Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание), страница 8

Однако и при таких косвенных методах исследования в конечном счете все же приходится обращаться к экспериментальным данным. Надежность н объективная ценность всех практических расчетов, выполненных с применением аппарата теории вероятностей, определяется кайеством и количеством экспериментальных данных, на базе которых этот расчет выполняется. Кроме того, при практическом применении вероятностных методов исследования всегда необходимо отдавать себе отчет з том, действительно ли исследуемое случайное явление принадлежит к категории массовых явлений, для которых.

по крайней мере 'на некотором участке времени, выполняется свойство устойчивости частот. Только в этом случае имеет смысл говорить о вероятностях событий, имея в виду не математические фикции, а реальные характеристики случайных явлений, Например, выражение «вероятность поражения самолета в воздушном бою для данных условий равна 0,7» имеет определенный 32 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕП [ГЛ.

2 конкретный смысл, поточу что вот 1ушные боч иыстятсл как иассовые операции, которые будут неоднократно повторяться в приблизительно аналогичных условиях. Напротив, выражение «вероятность того, что данная научная проблема решена правильно, равна О.ув лишено конкретного смысла, и было бы методологически неправильно оценивать прзвдоподобне научных положений методами теории вероятностей. 2.4. Случайная величина Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие о сл) ыйной вслнчнне. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то нли иное значение, причем неизвестно ааранее, какое именно.

Примеры случайных величин: 1) число попаданий при трех выстрелах; 2) число вызовов, поступавших на телефонную станцию за сутки; 3) частота попадания при 10 выстрелах. Во всех трех приведенных примерах случайные величины могут принимать отдельные, изолированные значения, которые можно заранее перечислить. Тан, в примере 1) эти значения: О, 1, 2, 3; в примере 2): 1, 2, 3, 4, ...; в примере 3): 0; 0,1; 0,2; ...; 1,О.

Такие случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которме Можно заранее первецСлйть, назйваются Яр РЙЙЯЯЮ ХЮ ~ц Р я "у СущеСтвуют случайные величины другого типа, например:- 1) абсцисса точки попадания при выстреле; 2) ошибка взвешивания тела на аналитических весах; 3) скорость летательного аппарата в момент выхода на заданную высоту; 4) вес наугад взятого верна пшеницы. Возможные значения таких случайных величин не отделены друг от друга; они непрерывно заполняют некоторый промежуток, который иногда имеет резко выраженные границы, а чаще — границы неопределенные, расплывчатые. Такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно ааполняют некоторый промежуток, называются исайе)аывными случайными величинами. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Понятие случайной величины играет весьма вюкиую роль в теории вероятностей.

Если «классическая» теория вероятностей оперировала по преимушеству с событиями, то современная теория всроятностей предпочитает, где только возможно, оперировать со случайными величинами. Привелем примеры типичных для теории вероятностей приемов перехода от событий к случайным величинам. Производится опыт, в результате которого может появиться или не появиться некоторое событие А.

Вместо события А можно рассмотреть случайную величину Х, которая равна 1, если событие А происходит, и равна О, если событие А не происходит. Случайная в,лн:ьша Х оыьшно, являе~ся прерывной; она нл1еет два возможных значения: 0 и 1. Эта случайная велпчина называется характерислгической случайной величиной события А. На практике часто вместо событий оказывается удобнее оперировать их характеристическими случайными величинами. Например, если производится ряд опытов, в каждом из которых возможно появление события А, то обшее число появлений события равно сумме характеристических случайных величин события А во всех опытзх.

При решении многих практических задач пользование таким приемом оказывается очень удобным. С другой стороны, очень чзсто для вычисления вероятности события оказывается удобно связать это событие с какой-то непрерывной случайной величиной (или системой непрерывных величин). Пусть, например, измеряются коор- !у динаты какого-то объекта О для того, .в чтобы построить точку М, изображающую этот объект на панораме(развертке) местности. Нас интересует событие А, состоящее в том, что ошибка 11 в положении точки М не превзойдет заланного значения гя (рис. 2.4А).

Ряс. 2.4.1. Обозначим Х. г' случайные ошибки в измерении координат объекта. Очевидно, событие А равносильно попаданию случайной точки М с координатами Х, г' в пределы круга ралиуса ге с центром в точке О. Другими словами, для выполнения события А случайные величины Х и г' должны удовлетворять неравенству Хз+ )Я ( (2.4.1) Вероятность события А есть не что иное, как вероятность выполнения неравенства (2А.1). Эта вероятность может быть определена, если известны свойства случайных величии Х, у. 3 П. С. Веетчель 34 основные понятия тгогнн зе оятностен !гл.

