Вейль - О философии математики - 1934

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ Наиболее интересным явлением в области современной философии математики безусловно следует признать интуиционизм. Интуипионизм— не изолированное, ограничивающееся мзтематикой или философией математики, явление. Он не случайно возник и получил широкое распространение именно в ХХ столетии, в эпоху империализма. Современный крпаис основ математики наиболее яркое выражение получает именно в философии интунционизма. Развитие науки уже в Х!Х столетии находилось. в противоречии с общественными отношениями, характеризующими капитализм.

Но все же многочисленные ученые представители господствующего класса, рядясь в тогу научной „беспартийности", могли еще в ту пору пытаться не замечать этого противоречия. Эпоха империализма, до предела обнажившая и обострившая все противоречия капиталистического общества, сделала такую позицию невозможной. Ученые были поставлены перед неизбежностью выбора. И между наукой, в муках рождающей диалектический материализм, и философией класса, в устах представителей которого все чаще и чаще звучит теперь лозунг „назад к варварству!", интуицнонисты выбрали философию. Они принесли основные органические части живого тела современной математики в жертву своей реакционной философской установке, в жертву стоящим вне науки метафизическим догматам.

Это не исклнзчает правильности ряда отдельных положений интуиционизма, особенно в критической его части, направленной против формально-логических методов в математике. То обстоятельство, что империализм есть загнивающий капитализм, не исключает элементов роста и развития отдельных областей, отдельных моментов науки и техники. Больше того, именно этот рост, усиливающий противоречия капитализма, и ведет к неизбежности его конца. Именно такой подход необходим и при оценке интуиционизма. Противоречивость интуиционизма, наличие в нем таких моментов, которые обусловлены именно ростом науки делают знакомство с ним необходимым не только для его критиков, но и в целях положительной разработки марксистско-ленинской философии математики.

Если еще в'начале текущего столетия большинство математиков, в том числе и столь крупных как Ф. Клейн, были убеждены в том, что работами Кантора, Дедекинда и Вейерштрасса проблема обоснования анализа решена окончательно и бесповоротно, что проблемы иррационального числа, например, больше не существует, если такое убеждение распространяется еще и в настоящее времи среди подрастающего поколения й $ наших молодых советских математиков — не только студенчества, но и аспирантуры,— то работы Вейля во всяком случае показывают, что вопрос этот еще спорный, что над проблемами числа и континуума еще много и много придется поработать, Больше того, если такому крупному математику, каким является Вейль, приходится констатировать наличие тупика, в который это обоснование заходит, если он вынужден заговорить поэтому о кризисе основ математики, то это является еше одним прекрасным доказательством невозможности вообще обосновать математику на путях идеализма.

Кризис основ математики, кризис естествознания вообще лает возможность фашистам вопить о крушении науки. В действительности же этот кризис, как было отмечено Лениным еше 25 лет тому назад, обусловлен как раз несоответствием методологической оболочки конкретному содержанию науки. В этом смысле л=нинская оценка этого кризиса как кризиса роста остается справедливой и для настоящего момента, ибо выход из кризиса есть.

Он лежит на путях дйалектического материализма, С. Яновская. ОТ ПЕРЕВОЛЧИКА 25 лет назад в своем „Материализме и эмпириокритицизме" Ленин показал, что переживаемый современной ему физикой кризис есть по существу кризис ее методологических основ. Нарисованная Лениным картина философской борьбы идеализма с патернализмом вокруг новейших научных открытий оказалась, как того и следовало ожидать, типичной для всего буржуазного естествознания и математики. Последнее десятилетие и в области математики прошло под знаком кризиса ее методологических основ.

Но если с ленинской оценкой кризиса физики широкие слои наших советских читателей имеют возможность непосредственно познакомиться по „Материализму и эмпириокритицизму", то сущность кризиса основ математики в нашей литературе осталась почти неосвещенной. У нас нет до сих пор даже сколько-нибудь удовлетворительного, в смысле полноты, изложения взглядов различных борющихся групп. Между тем выработка марксистских воззрений немыслима без знания и понимания зтих— в основном нематериалистических †теор. Нужно иметь в виду, что кризис основ математики был, как и кризис физики, вызван в значительной мере именно ростом самих математических теорий, выдвинувших ряд новых и по-новому поставивших ряд старых методологических проблем, мимо которых теперь пройти уже нельзя. Кроме того в работах школ Ресселя, Гильберта и др.

