Вейль - О философии математики - 1934, страница 4

!(ошн удалось последовательное проведение ее и растворение застывшего бытия бесконечно малых величин в про це.с се перехода к пределу. В новейших аксиоматических изысканиях в области арифметики и геометрии были построены разнообразные числовые системы, в которых аксиома Эвдокса не выполнена.. Таким образом совсем не невозможно выработать такую четкую и свободную от противоречий си стему арифметики, в которой имелись бы величины различных порядков.

Но вместе с тем очевидно, что подобная арифметика была бы совершенно непригодна для анализа, ибо суть исчисления бесконечно малых заключается ведь в том, что на основании подчиненных известным элементарным законам отношений в области бесконечно малых величин познают при помощи интегрирования отношения, существующие в области величин конечных. Если же мы станем в анализе рассматривать бесконечно малые не с точки зрения процесса перехода к пределу, то процессы в области конечного и бесконечно малого становятся тогда совершенно чуждыми, независимыми друг от друга, и связующая их цепь оказывается разомкнутой.

Взгляды Эвдокса в данном вопросе были несомненно правильными. И нам кажется просто смешным, когда еще и теперь, в самое последн е время, „марбургская школа" (ср., например, книгу Наторпа „Ьо2!зсйе бпшб!адеп бег ехай!еп !Ч!ззепзспа!!еп", 2-е изд., Лейпциг 1922) продолжает отстаивать противоположную точку зрения (разумеется, даже не пытаясь доказать на ее основании хотя бы простейшие теоремы анатиза). В од н ом пункте, однако, оказалось необходимым пб(!ти дальше Эвдокса. Согласно греческому ученому вещественное число определяется '),Идите вперся, и уверенность придет"(слове Даламбера). 12 как отношение двух заданных отрезков. Они определяют собою первоначально некоторое сечение в области рациональных чисел, которое и характеризует это отношение с арифметической стороны. Так, например, для у'2, отношения между диагональю и стороной квадрата, множество (1) состоит нз всех дробей г, произведение которых иа самое себя г ° г( 2, множество (РП) † всех тех дробей, для которых г ° г .> 2, множество же (П) оказывается пустым.

Но мы верим также в существование и такого числа как 1/2, разрешающего делийскую задачу об удвоении куба. Действительно, при непрерывном увеличении ребра куба от 1 до 2 м его объем непрерывно возрастает от 1 л' до 8 м'1 ясно, что прн некоторой определенной длине ребра обьем должен принять промежуточное значение 2 ма. Однако в эвклидозой системе геометрии (т. е. пользуясь линейкой и циркулем) нельзя построить отрезок, находящийся в отношении 1/ 2 к другому, заданному нам отрезку.

Впрочем, заключения, подобно вышеприведенному опирающиеся на принцип непрерывности, вообще лишены надлежащего обоснования и у Эвклида. На это обстоятельство обратил внимание еше Лейбниц в связи с первым же встречающимся у Эвклида построением равностороннего треугольника АВС. В этом построении из точки А, как из центра, описывается окружность, проходящая через точку В, а пз точки  — окружность, проходящая через точку А, причем, однако, не доказывается, что эти окружности имеют общую точку С. Приведем еще один пример. Впишем в окружность диаметра 1 и опишем вокруг нее вписанные и описанные бъ 12-, 24ъ ...

угольники; периметры ео ем е„... и, соответственно, и„им и„... этих многоугольников можно нанести в виде отрезков на горизонтальную прямую, откладывая все отрезки от общей начальной точки О, хотя бы слева направо. Конечные точки отрезков образуют тогда две точечные последовательности на нашей прямой, именно последовательности Е„Е„Е„...; Сн Ум У„... Все точки Е лежат слева от всех точек Ы Точка Е„при возрастании индекса п отодвигается все дальше направо, точка Ь„ — налево, и расстояние Е„И„ в конце концов становится безгранично малым. Но откуда мы знаем, что существует такая точка п, относительно которой все точки Е расположены слева, а все точки У справа? А ведь как раз это-то и нужно нам знать для того, чтобы определить число к как числовую меру отношения отрезков! Следует понять, что подобное число к не является заданным самим по себе, оно порождается впервые бесконечным процессом построения двух стремящихся одна к другой числовых последовательностей еы еы ем ...

