Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 70

3) Пусть т — радикал алгебры Ли 9 и д 9/т. Показать эквивалентность следующих условий: (Ц алгебра Лн 9 не содеРжит Иг-троек; (П) алгебра Лн й не содержит Я;троек; (Н)) алгебра Ли й анизотропна (9 10, упражнение 6); (гк) алгебра Ли й не содержит отличных от нуля элементов, которые приводятся к диагональному виду (9 3, упражнение 10). (Воспользоваться предложением 2 в упражнением 1О а) нз 9 3.) 4) Пусть У вЂ” векторное пространство размерности и ) 2, 9 = Я (У) н группа Ли 0 РОЛ(У) отождествляется с группой автоморфнзмов алгебры Лн 9. Произвольная Я,-тройка в алгебре Лн 9 снабжает У структурой гоч. ного Я(2, й)-модуля, и, наоборот, каждая такая структура доставляет Изтройку; й(,-тройка является главной тогда и только тогда, когда соответ. ствующнй И (2, й)-модуль прост; две 91ютройкн 0-сопряжены тогда н только тогда, когда соответствующие Я(2, А)-модуля нзоморфны.

Вывести отсюда, что классы 0-сопряженности Я,-троек алгебры Ли 9 взаимно однозначно соответствуют таким наборам неотрицательных целых чнсел (ть тм ° ) что т1+ 2лгз+ Згпз+ ... п и лг~ ( н. 1( 5) Предположим, что алгебра Ли 9 полупроста. Пусть а — подалгебра алгебры Лн 9, редуктивная в алгебре Ли 9, имеющая тот же ранг, что и 9, н содержащая главную 91мтройку алгебры Ли 9. Показать, что а= $6) Предположим, что алгебра Ли 9 абсолютно проста, н обозначим через А ее число Кокстера.

Пусть х — нильпотентный элемент в алгебре Ли Я. Показать, что (ад к)т ' =0 и что (аб л)тв т Ф 0 тогда н только тогда, когда х — главный нильпотентный элемент. (Свести к случаю, когда алгебра Лд 9 11' 3«8 Гл. Лп, Расщепленные пОлхпРоетые АПГевРы ли ЮП расщепленная, а х содержится в подалгебре и+ из предложения 1О. Воспро- извести доказательство предложения 10.) $ 7) Предположим, что алгебра Лн 9 полупроста, Пусть х — нильпотентный элемент из 9. Чтобы элемент х был главным, необходимо н достаточно, чтобы он содержался в подалгебре Бореля алгебры Ли 9, н притом только в одной.

(Свестн к случаю, когда поле И алгебраически замкнуто. Воспользоваться предложением 1О, а также предложением 10 нз 6 3, п'3.) 8) Для того чтобы в полупростой алгебре Лн была главная й!Птройка, необходимо н достаточно, чтобы алгебра Ли была ненулевой н содержала под. алгебру Бореля, 9) Предположим, что алгебра Ли 9 полупроста.

Пусть А) (соотв. Р)— множество нильпотентных (соотв. глаигых яильпотентных) элементов алгебры Лн 9. з) Показать, что Р— открытое подмножество в множестве М в топологии Зарисского (воспользоваться упражнением 6). б) Предположим, что алгебра Ли 9 расщепляема. Показать, что множество Р всюду плотно в множестве АГ. (Воспользоваться предложением 10 и следствием 2 теоремы 1 из 3 10,) 10) Предположим, что 9 — полупростая расщепляемая алгебра Ли. Пусть (х, И, у) есть 81мтройка в алгебре Ли 9. а) Показать, что существует подалгебра Картана «алгебры Лн 9, содержащая элемент )ь (Воспользоваться упражнением !О б) из 6 3,) б) Выберем «, как в утверждении а). Показать, что тогда И щ «и что существует такой базис В системы корней Й(9, «), для которого а(И) щ ен (О, 1, 2! при всех а гы В (см.

предложение 5). Элемент х принадлежит подалгебре Ли алгебры Ли 9, порожденной пространствами йо, а щ В. в) Вывести нз утверждений а) и б) н теоремы Джекобсона — Морозова новое доказательство того, что каждый нильпотентный элемент алгебры Лн 9 содержится з подалгебре Бореля (см э 10, следствие 2 теоремы 1) 1( П) Пусть (х, И, у) — главная й(мтройка в полупростой алгебре Лн 9. Снабдим 9 структурой й! (2, И)-модуля, определенной этой тройкой Показать что так определенный модуль нзоморфен ® У(2И, — 2), где И, — характериг 1 стическне степени алгебры ннвариантных полниомнальных функций на алгебре Ли 9 (Свестн к случаю, когда 9 — расщепляемая простая алгебра Ли Воспользоваться следствием 1 теоремы 1 нз й 8, п'3, и упражнением 6 в) нз гл Н1, 6 4 ') ) 1( 12) Предположим, что алгебра Ли 9 полупроста Пусть х гы 9 н з (соотв, и) — полупростая (соотв.

ннльпотентиая) составляющая элемента х. Пуст~ и» (соотв а,) — цеитралнзатор элемента» (соотв. з) в 9, а) Показать, что и — пильпогентный элемент полупростой алгебры м) (а») и централизатор элекгента и в е, равен а„Вывестн отсюда, что ГБгп а» < ( 6(гп а„если и Ф О, г.