имеется тонко разработанный формальный аппарат, без овладения которым невозможно обойтись при работе. Все эти обстоятельства и поставили вопрос о необходимости вы» пуска серии сборников, посвященных буржуазной филоаофии математики и имеющих своей задачей дать возможность советскому читателю познакомиться с современными философскими спорами вокруг основных методологических проблем математики по оригинальным работам буржуазных математиков и философов математики. 4 В настоящее время основными направлениями в иностранной философии математики являются учения логнстов, интуиционистов и формалистов. Если воззрения школы Ресселя в русской литературе прел- ставлены несколькими переводными работами '), то изложений идей двух других и притом' более новых течений гочти совершенно не имеется.

Работы Пуанкарея) поставить в счет здесь, разумеется,. нельзя, ибо современный интуиционизм во многом отличается от старого. Что касается нашей небогатой журнальной литературы, то статья А. Я. Хинчина') дает несколько субъективное изложение идей Броуера, а критическая статьи С. А. Яновской, лишь весьма кратко намечает основные философские принципы интуиционизма'). Приходилось, таким образом, выбирать для начала между сборниками по интуиционизму или по формализму.

Я останэвилбя на первом, ибо, хотя развитие воззрений школы Гильберта и продолжало в основном намеченную им более 30 лет назад линию формвльного аксиоматичсского метода, но в последние десятилетия философская борьба в среде математиков шла по существу вокруг проблем, поставленных интуиционизмом. В дальнейшем, конечно, будет нужно дать советскому читателю вовкожноять познакомиться с оригинальными работами гильбертовского направления. Прн выборе материала для этого сборника я счел полезным остановиться на статьях Вейля, а не главы интуиционистской школы Броуера, потому что работы последнего доступны лишь очень ограниченному кругу читателей.

Помещенные !ке здесь статьи Вейля, не говоря уже о том, что они неизмеримо более понятно, чем работы Броуера, излагают„ — быть может, с несущественными отклонениями, — современные пнтуиционистские идеи, обладают еще тем преимуществом, что уделяют достаточно места рассмотрению других течений н развитому в математической логике аппарату. „Легкость" работ Вейля не следует понимать, однако, в абсолютном смысле. Будучи значительно более доступными, чем работы Броуеэа, они все же весьма трудны. Приходится особенно сожалеть о том, что места, ииеющие наибольшее принципиальное значение, например посвященные доказательству наличия „порочного круга" в современном обосновании анализа, очень туманны.

Несмотря на некоторые повторения, три эти статьи хорошо дополняют друг друга. Первая, более краткая — „Современное состояние проблемы познания в математике" а) — и притом бблее других популярная, дает общий исторический обзор проблемы обоснования математики. Вторая, представляющая собой часть книги „Философия математики и естествознания" '), довольно детально излагает основные ') Л. Кутюра, Философские принципы математики, пер.

Б. Кореня под Рел. П. С. Юшкевича, 1912. „Новые идеи в математике", сб. 10-9 (полемика между Кутюра и Пуанкаре), 1915. ') „Наука и гипотеза, „Ценность науки",,Наука и метод", „Пэследнне мысли', „Новые идеи в математике", сб. 10-й. ') .Вестник Комм, академии, № 16. ') См, сборник „На борьбу за материалистическую диалектику я математике", ') Рбе Ьепйде Егхепп!я!зз!аяе !и бег Ма!Ьешайк, 5ушроз!эп 1926, 1. ') Р!И!озорЬ!е бег Ма!Ьета!!К ппб )Ча!пгяяззепзспай, 1927, 4-9 вып.,НапбЬпсп бег Р)й!оаорЬ!е" под ред.