Вейль - О философии математики - 1934, страница 12

Экзистенциальные суждения могут быть высказываемы только по отношению к чему-либо описанному таким образом при помощи своИства, ио не по отношению к чему-либо только названному; символ Е„обязательно нцеег свопм индексом пустое место х (замечание, которое можно использовать для критики онтологического доказательства бытия божия). В п, еделах области,исел 1 является особой сущностью, так как 1 является единственным числом, не следующим ни за каким др) гим числом.

В с е числа числовых рядов суть особые сущности. Эгпм в первую очередь объя нчется чувство таинственно;ти числа, числовая магия: в числовой послетовательности кажется, что мышление порождает из самого себя б сконечное многообразие совершенно своеобразных особых сущностей. Это чувство мы испытываем, например, перез непонятным законом распределения простых чисел. г)з точно так же нг свободном пострлении и индивидуальном характере чисел покоится и их применение 38 для точного теоретического познания действительности.

С точками в пространстве дело обстоит как раз наоборот: выведенное нз основных геометрических отношений без указания частных точек, прямых или плоскостей и прнсу<цее какой-либо одной точке свойство — присуще также всякой другой точке. В этой логической однородности пространства отрал<ается его интуитивная однородность. На это же указывает и схватывающее принципиальную сущность „подобия" фигур в геометрии определение Лейбница: „подобно то, что, будучи рассматриваемо само по себе, не моэкет быть отличено от другого" (Ма1пеш. Яс)!<11)еп, изд. Осг!эагб), Ч, стр.

180). 2. ТВОРчвсков опРвдвлепнв В матвмАтикв Наряду с рассмотренным в первоч параграфе фориально комбинаторным определением производных отношений з математике существует и т в о р ч ее к о е, порох<дающее новые идеальные предметы определение. Так, например, в геометрии на плоскости на основе выраженного в аксиомах трехчленного точечного отношения конгруентности ОА=ОВ понятие о кружин о с т и определяется следующим ооразом: точка О и отличная от нее точка А определяют окружность, именно, окружносэь с центром в О, проходящую через А". Принздлежность точки Р окружности обозначает, что ОА=ОР.

Дхя математика совершенно безразлично„что такое окружности, для него важно только знать, каким образом может быть задана окружность (именно, точками О и А) и что означает выражение, что точка Р принадлея<ит заданной таким образом окружности. Только в суждениях такого рода, да в тех, которые определены на основании их, явным образом участвует понятие окружности. Поэтому окружность, определяемая точками О и А, тождественна с окружностью, определяемой то!клмн О' и А', тогда и только тогда, когда все точки, принадле,кашне первой окружности, принадлежат также и второй, и наобо;от. Из геометрических а<:сиам следует, что этот критерп'1, имеющий дело с бесконечным многообразнем в с е х точек, может быть заменен конечным: О' должно совпздать с О и О'А' быть рзвцым ОА. Дальней ши е примеры. 1. Никто не может определить, что такое функция.

Однако: „функция г задана, если каждому вещественному числу а кзкич-либо определенным закономерным образом ставится в соответствие число Ь (например, п эн помощи формулы Ь = 2а+ 1). Тогд! говорят, что Ь является з н а ч е.н и е м функции г' при значении аргумента, равном а. Вследствие этого две !определенные различными способами) функции счн<аются равнычи тогда, когда прн всех возможных значениях аргуменга а оба соответствующие пм значсння функции всегда совпадшот. 2. „Бесконечно удаленные точки" эвкхидовой геометрии, в которых будто бл пересекаются параллельныэ прямые, представляют собой подобные идеальные этементы, прнсо.днненные к действительным точкам при по ощи творческого математического определ.ния.

Таким з<е способом можно и в бол е общем виде, всходя нз геометрических образов какой-лнбо ограниченной н единственно нам доступной части пространства <х, ввести, присоединить в качестве идеальных 39 элементов н недпстуцные (включая бесконечно удаленные) точки и таким путем расширить ограниченную часть пространства до полного пространства проективной геометрии.

Для этого надо при помоши .геометрических построений в гг установить, когда несколько действительных, т. е. пересекающих Я прямых, исходят из одной идеальной точки. Проще всего определить эту точку как вершину некоторого (образуемого действительными прямыми) трехстороннего угла. Таким путем получается следующее определ ние: „три не лежашнх в одной плоскости прямых а, Ь, с, каждая пара которых лежит в одной плоскости, определяют некоторую „идеальную точку" [а, Ь, с]. Утверждение, что прямая проходит через эту точку, означает, что 8 лежит в одной плоскости с п, а также с Ь и с с". Отсюда затем можно вывести, когда следу г считать две таких идеальных точки тождественными.

