Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 74

10) Группа Вейля, группа весов, ... системы корней й называется группой Вейля, группой весов, ... расщепленной алгебры Ли (д, ()). В дальнейшем группа Вейля обозначается через У, Мы рассматриваем ее действие не только на ()*, но также и на () (с помощью переноса структуры). Если через () (соотв.()') обозначить векторное подпространство в () (соотв. в !)") над полем (1, порожденное элементам н Н, (соотв, а), то пространство (! (соотв. й) канонически отождествляется с пространством ()оЭой (соотв.

с ()' Э ил) и пространство ()~ отождествляется с дуальным пространством к ()о. Камеры Вейля системы Я мы рассматриваем или в пространстве 1)я= 1)чЭ (х, или в 1)„= !) Эчй,. 1!) Пусть Ф вЂ” форма Киллинга алгебры Ли й, Если а+ ~~0, то пространства й и йа ортогональны относительно Ф. Ограничение формы Ф на й" Хй ' невырожденно.

Если х, уев(), то Ф(х, у) = Х а(х)а(у). Мы получаем, что Ф(Н„, На) ~ Е. Оград» ннчение формы Ф на 1) инвариантно относительно группы Вейля )Р' и невырожденно; ограничение формы Ф на ))о положительно определено. 12) С точностью до изоморфизма системы корней расщепленной алгебры Лн (й, ))) зависят только от й и не зависят от выбора подалгебры Картана ~. Допуская вольность речи, мы называем группу Вейля, группу весов..., расщеплениой алгебры Ли (й, 5) также группой Вейля, группой весов, алгебры Ли й. Если Р~ — приведенная система корней, то существует такая полупростая расщепленная алгебра Ли (йп !1,), что ее система коРней Р(йп э,) изомоРфна й,; такаЯ РасщепленнаЯ алгебРа Лн определяется однозначно с точностью до изоморфизма.

Классификация расщепляемых полупростых алгебр Ли, таким образом, сводится к классификации систем корней. Подалаебры 13) Если Рс=й', то положим йР= ® й" и Ь= ~ йН,. а~Р аяР Пусть Р с)г, й' — подпространство векторного пространства й сводил своиств полюшостых хлгевг лп и а = )'9 йг. Для того чтобы алгебра Ли а была подалгеброй в й, необходимо и достаточно, чтобы Р было замкнутым подмно>кеством системы корней Р и чтобы пространство Ь' содержало пространство Ьгп ~ вь Чтобы алгебра Ли а была редуктивпа в алгебре Ли й, необходимо и достаточно, чтобы Р = — Р. Чтобы алгебра.Ли а была разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы Р()( — Р) = Я. 14) Пусть Р— замкнутое подмяожество системы корней )с, и пусть 6=69 1~. Следующие условия эквивалентны: (1) 6 — максимальная разрешимая подалгебра в алгебре Ли а; (и) ()( — Р)=а иРи( — Р)=)т; (ш) существует такая камера С в системе Р, что Р = Р+(С) (см.

Ч1, $ 1, п' 6). Подалгеброй Бореля расщепленной алгебры Ли (а, 6) называется подалгебра алгебры Ли й, содержащая подалгебру Картана Ь и удовлетворяющая приведенным выше условиям. Подалгебра 6 алгебры Ли,) называется ее подалгеброй Бореля, если существует такая расшепляющая подалгебра Картана Ь' алгебры Ли й, что 6 — подалгебра Бореля расщепленной алгебры Ли (1, Ь'). Если поле й алгебраически замкнуто, то это эквивалентно тому, что 6 — максимальная разрешимая подалгебра в,). Пусть 6 = Ь 9 й — подалгебра Бореля расщепленной яэ~с~ алгебры Ли (», Ь).

Наибольший нильпотентный идеал алгебры Ли 6 равен 16, 6) = у~+~ '. Пусть  — базис системы корней )1, ассоциированный с камерой С. Алгебра Ли [6, 6) порождается подпространствами й', где аы В, Если 6, 6' — подалгебры Бореля алгебры Ли а, то в,) существует подалгебра Картава, содержащаяся в ЬДЬ', такая подалгебра Картана является расшепляюшей. 15) Пусть Р— замкнутое подмножество в системе корней )1 и р=69йг, Следующие условия эквивалентны: (1) алгебра Ли р содержит подалгебру Бореля расщепленной алгебры Ли (й, Ь); (11) Р()( — Р)=Л; (И) существует такая камера С системы корней Я, что Р =э Я+(С). Параболической подалгеброй расщепленной алгебры Ли (и, Ь) называется подалгебра алгебры Ли й, содержащая подалгебру Картана 6 и удовлетворяющая приведенным выше условиям.

