ресселя (Е!и!цЬгцпя !п б!е ша!ЬетацзсЬе РЬ!!озорЫе, гл. 16) об употребленном не в указательном смысле определенном члене (например в суждении: б ! е дшсЬ б!е ЬеЫеп топе!папбег чегзс1цебепеп РппЫе А, В !ппгЫгсЬ5ейепбе Оегабс деЫ ацсЬ бигсЬ С ЫпбцгсЬ,— проходящая через две различные точки А, В прямая проходит также через точку С).

О б ш и м гюзывается такое суждение, в построении которого ии разу пе принимал участия 5-й принцип замещения каким-либ > непосредственно указанным предметом („вот этим"). Противоположными им явлюотся ч а с тн ы е суждения. (Можно различать еще абсолютно частные суждения, когда пр меняется только 5 й принцип замещения, но не П„и не Е, от .смешанных" обще.частсых.) Предмет а является особой сушнос т ь ю (Яоп зегжезеп), если оз поднос гью характеризуется ляким либо с п еци ф и ч е с к н и о б щи м свойством, т. е. если без применения 5-го принДипа конструируется свойство, при 'ущее предмету а и не присущее ни рдиому другому предмету соответствующей категории.