Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 71

Пусть х — ненулевой нильпотентный элемент алгебры Ли 8, удовлетворяющий условию (!); показать, что замыкание множества О . х в топологии Зарисского равно (01 () 6 . х. 16) Пусть (х, й, у) есть й(з-тройка в алгебре Ли й. Показать, что если -2 — квадрат в поле Й, то элементы х — у и Ь сопряжены с помощью элемента из группы Ап!е(8) (свести к случаю, когда 8=81(2, й)).

Вывести отсюда, что если алгебра Ли й полупроста, то элемент х — у полупрост и регулярен тогда и только тогда, когда элемент Ь регулярен $17) Пусть (х, А, у) — главная 8(з-тройка полупростой алгебры Ли 8. Обозначим через 8. длн любого /щй собственное подпростраиство андо. морфнзма ад й с собственным значением ь Имеет место равенство 8 = гч-) 8., 1 /мх и 8 =О, если 1 нечетно. Прямая сумма Ь алгебр Ли 8, /~0, — подалгебра Бореля алгебры Ли 8, и йь — подалгебра Картана.

а) Показать, что при всех х зм 8 цеитрализатор элемента у+ х в алгебре Ли 8 имеет размерность / = гй(8). б) Пусть / — алгебра инвариантных полнномиальных функций на й и РР ..., Р/ — однородные элементы алгебры /, которые ее порождают. Положим бей(Р,) = й, гл/+ 1. Показать, что базис централизатора с элемента х в алгебре Ли 8 равен х,,х, гДе х/~м йзм (см упражна- 1 ние 11). в) Пусть / щ (!. /), и пусть 71 (соотв. К ) — множество таких элементов ! /е (1, /), что лт = т,. (соотв. гл < и ). Пусть / <и й (Х1, ..., Х ] — такой многочлен, что / 1 /-';г(г -Е,*,) ° !ы " / 1 Показать, что многочлен /. — сумма линейной формы й от элементов Х, /' /аУ/ и некоторого мпогочлена от переменных Х, /я К.

(Если /щй*, то автоморфизм алгебры Ли 8, который равен /' на пространстве 8, принад. эю лежит Ап!з(8) и переводит элемент р в / //, а элемент х. в / /х . Вос/ Г пользоваться ипвариантностью многочлена Р. относительно этого автомор. физма.) г) Пусть Р— отображение алгебры Ли 8 в й/, определенное с помощью многочленов Рг Если х я 8, то обозначим через /) Р; 8 -ь й/ линейное ото.

браженке, касательное к отображению Р в точке х (гл. ЧП, дополнение 1, и' 2). Показать, что С() !п1 ад(8 — х) =.0 (разложить алгебру Ли 8 в прямую сумму простых подмодулей относительно подалгебры, порожденной данной 81з-тройкой). Вывести отсюда, что ограничение /) Р на алгебру Ли с— д — х изоморфизм пространств с и й/ (воспользоваться предыдущим упражнением, а также упражнением 18) а) из $8).

Показать, воспользовавшись этим результатом, что определитель линейных форм /.1, определенных в утвер. жденни в), отличен от нули, откуда вытекают следующие результаты: Ф гз у и Р д ж н е ! 1 11 я 319 г,) мно~очлепы (и ..., (, алгебраически независимы и порождают ал. гебру й (Хь ..., Х!); гв) отображение ໠— » Р(у+ а) алгебры Ли с в йв полиномиально и биектизно, и обратное отображение тоже полнномиально; гв) для любого з вы у+ с линейное отобразкение ВзР(с илзеет ранг !.

