Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 72

(Применить Алг., гл !Х, э 6, упражнение 17 б), и Алг., гл. (Х, 6 9, упражнение 11 6).) Вывести отсюда, что группа Ап!»(Я) совпадает с образом группы Ов+ (Чг) в группе 80 (Ч')((ж 11. Лля того чтобы элемент — 1 принадлежал группе Оэ+ (Ч'), необходимо и достаточно, чтобы ! было четко илн чтобы — 1 была квадратом в поле й (Алг., гл. !Х, $9, упражнение 11 в]). 12) Формой Киплинга на алгебре 7!и 61(п, й) служит отображение (Х, у) ! — ь 2л Тг (Ху). Формой Киплинга па алгебре Лн йр(л, Лй где и четпо, является отображение (Х, у) ь — ь (и+ 2) Тг(ХТ).

Формой Киплинга на алгебре Ли о (и, й), где Я вЂ” невырожденнан симметрическая форма ранга и, является 3 отображение (Х, Х) ь — ь (л — 2) Тг (ХУ). 13) Алгебра пнвариаптных многочлсиов на алгебре Лн 9 порождена а) в случае А! функциями Хе-РТг(Хг], 2»!;!<!+ 1, б) в случае В! функцинми Х ь — ь Тг (Хз!), 1 < ! < (, в) в случае С! функцнямн Х ~-" Тг(Х2!), 1 <! <1, г) в случае О! функцияын Х! —.

Тг(Х2!), 1~<(: ! — 1, и одной из двух таких полиномиальных функций 1, что ( (Х!' = ( — !) Ое1Х. 14) а) Пусть П вЂ” группа Ли, ассоциированная с алгеброй Ли й = »Л (л, й) па способу из % 7, упразкнение 26, Естественная структура 9-модуля на пространстве йи порождает гомоморфизм !р: 0-ь СЕ(ж й). Использовать и, з), гпл же, чтобы показать, что 4! — ииъективпый гомо!!орфизм, и е), гам же, чтобы доказать, что 1гп (гр) = Я, (и, й] '] Напомним, что элемент з пространства гх У называется чистым, л ! если» отличен от иузя и совпадает с внешним произведением ! элементов пространства У.

— Прггм. верея. 322 Гл. Гн|. Рлсщепленные палупростые АлГеБРы лн й |3 б) Пусть Š— конечномерный 81 (а. й)-модуль и р — соответствующее представление алгебры Ли 81 (л, й). Показать, что существует единственное такое представление м: 8Ь (и, й) -ь ОЫЕ), что и (е") = еа|") для любого нильпотентного элемента х из алгебры Ли 81 (и, й) (использовать п. а)). Скажем, что представ|ения р и и согласованы. Обобщить результаты, доказанные прн к=2 в $1, и' 4. в) Предположим, что й совпадает с В илн С, или с полным относительно дискретного нормирования полем, характеристика поля вычетов которого ФО.

Показать, что представления р и и согласованы тогда и только тогда, когда м — такой гомоморфизм группы Ли, что Е(п) р. (Использовать тот же метод, что в упражнении 18б) из 6 1.) г) Доказать аналогичные утверждения относительно Фр (2п, й) н йр (2л, й), $ 1б) Пусть (г — векторное пространство конечной размер|гости ) 2, 8— подалгебра Лн алгебры Лн Епд ([г) и 0 — элемент нз 9.

Предположим, что (!) )г — полупростой 9-модуль; (|П 0 — элемент ранга 1 (т е. |В|и !гп (0) = 1); (!!!) прямая !гп [0) порождает В(9)-модуль У. а) Доказать, что условия (1) — (!!!) выполняются (прн подходящем выборе элемента О), когда 8 й!([7), когда 8=81([г) илн когда на пространстае )г существует такая невырожденная знакопеременная форма Чг, чта 9 бр [|(г) или 8 =й.! Яйр [ч!г). В каждом из этих случаев в качестве О можно взять нильпотентный элемент; во втором случае (и только в нем) в качестве 0 можно взять полупростой элемент. б) Мы собираемся показать, что четыре вышеприведенных случая — единственные возможности.

