Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 73

х, у) + Ф (х, Л (а) . у) = 0 прн всех х, у из И н а из Р®Р'. Вывести отсюда, что форма Ф инвариантна относительно представления р алгебры Ли 3 (заметить, что алгебра Ли р [3) порождена множеством Х (Р ЯР') вследствие утверждений а) н б)). 19) Пусть У вЂ” ковечномерное векторное пространство н Е = У йт У'. Определим пз пространстве Е невырождепную билинейную форму Ф, полшкнв Ф ((х, х*), (у, у')) (х, у*) + (у, х"). 1 Положим М Д[У) и Я(х) — Ф(х, х) при х~мЕ Как н в п' 2 (1Ч), 2 через й: С(Я)-ь Бпб (Ф) обозначим спинорное представление, отображе.

ние 1: о(Ф)-ьС (Я) определено, каь в демьяне 1 нз п' 2, и р — линейное + представление л Г алгебры Ли о(Ф) в пространстве Л'. а) Поставим в соответствие каждому эндомарфизму и пространства У эндоморфизм й пространства Е по формуле й(х, х') (п(х), — и(х*)) По- казать, что иь — ьй — гомоморфизм алгебры Ли 31[У) в алгебру Ли о(Ф). Более того, для каждого эндоморфизма и из 31(У) р(й) — единственное дифференцирование алгебры Д (У) Ь[, которое совпадает с эндомор- физмом и на пространстве У.

б) Пусть Чг — невырожденная знакопеременная билинейная форма на пространстве У и ул У -ь У' — иэоморфиэм, определенный формулой Ч'(х, у) (х, у(у)), где х, у нэ пространства У. Показать, что эндомор- физмы Х+ и Х вЂ” пространства Е, определенные формулами Хе (х, х') = (у-' (х*), О), Х- (х, х*) (О, — у (х)), принадлежат алгебре Ли о (Ф).

Положим Н ( — 1). Показать, что (Н, Хь, Х ) есть й[з-тройка в алгебре Ли о(Ф). в) Показать, что гомоморфизм р переводит элементы Й, Х+, Х вЂ” алгебры Ли о(Ф) в эндоморфизмы пространства ЬГ, которые в и' 3 (1Ч) обозначены через Н, Хь и Х- соответственно Вывестп отсюда, что (Н, Хе, Х-) есть й[з-тройка алгебры Лн 31[У).

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ Пнфры в ссылках указывают последовательно главу, параграф и а ЧП. соглашения (5), 1гх(а), Ра (Ю), Ч (а) ЧП. 1.1 3 (()), 3'(8) чп. !.з а (х), г8 (3) ЧП 2.2 Ап((3), Апта(3! ЧП. 31 ж 3= П'йаз ЧП,34 г г" Л1 4.1 е (3) ЧП. 5.2 А„ЧП Доп. !.1 Щ ЧП. Доп. Е 2 Н,Х+,Х ЧШ !А Ч (гп) Ч1П. 1.3 А (1), 8 (!) ЧШ. !.о 6. (). Аг(3 ())=)г Ч1П.2.2 8 ° ()а 3а На Аа за (О за ЧП1 2.2 ))и, !)и, за, ()н ЧШ 22 3)а р ЧП1. 2.4 3', 8, чп(,3.! и (а, 8), Х„На„Хо, ЧП1 4.2 8, а, а+, а ЛП.4.2 л,р,н ЛП43 Ап((8, ()), А(й) ЧШ. 32 Т, Т, Ап! (8), Ап! (3, ()), Ап! (6, «) Ч)П 62 )(+ Л- п~' и- 3+ 3- Ха уа На ЧШ. 6 согл.

Чь ЛП. 6.1 г (л), е (л) чш 6.з Р, Р+, Рее, О, Я+, р ЧШ.7 согл ыо ЧП!. 7.2 [Е), [Е[*, Я(а) ЛП.7.6 УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ микровес ЧП!. 7.3 Абсолютно простая алгебра Ли Ч1П. 3.2 базис Витта ЧП[. !3.2, ЧП1. 13. 3, ЧП[.!3.4 — канонический ЧП1. 5.3 бипорядок Ы.биалгебры ЧП1.12.1 вес модуля ЧП, 1.1, НП[. 61 — — младший ЧП!. 6.2 — ' — старший ЧП!. 6.2 главная в1з-тройка ЧШ. П.4 главный ннльпотентпый элемент ЧП[.! 1.4 — простой элемент ЧП!. 1!.4 гомоморфизм Хариш-Чандры ЧП1.6.4 группа Вейля расщепленной алгебры Ли ЧШ.22 — весов расщепленной алгебры Лн ЧП[.