В частности. отображение Р: 6-» йв сюръективио. д) Если поле й алгебраически замкнуто, то каждый элемент алгебры Ли О, пентрализатор которого имеет размерность 1, сопряжен с помощью группы Ап!в(3) с одним н только одним элементом из множества у+ с е) Привести пример простой алгебры Ли, которая пе содержит главной й!в-тройки н для которой отображение Р не является сюръективным (положить й (1 и 1 1). 1) Доказать, что ниже перечислены все расщепляемые простые алгебры Лн, размерность которых ~(80: 3 (А, В, С~), 8 (Ав), 1О (Вв =Се), 14 (Ов) 15 (Ав =Вв), 21 (Вв п Св) 24 (Ав), 28 (()з), 35 (Ав), 36 (Вз и Св), 45 (Вв], 48 (Ав), 52 (Р,), 55 (Вв и Св), 63 (Ат), 66 (Вв), 78 (Вв Св и Ев), 80 (Ав). 2) Пусть (8, (з) — расщепленная простая алгебра Ли и  — базис системы корней )с(О, ()).

Тогда простые 8-модули Е(й), Л Ф Реэ — (0), мини. мальной размерности — это те, у которых л — один из следующих фунда. ментальных весов: а (А,); гл! и й (АР !)2); ю, (В и Ср!~2); и, й, и ю (В,); й~ (Вь 1)5); й~ и юв (Ев) юг (Ег); Йв (Евй Йз (Р4): Й, (Сз) Два таких модуля получаются друг из друга автоморфизмом алгебры Лн й, Алгебра Ли типа Ев — единственная, для которой минимальную размер. ность имеет присоединенное представление 3) а) Построить нзоморфизм алгебры Лн 81(4, й) н ортогональной алгебры Ли оз(6, й).

(Воспользоваться тем, что представление уч и нз п'1 2 (Ч) — ортогональное представление размерности 6.) Доказать. что два типа иеприводнмых представлений размерности 4 алгебры Ли 81(4, й) соответствуют двум полуспинорным предстаэлеииям алгебры Ли оз(6, й), б) Построить изоморфизм алгебры Ли Фр (4, й) и ортогональной алгебры Ли о (5, й).

(Воспользоватьсн тем, что представление и, нз п'3 (Ч) — орто. 3 гопальиое представление размерности 5.) 1[оказать, что непрнаодимое представление размерности 4 алгебры Ли ув(4, й) соответствует спинорному представлению алгебры Ли о (5, й). в) Построить нзоморфизм й! (2, й) )С й! (2, й) -» в (4, й), используя тензорное произведение тождественных представлений двух сомножителей 81 (2, й). Получить этот результат такзке с помощью гл. 1, й 6, упражвеиие 26.

4) Пусть 3 — квадратнан матрица порядка а 0 О ... 0 1 0 0 ... ! 0 (66 гвэ~-с) = 0 1...0 0 ! 0 ... 0 0 Ю ГЗ ГЛ ГПЕ РЛЕШЕПЛЕННЫЕ ПОЛУПРОЕТЫЕ ЛЛГЕПРЫ ЛП 320 Элементами алгебры Ли а (п, й) являются матрицы (а,. ), аитисимметричные относительно побочной диагонали: аг — а„„+, Г для любой пары (6 /), Алгебра Ли аз(л, й) — расщепляемая простая алгебра Ли типа Вяг, если и — четное число )6, и типа Вы н)з, если и — нечетное число ~)5 /(иагональные (соотя. верхние треугольные) л~атрицы из алгебры Ли а (и, й) образуют расщепляющую подалгебру Картава (соотв подалгебру Бореля). 5) Воспользуемся обозначениями нз и'1 (1Ч), тип А! Показать, что если л >О, то 8"а — неприводимое представление алгебры Ли 61(1+ 1, й) со старшим весом ийа~ (Реализовать представление 8" а в пространстне однородных многочлеиов степени п от переменных Х,, ..., Х1 и заметить, что единственным многочлепом /, таким, что д//дХ! =О при 1) 1, является одно~лен Х" с точностью до умножения иа скаляр.) Показать, что все веса этого представления имеют кратность ! 6) Воспользуемся обозначениями из и'2 (1Ч), тнп В).