Каждой действительной точке р соответствует одна и только одна идеальная точка г., облалаюшая тем свойством, что всякая проходящая через р прямая проходит в смысле нашего определения через и. Таким образом можно отождествить часть идеальных точек с дейс.вительными (ср. Раасн, Уог!еяппКеп йЬег пепеге Оеоше(пе, 1882, стр. 40). Подобным же путем в математике постоянно производится расширение первоначально заданной области операций прн помощи присоединения идеальных элементов, причем делается это для того, чтобы сообщить всеобщую применимость некоторым простым законам.

Так, например, введение бесконечно удаленных точек .имеет своим последствием, что не только всегда оказывается возможным соединить две различные точки одной прямой, но и что две различные прямые, лежащие в одной плоскости, всегда пересекаются в одной точке. Введение в геометрию м н и м ы х в е л и ч н и для установления некоторых всеобшнх теопем о точках пересечения алгебраических поверхностей и кривых, введение Куммером' в теорию чисел идеальных чисел для восстановления первоначально утрачиваемых при переходе от рациональных чисел к алгебралческнм законов разложения на множители,— представляют собой наиболее блестящие примеры плодотворности метода идеальных элементов.

Частным случаем этого метода является определение путем а б с т р а к ц и и. Двучленное отношение а Ь в какой-либо области объектов называется отношением эквивалентности (отношением, имеющим характер равенства), если имеют место следующие условия: 1)а а; 2) ести а Ь, то и Ь а (переместительное свойство);. 3) если а Ь и Ь с, то и а с (свойство трапзнтнвности). Если условиться в том, что два объекта а и Ь отличны тогда и только тогда, когда онн не удовлетворяют отношению эквивалентности а Ь, то из первоначальной области объектов возникает „путем а бс т р з к ц и и" новая область объектов.

Примеры и пояснения. 1. Подобие геометрических фигур ;вляется отношением эквивалентности. Каждой фигуре приписывают определенную „форму' и принимают, что дзе фигуры имеют одну и ту же форму тогда и только тогда, когда онн подобны. Выражаясь более философским образок, мо,кно сказать: понятие формы возникает из понятия ез фигуры, если отвлечься от положения и величины. С практико-познавательной точки зрения установление такого отвлеченного понятия означает, что в данном случае должны быть учтены только и н в а р и а н т н ы е свойства и отнош'ения первоначальных объектов. Отношение)г(ху) инвариантно по отношению к эквивалентности, если всегда, когдз а' а, Ь' Ь, наряду с )г(аЬ) имеет место г((а'Ь'), 2.

А и В, два множества предметов (например множества людей и стульев, находящихся в одном помещении) мы назовем равночнсленнымн, А В, если возможно одно-однозначным образом сопоставить элементы множества А с элементами множества В (если возможно рассадить на каждом стуле по одному человеку так, чтобы не осталось свободных стульев и вместе с тем каждый человек имел свой стул). Равночнсленность, очевидно, представляет собой отношение эквиваленгности. „Каждое множесгво определяет некоторое число; два множества определяют одно и то же число тогда и только тогда, когда они равночисленны (это определение встречается еще у Юма, Тгеа1!зе оп 1шшап па(пге, ч.

111, равд. 1). В более неточной форме это обыкновенно выражаюттак:число получается из множества, если отвлечься от природы его элементов и считаться только с фактом нх различия. Выставляемое иногда возражение, что если все элементы деградируют до потоягення простых единиц, то они сливаются в единое неразличимое целое, опровергается вышеприведенной более строгой формулировкой.

Как раз на этом примере с числом можно показать, в каком смысле опред:ление по=редстзом абстракции является частным случаем творческого определения. Оно подчиняется последнему таким образом: „Каждое множество А определгет некоторое число (А). Утверждение, что множество М состоит из (А) зтементов, означает, что М рав:очисленно с А". В соогветсгвии с этим число (А) совпадает с числом (В), если каждое .множество М, ко:орое А, также и В, и наоборот. Но согласно установленным условиям эквивалентности 2) н 3) это может произойти в том и только в том случае, если А В. Наконец, условие 1) гарантирует нам то, что само множество А в частности также состоит из (А) элементов. 3. По Гауссу два целых числа называются сравнимыми по модулю 5, если их разность делится на 5.

Сравнимость есть отношение, имеющее характер р венства; посредством соответсгвующей абстракции из целых чиселвозникают числа, сравнимые по модулю 5. Так как действия сложения и умножения инвариантны по отношению к сравнимости, то мы таким образом получаем конечную область, состоящую из пяти элементов, в пределах которой может быть развита алгебра, подобная той, которая существует в бесконечной области обыкновенных рациональных чисел.

Здес-, например, 2+4=1, 3 4=3 (шоб. 5). Далее, здесь возможно не только вычитание, но и деление, поскольку 5 число простое. Пример этот играет фундаментальную роль в теории члсел. Принцип определения посредством абстракции я нахожу выраженным в общих чертах у Лейбница, в пятом его письме к Кларку. Он говорит там (АпзтчаЫ ч.