2.2 дозволенная решетка ЧШ. !2.6 допустимая решетка Ч!1!. 12.6 доминирующее полинэмнальное ото. бражение ЧП. доп. нзотипная компонента старшего веса Л ЧП!.7.2 изотропный флаг ЧП!. !3.2, ЧИ1.133 — — квазимаксимальный ЧП[,!3,4 инвариантная полиномнальная функция ЧП!.6.3 ннволюцня каноническая в в1(2, й) Ч[П. 1.1 каноническая инволюпня в э1(2, й) ЧП1.

!.1 — подалгебра Карзана Ч!И. 5.3 — система корней Ч[И.5.3 канонический базис Ч[П, 53 кольцо представлений алгебры Лп ЧИ1. 7.6 компонента ннльпотентная НП. 1.3 — полупростая ЧП. 1.3 корень расщепленной алгебры Ли ЧИ!. 2.2 кратность веса в модуле Ч1П. 6.! линейное отображение, касательное к полиномиальному отображению ЧП. доп. !.2 неприводимое ортогональное представление ЧШ.

7.5 — снмплектическое представление ЧП!. 7.5 нильпространства ЧП. 1.1 оболочка разделяющая подалгебоы Ли в 31(Ч) ЧП.5.2 ортогональная алгебра Ли ЧИ1.13.2 параболическая подалгебра ЧИ1. 3,4, Ч1П. 3.5 цодалгебра Борели ЧП1. 3.3, ЧП1. 3.5 — Картана ЧП. 2.1 полиномнальное доминирующее отображение ЧП, доп.

1 2 полуспинорное представление Ч1И. 13.4 порядок в О-алгебре ЧП!.12.1 порядок Шевалле ЧП!. 12.7 примарное подпространство ЧИ. 1.! примитивный элемент в модуле ЧП!. 1.2, Н! И.6.1 присоединенное представление группы Ли 3Ь(2, й) ЧШ. 1.4 простой элемент ЧП!, 11.3 328 УКАЗАТЕЛЪ ТЕРМИНОВ разделяющая оболочка подалгебры Ли в й!(У) ЧП.5.2 — подалгебра Ли ЧИ,ЗА, ЧП1. 10 разложение по положительным корням ЧП!.9.! — Фнттинга модуля ЧП. !.1 разметка расщепленной полупростой алгебры Ли Ч!И.4.1 размеченная полупростая алгебра Ли Ч1П.

4.! ранг алгебры Ли ЧП. 22 расщепленная исключягельпая (или особая) простая алгебра Ли ЧП1. 3.2 — редуктивная алгебра Ли ЧП1.2.! расщепляемая классическая простая алгебра Ли ЧП1. 3.2 — редуктнвная алгебра Лн ЧИ!. 2,1 расщепляющая подалгебра Картана ЧП(. 2.1 регулярный элемент в алгебре Лн Н1!.

2.2 — — в группе Лн ЧП.4.2 — — линейного представления ЧП. 4.1 решетка в векторном пространсгве над Я ЧП!. 12,1 — дозволенная ЧПИ 12.6 — допустимая ЧП). 12.8 алгебра Ли симплектическая ЧП!. 13.3 система образующих, определенных разметкой ЧИ1. 4.1 — Шевзлле ЧИ!,2А собственное значение ЧИ,).1 — подпространство ЧП. 1,1 собственный вектор ЧП.1.1 согласованные предстанлепия ЧП. 3 1, ЧП!.!.4 спинорное представление ЧП!. 13,2, ЧП!. !3.4 теорема Джекобсона — Морозова ЧП!. 11,2 топология Зарисского ЧИ.

доп. 1.! условие (ИК) ЧП.1.1 флаг ЧП1. 13.1 формула Вейля ЧП(. 9! — Клебша — Гордапа ЧП1. 9А фундаментальное представление Ч1П. 72 фупдаментзльный простой й-модуль ЧИ1. 7.2 характер центральный Ч!И,б.( — 9-модуля Ч)11. 7.7 центральный характер ыодудя ЧИ!. б.! элементарный автоморфизм ЧП.З.! экспонентз Ч11!. 8.1 ячейка, ассоциированная с парабо. лическим подлгножеством ЧИ!.3.4 Я-экстремальный элемент ЧП!. 7.2 )7-насыщенное подмножество Ч1П.7.2 в1з.тройка ЧИ!. ИА СВОДКА НЕКОТОРЫХ ВАЖНЫХ СВОЙСТВ ПОЛУПРОСТЫХ АЛГЕБР ЛИ В этой сводке через й обозначается полупростая алгебра Ли над полем к.