а Такая органическая связь между событиями и случайными величинами весьма характерна для современной теории вероятностей, которая. где только возможно, переходит от «схемы событий» к «схеме случайных величин». Последняя схема сравнительно с первой представляет собой гораздо более гибкий н универсальный аппарат для решения задач, относящихся к случайным явлениям, 2.6. Практически невозможные и практически достоверные события. Принцип практической уверенности В и' 2.2 мы познакомились с понятиями невозможного и достоверного события.

Вероятность невозможного события, равная нулю, в вероятность дестозгрпого согчгг--, р;зная ед.пп не, гюгвча:от к . ение положения на шкале вероятностей. На практике часто приходится иметь дело не с невозможными и достоверными событиями, а с так называемыми «практически невозможными» н «практнчески достоверными» событиями. Практически невозможным событием называется событие, вероятность которого не в точности равна нулю, но весьма близка к нулю. Рассмотрим, например, следующий опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешаны между собой; вынимается одна карточка, изображенная на ней буква записывается, после чего вынутая карточка возвращается обратно, и карточки перемешиваются. Такой опыт производится 25 раз. Рассмотрим событие А, заключающееся в том, что после 2б выниманий мы запишем первую строку «Ввгения Онегина»: «Мой дядя самых честных правил». Такое событие не является логически невозможным; можно под/11% считать его вероятность, которая равна ~ †) ; ко ввиду того что вероятность события А ничтожно мала, можно считать его практически невозможным.

Праклгическл дпслговеркым собынгием называется событие, вероятность ноторого не в точности равна единице, но весьма близка к единице. Вели какое-либо событие А в данком опыте практически невозможно, то противоположное ему событие А, состоящее в невыполнении события А, будет практически достоверным. Таким образом, с точки зрения теории вероятностей все равно, о каких событиях говорить: о практически невозможных или о практически достоверных, так как они всегда сопутствуют друг'другу. Практически невозможные и практически достоверные события играйт большую роль в теории вероятностей; на иих основывзется все практическое применение атой науки.

й.з1 пялктнчвски нявозможныв и достовяяния совитня 35 В самом деле, если нам известно, что вероятность события в данном опыте равна 0,3, это еще не дает нам возможности предсказать результат опыта. Но если вероятность события з данном опыте ничтожно мала или. наоборот, весьма близка к единице, это дает нам возможность предсказать результат опыта; в первом случае мы ие будем ожидать появления события А," во втором случае будем ожидать его с достато шым основанием. При таком предсказании мы руководствуемся так называемым принципом практи«есной уверенности, который можно сформулировать следующим образом.

Если вероятность некоторого события А е данном опыте Е весьма мала. то можно быть практически уверенным в том, «то ири однократном выполнении опыта Е событие А не п о опзойдет. Ннымц словами, если вероятность события А в даппоч опыте весьмз мала, то, приступая к выполнению опыта, можно организовать свое поведение так, как будто это событие вообще невозможно, т. е.

не рассчитывая совсем на его появление. В повседневной жизни мы непрерывно бессознательно пользуемся принципом практической уверенности. Например, выезжая в путешествие по железной дороге, мы все свое поведение организуем, не считаясь с возможностью железнодорожной катастрофы, хотя некоторая, весьма малая. вероятность такого события все же имеется. Принцип практической уверенности не может быть доказан математическими средствами; он подтверждается всем практическим опытом человечества. Вопрос о том, насколько мала должна быть вероятность события, чтобы его можно было считать практически невозможным, выходит за рамки математической теории и в каждом отдельном случае решается из практических соображений в соответствии с той важностью, которую имеет для нас желаемый результат опыта.

Например, если вероятность отказа взрывателя при выстреле равна 0,01, мы еще можем помириться с этим и считать откаа взрывателя практически невозможным событием. Напротив, если вероятность отказа парашюта при прыжке также равна 0,01, мы, очевидно, ие можем считать этот отказ практически невозможным событием и должны добиваться большей надежности работы парашюта. Одной из важнейших задач теории вероятностей является выявление практически невозможных (или практически достоверных) событий, лающих возможность предсказывать результат опыта, и выявление условий, при которых те или иные события становятся практически невозможными (достоверными).