и и„и„и„... Другими словами, если желать определить вещественное число по Эвдоксу при помощи сечения, которое оно производит в области рациональных чисел, следует сказать: любое произвольно заданное сечение в области рациональных чисел, т. е. кахгдое, каким угодно образом осуществленное, распРеделение всех рациональных чисел на три класса (1), (П), (1П), определяет собою вещественное число. (При этом должны'быть соблюдены только следующие условия: ни класс (1), ии класс (П1) не пусты, в классе (П) содержится самое большее одна дробь, в (1) не существует наибольшей, а в (П1) наименьшей дроби, всякое число класса (1) меньше всех дробей классов (П) и (П!), всякое число класса (П1) больше чисел классов (1) и (П).

13 ,ьы г Вместе с этим аналиа становится независимым от геометрии; только теперь он оказывается пригодным для изучения непрерывности и уже сам, в свою очередь, предоставляет в распоряжение геометрии средства, позволяющие ей строго обосновать все молчаливо обходимые Эвклидом умозаключения, опирающиеся на понятие непрерывностаь 2. Т е о г е т и к о - м н о ж е с т в в н н о е о в о с н о в л'н и е м л т е м л т и к и Мы подошли теперь к современному определению иррационального числа, данному в 1870 г.

Р. Дедекиндом и другими исследователями. Если до этого времени вверх поднималось, так сказать, коромысло становленияя, то теперь ведущим началом в историческом развитии опять оказывается б ы т и е, понимаемое, правда, в новом смысле. Согласно новому пониманию какая-нибудь сходящаяся последовательность, как, например, последовательность чисел е„и и„, ограничивающих и сверху и снизу число я со все большей степенью приближения, вовсе не разворачивается как некий лишенный всякой закономерности процесс, которому мы должны слепо довериться, чтобы узнать, что порождается этим процессом на каждой последующей его стадии; напротив, подобная последовательность устанавливается раз навсегда при помощи определенного закона, соподчиняющего каждому натуральному числу а оба соответствующие приближенные значения е„, а„.

Для распределения бесконечного множества рациональных чисел по трем классам совсем не приходится выбирать одну дробь за другой и затем относить ее к соответствующему классу. Нет, теперь это распределение производится закономерно, поскольку устанавливается следующее правило: все рациональные числа, обладающие такими-то и такими-то свойствами, принадлежат к классу (1) (достаточно определить класс (1), оба другие класса оказываются тогда автоматически определенными).

3 а к о н или с в о.й с т в о совершенно точно определяет наше вещественное число. Функция Г(х) называется непрерывной при значении х = а, если у (х) стремится к /(а), когда переменная х стремится к а. Как, однако, определяется это понятие сходимости? Определение гласит: „Для всякого положительного числа а существует положительное число,6, обладающее тем свойством, что при в с е х значениях вещественного числа х, удовлетворяющих услодию а — 8 (х ( а+ 8, справедливо неравенство 7 (а) — е (7 (х) (7(а) + а". Таким образом новая статическая концепция превращает анализ в теорию множеств.

Понятия: все и существует здесь применяются к элементам бесконечных множеств и даже к совокупности возможных подмножеств таких множеств („все вещественные числа, удовлетворяющие данному условию", т. е., так как, согласно Дедекинду, отдельное вещественное число само по себе уже является множеством (!) рациональных чи- ° сел, — все множества рациональных чисел, обладающих данным свойством). Мы говорим, например, о множестве всех натуральных чисел и в)яделяем из йего подмножество четных или простых чисел, но мы также говорим и о, множестве всех таких вещественных чисел, которые )О и (1. Если мы назовем это множество континуальным интервалом О1, то мы не произведем тем самым атомистического раздробления континуума, расщепляюшего его на отлельные точки.

Действительно, ведь согласно определению, данному Делекиндом и Кантором, множество вовсе не возникает в результате объединения его элементов одного за другим в не- 14 которую совокупность. Нет. Например, множество чисел считается заданным, если на основании его определения относительно каждого числа можно однозначным образом установить, принадлежит ли оно к этому множеству или нет. Определить бесконечное множество можно единственно лишь установив характерное для всех его элементов свойство. Множества бывают связаны со свойствами таким образом, что при известных условиях два различно определенных свойства определяют одно и то же множество. Это случается именно тогда, когда оба свойства эти равны по объему, т. е. когда всякая вещь, которой присуще одно нз свойств, обладает также и другим свойством, и обратно.