Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 75

зим 28) Пусть У, У', У" — простые конечномерные й-модули, Л, р, т — их старшие веса. В модуле УЭУ' длина изотипной компоненты типа 1'" равна е(ьт ш') ~1(ш(Л+ р) + ш'(р + р) — (т+ 2р)). в, в~~Ю сзодкА свойств полупгостых зл!сБР ли ззт В частности, если т = Х+ р, то соответствующая изотипная компонента проста и порождается пространством (г'З Г) +" = ул® р,з Инеариантные нолиномиальные функции 29) Алгебра полиномнальных функций на алгебре Ли отождествляется с симметрической алгеброй 8 (д") пространства д" и, следовательно, является каноническим д-модулем; поэтому можно определить инвариантные полнномиальные функции на алгебре Лн д. Пусть «еи 8(д').

Для того чтобы функция « 'была инвариантной, необходимо и достаточно, чтобы «аз=«при всех за= Ап( (д) или чтобы «0з=«прн всех з енАп1, (д). 30) Пусть 1(д') — алгебра инвариантных полиномиальных функций на д и 8(()") — алгебра Ф'-инвариантных полиномиальных функций на подалгебре Картина (). Пусть 1: 8(д')-+8(()") — гомоморфизм ограничения.

Отображение 1~ 1(д*) является изоморфизмом алгебры 1(д") на 8(()') . Если 1 — ранг алгебры Ли д, то в алгебре 1(д') существует 1 однородных элементов, которые алгебранчески независимы и порождают эту алгебру. 31) Для того чтобы элемент а алгебры Ли д был нильпотентен, необходимо и достаточно, чтобы «(а) = О для любой однородной функции «из алгебры 1(д*), степейь которой> О. 32) Пусть з ен Ап1(д). Для того чтобы элемент з принадлежал группе Ац1з(д), необходимо и достаточно, чтобы « ~ з=« при всех )еи1(д').

И,-тройки 33) ь(,-тройкой в алгебре Ли д называется набор (х, Ь, у) элементов алгебры Ли д, отличный от (О, О, О) и такой, что «Ь, х« =2х, [Ь, у«= — 2у, [х, у] = — Ь. Тогда х, у — нильпотентные элементы алгебры Ли д, а элемент Ь полупрост. 34) Пусть х — ненулевой нильпотентный элемент алгебры Ли д. Тогда существуют такие элементы Ь, у ~ д, что (х, Ь, у) есть Ф!,-тройка. 35) Пусть (х, Ь, у) и (х', Ь', у') суть а(,-тройки в алгебре Ли 1. Тогда следующие условия эквивалентны: а) существует такой автоморфизм з ~ Ап(,(д), что эх= х', б) существует такой автоморфизм з ~ Ап1,(д), что эх=х', зЬ= Ь', ау =у'. СВОДКА СВОЙСТВ ПОЛУПРОСТЫХ АЛГВВР ЛИ 36) Если поле и алгебраически замкнуто, то условия а) н б) из п.

35) эквивалентны условию в) существует такой автоморфизм з ~ Ап(,(й), что зй=й'. Кроме того, число классов сопряженных относительно груп. пы Ап(,(й) ненулевых нильпотентпых элементов не превосходит 3', где 1 — ранг алгебры Ли й. 37) Ннльпотентный элемент х в алгебре Ли й называется главным, если размерность его равна рангу алгебры Ли Главные нильпотентные элементы в алгебре й существуют.

Если поле Ф алгебраически замкнуто, то все главные нильпотентные элементы сопряжены относительно группы Ап(,(а). ОГЛАВЛЕНИИ 13 15 !9 19 представления Г л а в а УИ. Подалгебры Кайтана, Регулярные элементы з А Примарное разложение линейных предетаеленай . 1. Прнмарное разложение лля семейства эндоморфизмов. 2. Примарное разложение для линейного семейства эндоморфизмов . 3. Рааложение линейных представлений нильпотентной алгебры Лн . 4. Примарное разложение алгебры Ли относительно некоторого автоморфизма . 5.

Инварианты полупростого действия в полупростой алгебре Ли 3 2. Подалгебры Картона и регулярные элементы алгебры Ли 1. Подалгебры Картана . 2. Регуяярные элементы алгебры Ли 3. Регулярные элементы и подалгебры Картаиа . 4. Подалгебры Картава полупростых алгебр Ли, 3 д. Теоремы сопряженности . 1. Элементарные автоморфизмы . 2. Сопряженность подалгебр Кзртана .

3. Приложения теоремы о сопряженности подалгебр Картана, 4, Сопряженность подалгебр Картаиа в разрешимой алгебре Лн 5. Одно предложение о группах Ли . 3 4. Регулярные элементы группы Ли 1. Элементы, регулярные относительно линейного 2. Регулярные этементы группы Лн . 3. Связь с регулярными элементами алгебры Ли 4. Применение к элементарным автоморфизмам й б. Линейные разделяюи1ие алгебры Ли .

1. Линейные разделяющие алгебры Ли . 2. Разделяющая оболочка . 3. Разложения разделяющих алгебр . 4. Лннййные алгебры Ли ннльпотентиых эндоморфизмов . 5. Характеризацни разделяющих алгебр Ли . 21 21 25 28 30 31 31 ЗЗ 35 37 39 40 40 42 45 48 49 49 52 53 56 60 Огллвлеь!ие 340 Дополнение !. Полиномиальные отобраэеения и топология Зарисского 63 63 65 132 132 133 139 1. Топология Зарпсского 2.