Подалгебра р алгебры Ли й называется параболической, если существует такая расшепляющая подалгебра Картана 6' в й, что р — параболическая подалгебра расщепленной алгебры Ли (й, 6'). ззз сводка своиств полупгостых злгевг ли Пусть р = й 9 1е — параболическая подалгебра расщепленной алгебры Ли (й, 5), Я вЂ” множество таких корней а~Р, что — а ййР и 6 ="ч9йг"' г'. Тогда р =вя1о, алгебра Ли Ь редуктивна в й, йп — нанбольшйй нильпотентный идеал и нильпотентиый радикал в алгебре Лн р. Центр алгебры Ли р равен О. Автомор4измы 16) Подгруппа группы Ац1 (а),порожденная элементами е"', где х — нильпотентный элемент, совпадает с группой Ац1,(й) элементарных автоморфизмов алгебры Ли й.

Это нормальная подгруппа в Ац((й), и она совпадает со своей производной группой. Если й — алгебраическое замыкание поля А, то группа Ац((<1) естественным образом вкладывается в Ац(4®ь я). Положим Ац(о (й) = — Ац1(й) П Ац(, (д З ь й). Это нормальная подгруппа группы Ац((й), и она не зависит от выбора замыкания Й.

Мы имеем Ац1,(й) с: Ац(,(й) ~ Ац1(й). Производная группа группы Ац(,(~1) совпадает с Ац(,(й). Группы Ац1(1) и Ац(з(й) замкнуты в Епдл(й) в топологии Зарисского, Ац1, (й) совпадает с компонентой нейтрального элемента в Ац1(й), и группа Ац1,(й) всюду плотна в Ац(,(й). Пусть  — базис системы корней )г и Ац(Я, В) — группа автоморфизмов системы корней )с, относительно которой В устойчив. Тогда группа Ац( (а) является полупрямым произведением подгруппы, изоморфной Ац((И, В), и подгруппы Ац1а(й); в частности, факторгруппа Ац1 ())/Ац1з(й) изоморфна группе Ац((И, В), которая в свою очередь изоморфна группе автоморфизмов графа Дынкнна алгебры Лн й. 17) Разметкой алгебры Ли й называется тройка (()', В, (Х,)„), где ч' — расщепляющая подалгебра Картана в й, В базис системы корней Й(й, «') и Մ— отличный от нуля элемент пространства;1' для всех а~В.

Группа Ац1ч(й) просто транзитивно действует на множестве разметок алгебры Ли й. Группа Ац1,(й) транзитивно действует на множестве пар (1, 6), где 1 — расщепляюшая подалгебра Картана алгебры Ли й, а б — подалгебра Бореля расщепленной алгебры Ли (й, 1). СВОДКА СВОПСТВ ПОЛРПРОСТЫХ АЛГВБР ЛИ ззе 18) Обозначим через Ац1(6, 6) множество таких автоморфизмов з ниАп1(6), что з Ц) =6. Положим Ац1, (6, 6) = АП1, (6) П Ап((6, 5), Ац(о(6 6) =Ан(о(6) ПАц1(6, 6). Если з еп Ац1 (6,5), то отображение, контрагредиентное к отображению з ~ 6, является элементом группы А (Р) автоморфизмов системы корней Р; обозначим этот элемент через е(з), Отображение е — гомоморфизм группы Ац1 (6, 5) в группу А ®).

При этом Ап1,(6) =Ап(,(6).Кеге и е(Ап(о(6. 6)) =е(Ап(,(6, 5)) =(э'. Пусть Тр — — Ноги (Р (Р), Ь'), То —— Ноги (Я ()т), Ь'). Вложение группы Я(Р) в Р(Р) определяет гомоморфизм Тр в Т . Пусть [ш(ТР) — его образ. Если 1епТО, то пусть )'(1) — такой эидоморфизм алгебры Ли 6, что для любого а ~ тт'()(0) ограничение 7 (1) ) йо — гомотетия с коэффициентом 1(а).

Тогда 7 (!) ен ~ Ап(э(11, 6) и ) — инъективный гомоморфизм группы То в группу Ац1„(6, 6). Последовательности (Ц-+ТΠ— ' Ац1(6, Ц вЂ” '~ А(Р)-+(1) (1) — ТΠ—.~ АП1О (6, Ь) — '- У' -э (1) точны. Имеет место включение ) (1т(ТР)) ~ Ац1,(6, 5); переходя к факторгруппам, получаем определенный эндоморфизмом сюръсктивный') гомоморфизм Тфт(ТР) — » Ац1о(6)/Ан1,(6). Группа ~(ТО) замкнута в Ап1(6) в топологии Зарисского, и группа 7(1ш(ТР)) всюду плотна в )(То). Конечномерные модули 19) Пусть (7 — консчномерный 6-модуль. Для любого р ы р' пусть (7" — множество таких элементов о еп (7, что Ь,о=в(Ь) о при всех Ь ни 5. Размерность пространства Гм называется кратностью р в модуле )т. Если эта кратность нс меньше 1, т. е.