Если ! м, г (~1 — 1, Х 21 + 1 Х то показать, что размерность модуля Е (йг) равна ~ ~, и вывести Г а г отсюда другое доказател~ство того, что уЪ а — фундаментальное представление с весом юг. 7) Воспользуемся обозначениями из и'2 (ЧН), тип В1. Показать, что Оа+ (Ч') — группа, состоящая нз коммутаторов элементов из 80 (Ч'). (Заметить, что группа О('!') равна (~1) л(50(ЧГ), следовательно, имеет ту же группу коммутаторов, что и 80(Ч'], и применить Алг., гл.

!Х, в 9, упражнение 11 6).! Вывести из этого, что Ап1, (3) = Ос~ (Ч'). 3) Воспользуемся обозначениями из и'3 ((Ч), тип С! (1) 1). Показать, что представление Вза эквивалентно присоединенноыу представлению ал. гебры Ли 5. 9) Воспользуемся обозначениями из и'3 (ЧП), тип СГ (1)!). В частности, отождествнм группу Ап(л(й) с подгруппой группы Бр(ЧГ)/(~!1 Пака- зать, чта образ симплектической трансвекцин в факторгруппе Бр(ЧГ)/(Ь Ц (Алг., гл.

1Х, 6 4, УпРажнение 6) пРинадлежит гРУппе Ап(л (9). Вывести отсюда, что Ан(, (3) = Бр(ЧГ)/(~1) (Алг., гл. 1Х, 6 5, упражнение 11) и что группа Ан! (3)/Ан1, (3) отождествляется с й"/й*з. Ч) 10) Воспользуемся обозначениями из и'4 (! Ч), тип В! (1)~2) л 1 а) Пусть х н у — элементы пространства у\ У, определенные равенствами х=е,/( ... Це, Ае у=г,л...де,,ЛГ Г Тогда х — примитивный элемент веса 2й, а у — примитивный элемент веса Р 2й Г Подмодуль Х (соотв у) пространства Гь 1', порожденный элементом х (соотв.

элементом у), язоморфен модул~а Е(2й ) (соотв. модулю е(2й, !)). показать, подсчитав размерностн, что Д! У хсг) У,' таким абра. зом, пространство дг У вЂ” прямая сумма двух простых неизоморфиых модулей. й гз упрлжипг!ия б) Пусть е=е, Л ... Л е Л е, Л ... Л е эж гч 1', и пусть Ч' — пров 2! должеиие формы 'У на пространство гч У Пусть» гж Л У Локазать эквил! валентности гсж Хч=ь» Л (=Ч'г(», !)е для всех (!в Д~ У, »сму.е= хЛ (= — Ч"г(», Ое для всех !!мяч у.

(Если через Х' и У' обозначить подпространства, порожденные правыми частямн этих равенств, то сначала надо доказать, что Х' н У' — пространства, инвариантпые относительно й, содержащие х н у соответственно.) в] Предположим, что» вЂ” чистый ') элемент (А(п., с(!ар. !П, $11, и'13), н обозначим через М» ассоцнированкое с пим (-мерное подпросгранство пространства У. Показать, что М» — абсощотпо изотроппос подпространство тогда н только тогда, котла г принадлежит или Х, или У. (Если Л!» абсолютно изотропно, воспользоватьсн тем, что существует ортогональное преобразование, переводящее М» в Л!»! если М» — пе абсолютно изотропное подпространство, то построить такой (-вектор г, что » Л ! = О, Ч'г!».

!) = 1, и применить пункт б).) Если » ~ Х (сочти. » гм у), то размерность пространства Мхг(М»ДМ») — четное целое число (соотв. яечетяое), см. Алг., гл !Х, з 6. упражнение 18 г). г) Пусть х — прямое (соотв, обратное) преобразование подобия в пространстве У. Показать, что преобразоваяие Д з оставляет устойчивыми. в! прострзнстяа Х и у (соотв. преобразует пространства Х и у друг в друга) 1!) Воспользуемся обозначениями из п' 4 (У!!), тип О! (! ) 3). Показать что Оо+ (зр) — группа, состоящая нз коммутаторов группы 80 (Ч'!.