Вейль - О философии математики - 1934, страница 7

(Введение в .Рппс!р!а" вышло в !932 г. в немецком переводе пол иазяаиисм .Рля!апгипя !и сйе шайлешапзсйе Еоя К" П р и и. и е р е в.) ') Разобранная в гл. В я, столь несостоятельная с точки зрения логичеснов „статическая' теория могла первоначально узержаться лнп:ь потому, что заданное нам в ннтуицнп покоящееся бытие континуума, как единого целого, скрывало от наших взоров то обстоятельство, что способы выделения нз континуума о!дельных точек ие образуют собою обьемиоопредехениой совчкувяости. 4. Интуитивная ИАтемАтикА БРоуеРА Ледяной покров, однако, разбился вдребезги, и вскоре момент текучести стал полновластным господином над нсизменностью. Броуер построил строгую математическую теорию континуума, рассматривающую последний не как некое застывшее бы>ие, но как среду свободного становления.

Зто событие является достижением величайшего теоретико-познавательного значения '). В перву.к> очередь Броуер в своей логической критике вышел за пределы, установленные Ресселем; для него выражения „все" и „существует" оказываются уязвимыми не только при применении нх к совокупности п о д м н о ж е с т в бесконечного л>номгества, но уже при применении к самым элсл>ентам бесконечного л>ножества.

Пусть Е представляет собою определенное свойство натуральных чисел, причем допустим, что для каждого заданного числа и можно установить прис)ще ему или нет это свойство Е. Мнение, будто самим по себе определенным является факт существования или же несуществования числа, обладающего свойством Е, опирается исключительно на следующее представление: полагают именно, будто числа 1, 2, 3,... монако рассмотреть все одно за другим по отношенн>о к свойству Е; если при этом расска>ренин попадется число, обладающее свойством Е, то исследование ряда можно будет закончить и ответить утвердительно; если же конец рассмотрению не придет, т.

е. если по окончании п очле ни ого рассмотрения бесконечного ряда чисел окажется, что число рода Е не встретилось, то ответ булет о т р и ц а т е л ь н ы и. Такое представление о законченном почленном исследовании бесконечного ряда лишено, однако, какого-либо смысла, ибо в самом существе бесконечного коренится его неисчерп емость. Общие суждения о числе можно получить только в результате исследования с у п! н о с т н ч и с л а, а не в результате исследования отдельных чисел. Только действительное указание на вполне определенное число, облада>ощее свойством Е, может служнть основанием дая утвсрдительного о>вета; с другой стороны, так как я не в состоянии исследовать все числа, то только знание того, что число по существу своему должно обладать свойством поп-Е, является основанием для отрицательного ответа.

Сам господь бог не располагает иными средствами для решения вопроса. Но обе эти альтернативы вовсе не противостоят друг другу как утверждение и отрицание; ни отрицание. од ой, ни отрицание другой не имеет реального смысла я). В нашей луше против этого интуиционнзма со всею силой восстает абсол>отнстская мыслли ведь если я пробегаю ряд и уславливаюсь пре- ') Вгонч>ег, !п1шйоп!ып апд Роппа!мт, Вн11. о1 Атег!с. Магйет. Бес!е1у, 20, 1913; Вейгйпдн»2 пег Мепяев1ейге ннаЬЬачй>я нот 1одысйеп Ба1х тот анл- $ елсЫоззгпеп Огщеп, Чегпапде1. д.

К. Азад, чап Чге!еплсЬ. Ат>1егдат 1918, 1919; еу 1, ОЬег лйе пепе Огнпд!аде>айг>зе пег Ма11>епы!Иц Ма>Ь. Хе!1лсйг., т. 10, 1921; ср. также О. В е с К е г, Вейгайе хнг рпапотепо!ой!лспеп Вейгдпднпд а!ег Оеоп>е1ие нпб рлгег рйуз!Ка1!лсйеп Апанепднпяеп, Ннззег!а йайгьнсЬ 1аг Ра>!нлорлйе, т, 6, в особеиностн стр. 398 — 433 и философские рассмо:резня пределов и идеальных образов, стр.

459 — 478. ') Аналогичные мысли высказывал уже Л. Кронекер, пн ов ие пошел, как зто сделал Брнуер, дальше чистой критики и не приступил к созданию новых теоретическкх построени>ь 22 кратить.исследование в том случае, если я в>тречу число, обладающее свойством Е, то мие либо придется закончить свое исследование либо же нет, это так или это не так, безо всяких сомнений и колебаний и бе>о всякой третьей альтернативы. К подобного рода вещам не следует подходить извне, здесь необходима внутренняя концентрация духа, необходимо бороться за „видение", за очевидность.

Вот каково, полага>о я, реп:ение вопроса '). Э к з и с т е н ц и а л ь н о е суждение — как например: „существует четное число" — вообще не является суждением в собственном смысле этого слова, устанавливающим некоторое фактическое обстояние; экзистенциальные обстоянпя — это пустая выдумка логиков.