Сведем сразу же к случаю, когда й — алгебраически замкнутое поле, Показать тогда, что (г — простой 8-модуль и что 9=сей, где й — полупростая алгебра Лн, а с равна О или й.!. Показать, что модуль )г не может быть пчаморфен тензорному произведению й.модулей размерности «)2; вывести отсюда, чта й — простая алгебра Ли. в) Выберем подалгебру Картана () алгебры Лн Ф н базис В системы корней )7(6, 1)). Пусть л — старший вес ймодуля )Г (относительно базиса В), и пусть е — ненулевой элемент пространства (г веса А, Тогда старший вес дуального модуля )г* равен й' — мчй ($7, п' б). Пусть е' — ненулевой элемент пространства )г' веса А".

Обычным образом отан|дестины пространства (ге (г' н Епб((г). Показать, чта существуют такие х па)г, у|в Г. что х(9у 'м 9 и (х, е') ~ О, (е, у) Ф О (рассмотреть элемент, сопряженный к элементу 0 относительно е", где н — подходящий пкльпотентпый эчемент алгебры Ли 9), Использовать та, что 9 есть 8-подмогу чь модуля )г(бч !", чтобы вывести отсюда, что алгебра Ли 9 содержит элемент е Э в*. Вследствие этого л+ Л' = а, где а — наибольший корень алгебры Лн й. г) Показать что алгебра Ли д не может быть алгеброй Лн тинов В| (!)«2), Вг (1«)4), Ев. Е» Ез. Е» Вг (вследствие гл. Ч1, таблицы, а — фундаментальный вес и поэтому не может иметь указанный выше вид х+ А').

Вывести отсюла, что 8 — нлн алгебра Ли типа А|, или алгебра Лн типа С|; в первом случае А й, или й| — — й,, а во втором случае а 2й, й|+й„ так как с равна О или й. 1, откуда получаются четыре случая и. а) '), ч(( 16) Пусть 8 — абсолютно простая алгебра Ли типа А| (! ) 2), й — алгебраическое замыкание поля й и и: Оа!(й/й)-ьАа1()7, В) — гомоморфиам, определенный в упражнении 8 из $5. ') Подробности сч. Оп!!!ечп!п 'ч7, 'йг., ()а!!!еп О., 61егпЬегй 8., ТЬе с[аззгйсаИоп о! |Ье !ггсбпс(Ь!е сагир!ех а[йеЬгаз о| !пПп|1е 1уре, 7.

Ана!узв Мп!А., ХЧ1! (1967), 107 — 1!2. [Русскин перевод: сб. Математика, |2: 6 [1968), 63 — 66.) УПРАЖНЕНИЯ 323 а) Предположим, что п — тривиальный гомоморфизм. Доказать, что существуют ровно два двусторонних идеала ш и ш' в алгебре 0(9), тания, что 0 [7(8)/ш и 0'=(7(8)(п»' — простые центральные алгебры размерности [1+!)т (воспользоваться упражнением 8 из з 7). Главный аптиавтомор. фнзм алгебры 0(9) переставляет ш и ш'.

В частности, алгебра 0' нзоморфиа противоположной алгебре алгебры Р. Композиция 9-ь 0(8) -РР отождествляет 8 с подалгеброй Ли Й алгебры О, образованной элементами со следом ауль Для того чтобы алгебра Ли й была расщепляемой (и, следовательно, нзоморфной Й(!+1, й)), необходимо и достаточно, чтобы алгебра 0 была изоморфна М!+~ (й). Наоборот, если Ь вЂ” простая центральная алгебра размерности (! -1- !)э, то Й» — абсолютно простая алгебра Ли типа А! и соответствующий гомоморфизм и тривиален. Дае такие алгебры Йд и 61д. изоморфны тогда и только тогда, иогда алгебры Ь и Ь' изоморфны или антиизоморфны. б) Предположим, что гомоморфнзм я иетривиален.

Так как в группе Ан[()7, О) два элемента, то ядро гочоморфнзма и — открытая подгруппа в группе Оа! (й!й) индекса 2, которая по теории Галуа соответс~вуе~ квадрати шому расширению М поля й, Обозначим через х ь-ь х нетривиальную 'инволюцию полл йн Показать. что существует единственный двусторонний идеал ш алгебры 0 (9), такой, что 0 (7(8)/ш — простая алгебра размерности 2(!+ 1)', центр которой является ивадратичным расширением поля д (доказывается тем»ке способом). Можно отождествить центр алгебры 0 и ФР Идеал п» устойчив относительно главного антиаатоморфизма алгебры 0(9); этот аитиавтомор. физм определиет на факторалгебре Р такой ииволютивиый антиавтоморфизм ш что о(х) х при всех хс йь Композиция 9-э[7(8)-РР отождествляет 9 с подалгеброй Ли Й»р алгебры О, образованной такими элементами х, что р,о п(х) = — х и Тгргь (х) =О.