Доминирующие полинониальиые отображения Дополнение П. Одно свойство связности Упражнения к в 1 . Упражнения к э 2 . Упражнения к 6 3 . Упражнения к э 4 . Упражнения к $ о . Упражнения к дополнению 1 Упражнения к дополнению 11 Глава А!11. Расщепленные полупростые алгебры Ли Алгебра Ли 81 (2, й) и ее представления . 1. Канонический базис в Й (2, й) . 2. Примитивные элементы Й (2, (г)-модулей . 3. Простые модули У(т) . 4. Линейные представления группы Я. (2, я) .

5. Некоторые элементы группы 3Е (2, й) . Система корней расщепленной полупростой алгебры Ли 1. Расщепленные полупростые алгебры Ли 2. Корни расщепленной полупростой алгебры Ли . 3. Билинейные инвариантные формы 4. Коэффициенты Уе, б .. Подалгебры расщепленных полупростых алгебр Ли 1. Подалгебры, устойчивые относительно аб() . 2. Идеалы 3. Подалгебры Бореля 4. Параболические подалгебры 5.

Нерасщепленный случай . Расщепленные полупростые алгебры Ли, определяемые веденной системой корней . 1. Размеченные полупростые алгебры Ли . 2. Предварительная конструкция . 3. Теорема существования . 4. Теорема единственности . Автоморфизмьг полупростой алгебры Ли . 1. Автоморфизмы размеченной полупростой алгебы Ли . 2. Авточорфизмы расщепленной полупростой алгебры Лп 3. Автоыорфизны расщепляемой полупросгой алгебры Ли 66 69 73 75 80 80 83 84 85 8о 86 89 91 93 94 94 102 103 105 106 110 111 114 117 1!8 118 119 124 130 оглавление 142 144 обер- алггб- 197 4.

Топология Зарисского на группе Ап!(8) 5, Случай групп Ли $ б. Модули над расщепленной полупросгой алгеброй Ли 1. Веса и примитивные злементы 2. Простые модули имеющие старший вес. 3. Теорема существования и единственности . 4. Централизатор подалгебры Картава 7) в универсальной тывающей алгебре алгебры Ли 9 .

$7. Комгчпомгркые модули иад расщеплгимой полупросгой рой Ли 1, Веса простого конечномерного 9-модуля 2. Старшие веса простых конечиомериых 9-ьщдулей . 3. Мнкровеса . 4. Тензорные произведения 8-модулей . 5. Дуальный 8.модуль 6. Кольцо представлений 7. Характеры 9-модулей й 8. Симметрические инварианты 1. Экспонента линейной формы . 2.

Вложение й [Р] в 8(у)" 3. Инвариантные многочлены 4. Свойства групп Апгь. 5. Центр универсальной обертывающей алгебры. $ у. Формула Германа Вселя 1. Характеры конечномерных 9.модулей . 2. Размерности простых 9-модулей . 3, Кратности весов простых 9-модулей . 4. Разложение тензорного произведения двух простых 8.модулей 5 18. Максимальиыг подалгсбры полупросгыг алгсбр Ли . 9 11. Классы пильпотгптныл глгмгпгое и й!мтройки .

1. Определение 81 -тройки . 2. 81з-тройки в полупростых алгебрах Ли 3. Простые злементы 4, Главные элементы 5 12. Порядки Шгеаллг . !. Решетки и порядки . 2. Разделенные степени в бналгебре. 3. Целочисленный вариант теоремы Пуанкаре — Биркгофа— Витта . 4. Пргчерг многочлены с целымн значениями 5. Несколько формул 144 145 148 150 153 155 155 157 163 165 168 171 174 176 176 177 179 185 186 190 190 193 195 195 203 203 205 208 2!2 2!5 215 216 217 2!9 221 огллвлпыип 342 6.

Бипорялки в универсальной обертывающий алгебре расщепленной редуктивной алгебры Ли . ... ... . .. . 224 7. Порядки Шевалле 229 8. Допустимые решетки . 232 % !3. Рас~цгпллсмыг 1. Алгебры Ли 2 Алгебры Ли 3. Алгебры Лн 4. Алгебры Ли прсстыг алгебры Ли типа А~(! ) !) типа В! (! > 1) типа Сг(! ~ 1) типа В! П > 2) классического типа: .. 236 236 243 255 Таблица ! Таблица 2 271 272 325 327 329 Упражнения к 9 1.

Упражнения к $2. Упражнения к $3. Упражнения к $4. Упражнения к 9 б. Упражнения к 9 6, Упражнения к 9 7. Упражнения к 9 8. Упражнения к 6 9. Упражнения к $10. Упражнения к 9 11. Упражнения к $13. Указатель обозначений . Указатель терминов Сводка некоторык важных свойств полунростых алгебр Ли 274 281 283 . ' 286 287 292 293 304 307 3!3 315 3!9 УВАЖАЕМЫИ ЧИТАТЕЛЫ Ваши замечания о содержании кииги, ее оформлеиив, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., дом 2, издательство „Мир". .