Г!редложенне „два — четное число" — вот это настоящее, выражающее определенное фактическое обстояние суждение ')„предложение нге „су>цествует четное число" является лишь вытекающей нз этого суждения а б с т р а к ц и е й с у хг де н и я (1)г)е))ззЬз)га)г!). Если пре;ставить себе познание как драгоценное сокровн>це, то абстракция сужделня — это всего-навсего лист бумаги, указывающий на наличие этого сокровища, но > е дающий нам сведений относительно того, в каком месте оно обретается. Единственная ценность этого листа бумаги может состоять только в том, что он побуждает меня заняться поисками сокровища. Бумага эта лишена всякой цены, пока я не реализую какое-нибудь прикрытое ею действительное суждение, клк, напрпм р, „л — чстпое число".

Теперь мы вновь ооретаем нашу свободу по отношению к чнсловым последозателыюстям и числовым множествам. На вопрос „существует лн нет последовательность такого-то рода" мы уя:е более не пытаемся добиться спределенного в себе утвердительного или отрицательного ответа, растягивая последовательности — в дальнейшем я говорю только о них — на прокрустовом лонге конструктивных принципов. Если нам удалось построить к а к и и-л и б о о б р а в о м закон, определяющий последовагельность до бесконечности, то мы вправе утверждать, что такой закон существует.

О возможности построения здесь нет речи. Нет! Только в т:и случае, когда построение уже осуществлено на деле, доказательство проведено, мы выставляем подобное экзистенциальное суждение. В многочисленных ма~ематических тесремах о существовании главную ценность представляет собой не сама теорема, а используемое при ее доказзгельстве построение, без которого теорема оказывается лишенной какой бы то ни было ценности тенью.

Отрицательное суждение, утверждающее, что закона указанного рода Е не сушествует, естествсн.>ым образом при этом лишается всякого смысла. Но здесь как раз выступает на сцену вторая важнейшая идея Броуера. Лело в том, что если мы нашему отрицательному суждению придаем форму положительного суждения и говорим, что „всякая последовательность обладает свойством поп-Е", то тем самым другой смысл приобретает понитне последовательности и под этим словом мы понимаем уже н е п о с л е- ') Излагаемая здесь концепция пе прелставчяет собою точной передачи воззрений Броуера, а является изложением >ой точки зрьяия, которая представляется мпе наиболее естествеяяоз с тех пор, как я усвоил его идеи. ') Свойство четности должно быть при з ом опр.делево ренуррсятным путем, так„как мы его определяли на стр.

!7, а не так, как это сделано я> стр. 20. 23 довлтельность, определяемую каким ° либо закономерным образом, а последовательность, возникающую раз за разом, в результате актов свободного выбора, т. е. последовательность, которую можно рассматрлвать только как становящуюся. Так, в качестве первого члена последовательности я могу выбрагь любое произвольное число, например 13, затем в качестве второго члена з опять-таки по произволу могу выставить хотя бы число 102 н так далее и утверждаю, что, какими бы ни оказались эти акты выбора, возникающая последовательность постоянно будет обладать свойством поп-Е. Но, разумеется, в случае свободно становящейся последовательности имеет смысл говорить лишь о таких ее свойствах, относительно которых унте имеется утвердительный или отрицательный ответ (на вопрос о том, присуще ли свойство последовательности или нет), когда дойдешь до определенного пункта этой последовательности, причем дальнейшее развертывание последовательности, кзк бы оно пи происходило, уже не в состоянии изменить нашего ответа.

Так, например, можно задаться вопросом, находится ли на 4-м месте какой-либо свободно становящейся последовательности простое число пли нег, но пи в коем случае нельзя спрашивать, отличны ли от 1 все ее члены. Применять магематические действия к свободно становящимся последовательностям вполне возможно> это очевидно ухге из того, что между ними можно устанавливать некоторые сопряжения. Так, например, формула пл=т,+их+...+тл (й=1, 2, 3,...) выражает собою закон, по которому свободно становящаяся последовательность т„тм т„...

порождает становящуюся числовую последовательность п„п„п„..., развертывающуюся одновременно с нею шаг за шагом. В случае числовых последовательностей, согласно нашему изложению, суждения „существует" пли „не суще;твует" еще в меньшей степени, чем в случае са: их чисел, противостоят друг лругу кзк исключающие какую бы то ни было иную альтернативу, кроме утверждения и отрицания. Выражение „существует" приковывает нас к бытию и зак о н у, выражение же „каждый" вводит нас в сферу с в о б о д ы и с т ановления. Вещественное число должно быть теперь определено уже не как множество, а как бесконечная последовательпост. зак,ючающпхся одни в других рациональных интервалоз, длины которых стрема гся к, нулю. Г!ри этом для приближения л-й ступени удобно пользоваться Ь-членной двоичной дробью и в качестве игпервалоз попользовать ин/т — 1 ш+ 1Х тервалы формы ( — г —, —,— — ~ (где т принимает все целочисленные 2' значения), ибо эти интервалы образуют между собой такую систему взаимных перес чения, что д ~я любого, запани;го только приблихгенно, однако с достаточко, большим приближением„числа можно на српяка указать на тот интервал Ь-го порядка, в котором онэ заключается' ).