НаобоРот, если Ь вЂ” пРостаЯ центРальнаа !гп алгебра размерности (1+ 1)', снабженная инволютивным антиавтоморфизчом о, ограничение которого на й, есть отображение х ь-э. х, то алгебра Ли Ю»» -», а абсолютно простая алгебра Ли типа А! и соответствующий гомоморфизм и— гомоморфизм, ассоциированный с квадратичным расширением й, полн Д. Для того чтобы две такие алгебры Ли Ю»»д о и йпд.

о, были нзоморфны, необхо. димо и достаточно, чтобы существовал такой й-изоморфизм Д Ь-ьд', что ~.)-)ьп. При Р=Мь+,(М) показать, что существует такая обратимая эрмитова матрица Н порядка !+ 1, единственная с точностью до умножения иа элемент из д', что о(х) Н. х.Н для любого хьмМ!ь,(й,). Показать, что алгебра Ли 9 отождествляется с алгеброй Ли Й»(!-1-1, Н), образованной из таина матриц х, что х. Н+ + Н. 'х О и Тг (х) = О. $ !7) Пусть 8 — абсолютно простая алгебра Ли типа Н! (соотв.

С1, Р!), где !~)2 (соотв. 4%3, 1~) 4). Когда 9 — алгебра Ли типа Рь предположим, кроме того, что порядок образа гомоморфизма я: Оа! (й)д) -э Аи! [)7, !»), определенного в упражнении 8 из э 6, ие превосходит 2. ![оказать, что тогда существуют простая центральная алгебра размераости (21+ 1)' (соотв.

4!э, 40) и такой ииволютивный антиавтоморфизм о алгебры Р, что 8 изоморфна подалгебре Ли алгебры Р, образованной такими элементами х, что и [х) = — х и Тг (х) О (рассуждать так же, как в упражнении 16 а)) '). ') Подробнее относительно упражнений 16 и 17 см. Джекобсон Н., Алгебры Ли, кМир», М„!964, гл. Х, и 6еНйшап О., Моби!аг 1!е А!яеЬгаа, Брг!паег-Чег!ай, 1967, сйар. 1Ч.

324 гл. щп, насщгплсныын полкпиостын ллгиппы ли у гз !8) Г!усть У вЂ” конечномерное векторное пространство, Я вЂ” иевырождсн- аая квадратичная форма на У и Ч' — симметрическая билинейная форма, ассоциированная с формой О. Обозначим через 3 алгебру Ли а(Ч') и через Ч'з — расширение формы Ч" на просгранстио лч (У). 2 а) Показать, что существует пзоморфнзм векторных пространств О, лч (У) -ь й, характеризующийся следующими эквивалентными свойствами: ая [!) Для любых а, Ь и х из пространства У имеет место равенство О (а Л Ь) . х = а. Ч' (х, Ь) — Ь . Ч' (х, а).

[!!) Лля х, у пз У н и из лч НП имеет место равенство Ч' (х Ут у, и) = = Ч'(х, 3(п). у). Пусть и — тождественное представленве алгебры Ли 3 в пространстне У; тогда нзоморфизм О устанавливает эквивалентность представлеяия лч (о) и присоединенного представления алгебры Ли 3. б) Определим линейное представление ): 3 -ь С (Я), как в лемме ! из + 1 п' 2 Показать, что )О(а г[ Ь) — (аЬ вЂ” Ьа) прп а, Ь нз пространства !', 2 и вывести отсюда новое доказательство утверждений (1Н), (!ч) и (ч) леммы 1 из п' 2. в) Пусть 1, Р, Р', с„М, Х я р означают то же, что и в и' 2. Выберем элемент е ~ 0 в пространстве лч (Р') н определим билинейную форму Ф на пространстве М формулой х ут у=( — 1)г[л'![! Ф(х, у).е (хщлвч (Р'), ущМ). Показать, что Ф (Л (а) .