Подалгебры Картами 1) Пусть Š— множество коммутативных подалгебр алгебры Ли й, которые в ней редуктивны; это множество совпадает также с множеством коммутативных подалгебр этой алгебры Ли, все элементы которых полупросты. Подалгебры Картана алгебры Ли й являются максимальными элементами в Е. 2) Пусть х — регулярный элемент алгебры Ли й. Тогда х полупрост. Существует единственная подалгебра Картана алгебры Ли й, которая содержит х, — это централизатор элемента х в алгебре Ли !).

3) Пусть х — полупростой элемент алгебры Ли,в Тогда х принадлежит некоторой подалгебре Картана алгебры Ли й. Для того чтобы элемент х был регулярен, необходимо и достаточно, чтобы размерность его централизатора совпадала с рангом алгебры Ли й. 4) Пусть () — подалгебра Картана в й. Она называется расшепляющей, если для любого х ~ » эндоморфизм аб,х приводится к треугольному виду, Алгебра Ли й называется расщепляемой, если в .й содержится расшепляющая подалгебра Картана (это всегда имеет место, если поле й алгебраически замкнуто). Расщепленной полупростой алгеброй Ли называется пара (й, ()), где й — полупростая алгебра Ли, а () — расщепляющая подалгебра Картана в й. В дальнейшем в этой сводке через (й,()) обозначается расщепленная полупростая алгебра Ли. Системы корней 5) Для каждого элемента а из пространства ()', дуального к б, обозначим через й' множество таких х ен 11, что (Ь, х] = а (л) х при всех Ь ~ (). Если а=О, то й'=-().

Корнем расщепленной сводка своиств полтпгостых хлгввг ли алгебры Ли (й, 5) называется каждый элемент а ~()' — (О), для которого й" ~ О. Обозначим через Р(9, ч) (или просто через )г) множество корней расщепленной алгебры Ли (а, 5),.Эта система корней в 5* приведена в смысле гл. Ч1, 5 1, и' 4. Для того чтобы алгебра Ли й была проста, необходимо и достаточно, чтобы система 1т была неприводимой.

6) При любом а ~ )т размерность подпространства равна 1. Векторное пространство 5", 9 '~ содержится в подалгебре 5, размерность его равна 1, н в нем содержится ровно один такой элемент Н,, что а(Н„)=2, Мы получаем, что Н,=а (гл. Ч1, 5 1, и' 1); множество элементов Н,, где пена, — система корней 1г", дуальная к системе 1г. 7) Имеет место разложение д = З 9 ® й'. Существует Ояа такой набор (Х„)„, что при всех а ен Я мы имеем Х аи й' и ~Х„, Х,)= — Н„.

Любой элемент хаий однозначно записывается в виде х=Ь+ Х Ь„Х„, где Ь ев а, 1., а Ь. аеа Коммутатор двух элементов из 9 вычисляется с помощью формул )Ь, Х„) =а(Ь) Х„ ~Х„, Ха ) = О, если а + Р ~й )т () (О), ЕХФ Х „1= — Н„, [Х,, Ха)=М„аХ, а, если а+(%си)т, где й(„ а — ненулевые элементы из поля Ь. 8) Пусть  — базис системы корней 1г. Алгебра Ли ~1 поро- ждена элементами Х„и Х, при аев В. При этом (Х,, Х а)= =О, если а, реиВ и аФр. Пусть (п(а,р))„а в — матрица Картана системы )т (относительно базиса В). Имеют место равенства и (а, р) = а (Н ).

Если а, 6 еи В и а ~ р, то п (а, (3)— целое отрицательное число. Выполняются следующие соотно- шения: (ад Х„)' а<а а>Х =О, (ад Х а)' лм мХ =О 9) Если а, 6, а+ без Я, то пусть д„а — наибольшее такое целое число 1, что р — 1а ~ Я. Можно выбрать систему (Х,) из и. 7) так, что У„,а=У, а, если а, 6, а+(Зева Тогда Ь(,,а= = =с (д„а+ 1). Существует инволютивный автоморфнзм О ал- сводка свонстз полли остых злгеья ли зз! гебры Ли й, который переводит Х, в Х, при всех пена; мы получаем, что О(й) = — й при всех Ь ен (). Тогда Е-подмодуль в й, порожденный элементами Н„и Х,, является Х-подалгеброй алгебры Ли й, а кайоническое отображение й Эхй-+й нзоморфизмом. Пара (й, ()) получается из расщепленной полупростой алгебры Лп над Я расширением поля скаляров.