е. если к — неполупростой элемент. б) Показать, что б(гп а„=гй (9) тогда и только тогда, когда и — главный ннльпотентный элемент в м) (а»). в) Положим О = Ац(» (9« Показать, что для всех Х щ И существует такой элемент и щ 6, что и х = з+ Х'и (Если и Ф О, показать, что существует А ') Подробности относительно упражнений 6 — 11 см. в статье: Коз(ап! В ТЬе рппс)ра) !Ьгее-б)тепз)опа) зпЬйгопр апд Ьйе ВеЬВ ппгпЬегз о1 а согпр1ех щгпр!е 1Ле йгонр, Ащег 7 о! Ии(И., 1ХХХ1(1969), 973 — 1032. УПРАЖНЕНИЯ ЗП такая 8!1-тройка в алгебре Лн аь простая компонента которой равна ж и вывести отсюда, что.

имеется гомоморфизм ф: ЗБ(2, й) -ь 6; в качестве и„ взять образ под действием 1р подходящего диагонального элемента из группы ЗЕ (2, й)). Вывести отсюда, что элемент з принадлежит замыканию множества 0 . х в топологии Зарисского. г) Показать, что если элемент х не полупрост, то ои не приналлежит замыканию множества 6.з в топологии Зарисского (воспользоваться неравенством гВш ах ( б!гп а„см. утверждение э)).

д) Предположим. что поле й алгебраическн замкнуто. Доказать эквивалентность следующих условий: (П элемент х полупрост; (й) множество 6 . х замкнуто в 8 в топологии Зарисского. (Импликапия (й)~(!) следует из утвержлепия в). Если условие (!) выполнено и если х' принадлежит замыканию множества 0. х, то упраж. пение 18 из $8 показывает, что полупростая компонента з' элемента х' принадлежит 6.

х, так что элемент х' принадлежит замыканию множества 6.з', Доказательство завершается примеиенвеч утверждения г) к элсмеи. там х и 3.) е) Предположим, что поле й алгебрэически замкнуто. Пусть В» — множествотаких элементов у гп 8, что ) (х) = ((у) для ка клой ннвариантной полиномиальиой функции ! иа алгебре Ли 8 Включение у щ Вх имеет место тогда и только тогда, когда полупростая составляющая элемента р 0-сопряжеиа с элементом з ($8, упражнение 17). Показать, что Вх — объединение конечного числа орбит группы 0 и их число не превоско. дит 81(х1, где 1(х) — ранг алгебры Ли й!(а,).

Только одна нз этик орбит замкнута — это орбита элемента з, и только олиа нз орбит открыта в Вх— это оРбнта, обРазоааниаЯ такими элементами У 1м Ех, что гДш ац 18(8). 18) Предположим, что алгебра Ли 8 полупроста а) Пусть (х, л, у) — главная й!з-тройка в алгебре Ли 8, и пусть Ь вЂ” подалгебра Бореля, содержащая элемент х (упражнение 7), Показать, что алгебра Ли Ь содержится в 1ш ай х. б) Предположим, что поле й алгебраически замкнуто.

Показать, что для любого элемента х нз алгебры Ли 8 существуют такие х, (гм 8, где х — главный ннльпотентный элемент, что х = [х, 1) (применить утверждение а) к подалгебре Бореля, содержащей элемент х). 14) Предположим, что алгебра Ли 8 полупроста. Пусть р — параболическая подалгебра алгебры Ли 8, и пусть ), и (з — два гомоморфизма алгебры Ли 8 в конечномерную алгебру Ли. Показать, что из соотношения (~ )р !з!)) следует, что Л =(ь (Свести к случаю, когда алгебра Ли 8 расщепленная, а затем к случаю 8=8!(2, й) и воспользоваться леммой 1 из п'1.) $15) Предположим, что алгебра Ли 8 полупроста.

а) Пусть х — ннльпотептный элемент алгебры Ли 8. Показать, что элемент х содержится в !ш (а4 х)' (воспользоваться предложеш1ем 2). Вывести отсюда, что из равенства (ад х)' О следует х= О. б) Пусть (х, Ь, у) есть Ю!г-тройка в алгебре Ли 8, и пусть й йх ~~ ® йй (!У йу. Доказать эквивалентность следу1ощих условий: (1) 1щ(ад х)'=й. х; (11) й-модуль 8/й равен прямой сумме модулей размерности 1 н 2; (РД) единственные собственные значении эндоморфнзма абай, отличные от О, 1 и -1, равны 2 и — 2, а ик кратности равны 1. в) Предположим, что 8 — расщепляемая простая алгебра Лв. Пусть 8 — расщепляющая подалгебра Картана в алгебре Ли 8,  — базис системы корней )7 (Я, 1)) и у — старший корень системы )1 (8, ()) относительно базиса В.

Пусть (х, л, у) — такая Я(,-тройка, что 8щ!)П и а(11)~)О прп всех а1МВ 318 ГЛ. ЧП!. РАСЩЕПЛЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛН й /! (см. предложение 5). Показать, что условия (!), (В), (ВВ) утверждения б) выполнены тогда и только тогда, когда 6 =Ну, в этом случае х/ж йт и Ущй г) Сохраним предположения утверждения в) и положим 6 = Ап1з (8), Показать, что 8(з-тройки, удовлетворяющие условиям (!), (1!), (!П), О-сопряжены (воспользоваться упражнением 1О).