если )7" ~ О, то р называется весом модуля )'. Имеет место разложение )7 = Я )7". Любой вес модуля )г принадлежит имы группе Р(1т). Если р — вес модуля )7, а го~)эт, то то1а — вес модуля )7 той же кратности, что и р. Если они)т" и х~6', то х.о еп (ун '. ') На самом деле этот гомоморфиэм бнектинен 16 7, упражнение 2б г)Ь сводкА сВОистВ полупРОстых АЛГВБР ли 335 20) Пусть  — базис системы корней И. Выбор В определяет отношение порядка на пространстве йо: неотрицательными элементами пространства Фо являются линейные комбинации элементов из В с неотрицательными рациональными коэффициентами.

Обозначим через 1'1~ (В) (соотв. через В~) множество положительных элементов группы 1;1 (Р) (соотв. системы )с). Пусть У вЂ” простой конечномерный й-модуль. Тогда модуль У имеет старший вес Х. Кратность этого веса равна 1, и этот вес доминантный: если аен)с„, то А(Н,) — целое число )О. Если й'У =0, то а~ )с, Любой вес модуля У имеет вид Х вЂ” У, и Х где у ен О~()1); обратно, если доминантный вес имеет внд Х вЂ” у, где у Вне+(Й), то это вес модуля У. 21) Два конечномерных простых модуля, имеющие одинаковые старшие веса, изоморфны.

Любой доминантный вес является старшим весом некоторого конечяомерного простого й-модуля. Любой конечномерный простой й-модуль абсолютно прост. 22) Пусть Ф вЂ” форма Киллинга алгебры Ли й, Сея У(й)— соответствующий элемент Казимира, (...) — форма на пространстве 11", обратная к Ф~ ч Х(), и р= — ~ а. Пусть х-с аиЯ.Р простой конечномерный й-модуль со старшим весом Х.

Тогда С вЂ” гомотетия с коэффициентом (А, А+2р). 23) Пусть У вЂ” конечномерный й-модуль, У' — дуальный модуль. Для того чтобы элемент 1А ~~~* был весом модуля У", необходимо и достаточно, чтобы элемент — 1А был весом модуля У, и кратность веса р в модуле У' равна кратности веса — р в модуле У. Если У вЂ” простой модуль со старшим весом А, то У" — простой модуль со старшим весом — ш,Х, где гвз — элемент группы И7, который переводит базис В в базис — В, 24) Пусть У вЂ” простой конечномерный й-модуль со старшим весом Х и Я вЂ” векторное пространство й-инвариантных билинейных форм на пространстве У.

Пусть т — целое число, равное Х(На), и пусть элемент шз еи Ю такой же, как в п. 23). абая+ Если маХчь — Х, то пространства У и У' не изоморфны и Я =О. Если ш,Х= — А, то б)шЯ=! и все ненулевые элементы в пространстве Я невырожденны; если т — четное (соотв. нечетное) число, то любая форма из пространства Я симметрическая (соотв, знакопеременная). 25) Пусть Е (Р) — групповая алгебра группы Р=-Р()с) с коэффициентами в Х. Если Х~Р, то обозначим через ех соответ- сводка свопств полтпростых хлгввр ли ствующий элемент алгебры 2 [Р]. Элементы ех, Л еи Р, образувтг базис над Х групповой алгебры а [Р], и при всех Л, р ~ Р выполнено соотношение е~еа=ех+".

Пусть У вЂ” конечномерный й-модуль. Характером модуля (обозначение сп У) называется элемент ~ (б(ш У")е" групповой и«г алгебры У[Р]. Этот элемент принадлежит подалгебре 2[Р] алгебры Е [Р], образованной Ф'-инвариантными элементами из Я [Р]. Выполняются соотношения сЬ (1' 9 У') = сН У+ с(з (У') и сй ( У ® У') = (ей У) . (сЬ У').

Два конечномерных,(-модуля с одинаковыми характерами изоморфны. Для любого корня а ~ В пусть У, — простой,1-модуль, старший вес которого — фундаментальный вес в„соответствующий корню о. Элементы сп У„аеи В, алгебраически независимы и порождают Е-алгебру 2'[Р] 26) Пусть р — полусумма положительных корней. Для любого элемента шеи *кг пусть е(ш) — определитель автоморфизма ш, равный л=1. Если У вЂ” простой конечномерный й-модуль со старшим весом Л, то ( 2.

е (ш) е Р) . сп У = 2 е (ш) е 'х+и йсм Вин (л+р, н,) "'шУ= П (р,н,) аыа.~. 27) Для любого веса тси Р пусть р(т) — число таких наборов (и,), и, где а,— целые неотрицательные числа, что п,а. Пусть У вЂ” простой конечномерный!1-модуль со старамй„ шим весом Л. Если р~ Р, то кратность веса р в пространстве 1' равна е (ш) !р (ш (Л + р) — (р + р)).