Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 67

!5) Любой корень либо положителен, либо отрицателен относительно С. Символом )с4. (С) обозначается множество положительных относительно С корней, так что Р = й+ (С) О СВОЙКА ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ СИСТЕМ КОРИЕЙ 325 ()( — В,(С)) есть разбиение системы В. Отражение з, переводит а, в — а, и переставляет между собой элементы из В~(С), отличные от ан 16) Пусть  — базис системы В. Любой положительный (соотв. отрицательный) относительно В корень является линейной комбинацией элементов из В с целыми коэффициентами > 0 (соотв..- 0).

17) Пусть 9И Ц„..., р„) — такая последовательность положительных относительно С корней, что 8, + н -1-... +8„будет корнем. Существует перестановка лен Ь„, для которой би о, + +(3 Ви + ... + 8В н, будет корнем при любом 1 ен (1, 2, ..., и). !8) Пусть а ен Я+(С). Для того чтобы а ен В(С), необходимо и достаточно, чтобы а нельзя было записать в виде суммы двух положительных корней. 19) Пусть С вЂ” камера, (ан а„..., а~) — соответствующий базис. Для любого подмножества 1 ~1=(1, 2, ..., 1) обозначим символом йГ~ подгруппу в иу(В), порожденную отражениями з, с (В=У.

Пусть Су — множество линейных комбинаций с коэффициентами ) 0 корней а~ для 1 ейУ, так что Сл — ячейка камеры С. Пусть 1 ~ У, д ~ йГ (Я). Следующие условия эквивалентны: а) д оставляет инвариантной некоторую точку ячейки СЛ б) д оставляет инвариантной любую точку ячейки Сн1 в) и оставляет инвариантной любую точку замыкания СА; г) д(С,)=С~; д) д(с,)=с,; е) дяйул Пусть 1, 1'с(1, 2, ..., 1) и д, д'ы В'Я). Следующие условия эквивалентны: а) д(С~)=д'(Сг); б) д (С~) () д' (Сл) чь О в) уйти,=д'Мал, г) 1=1 и д -='йЧУ/.

Пусть Ун 1м ..., У„с:1 и У=У,П ... П1„. Тогда ЧУ~= =Ф'~,П ... ДФ'т, Для любого д~йх(У() существует Ус:1, такое, что С()д(С) =Сз и д ен ЯГ,. 20) Пусть Р— подмножество системы Я. Говорят, что Р за,икнуто, если условия а я Р, 8 ~ Р, а+ 8 ен В влекут а+ р е: =Р. Подмножество Р называется параболическим, если Р замкнуто и Р()( — Р) = Я. Следующие условия эквивалентны: а) Р параболично; 326 сводил основных свонсгв систем хогнви б) Р замкнуто, и сушествует такая камера С, что Р =» ':» Д+ (С); в) сушествуют камера С и подмножество Х с= В(С), такие, что Р будет объединением В (С) и множества Я корней, являющихся линейными комбинациями с целыми коэффициентами О элементов из Х, Предположим, что эти условия выполнены, и рассмотрим векторное подпространство У, с= У, порожденное множеством Х.

Имеем Р()( — Р)=а()(-в=У () а и Р(1( — Р) есть система корней в У, с базисом Е. Пусть Р', С', Х' обладают аналогичными свойствами. Если существует элемент из Ю(Я), переводящий Р в Р', то в «УЯ) сушествует элемент, переводящий С в С', Х в Г и Р в Р'. 21) Пусть Р— подмножество в В. Следующие условия эквивалентны: а) существует камера С, для которой Р=В~(С); б) Р замкнуто, и «Р, — Р) есть разбиение системы Я. Камера С определена тогда однозначно. Предположим, что У наделено такой структурой упорядоченного векторного пространства, что каждый корень будет либо положительным, либо отрицательным. Пусть Я+ — множество положительных корней относительно этой структуры.

Существует однозначно определенная камера С, для которой Я+=В~(С). 22) Для того чтобы подмножество В с= Я было базисом системы В, необходимо и достаточно, чтобы элементы из В были линейно независимы и чтобы любой корень был линейной комбинацией элементов из В с коэффициентами, которые одновременно эО или (О. 23) Пусть Р— замкнутое подмножество в В, для которого Р()( — Р)=Я. Сушествует такая камера С, что Рс= с В+ (С). 24) Подмножество Р~ Я называется симметричным, если Р = — Р. Пусть Р— какое-то подмножество в Я и У, (соотв. Г) — векторное подпространство (соотв.

аддитивиая подгруппа) в У, порожденное Р. Следуюшие условия эквивалентны: а) Р замкнуто и симметрично; б) Р замкнуто н является системой корней в Уб в) Г(«Д=Р. сводка основных своиств систем котнси З27 25) Предположим, что система Я неприводима. Пусть С вЂ” камера; положим В(С)=(а,, ..., а!). В Я существует максимальный (или наибольший) элемент (относительно порядка, определенного посредством С)„т.

е. такой элемент й=п,а, + ... + л,аь что для любого корня р,а! + ... + р!а! справедливы неравенства и, ) р,, ..., и, рь При этом а ~ С и !! а !!) (~ а ), 'для любого корня а. 26) Символом (1(Я) обозначается подгруппа в т', порожденная системой Я; элементы группы Я(Р) называются радикальными весами системы Р. Группа 1!(Я) есть дискретная подгруппа в К ранга 1= б(щ 'т'. Всякий базис в Я является базисом в Я(Р). Символом Р(Я) обозначается подгруппа в к', ассоциированная с (1Яч); элементы из РЯ) называются весами системы Я. Группа РЯ) является дискретной подгруппой в (т ранга 1, содержащей Я(Р). Группы РЯ)/ГдЯ), РЯ!')/(!(Р'~) конечны и изоморфны; нх порядок / называется индекгом связности системы Я.

В обозначениях 25) порядок группы Ф'(Р) равен В п,п ... а!/. Группа А(Я) оставляет устойчивыми РЯ), (1(Р) и поэтому действует в Р(Я)/1!(Р). Группа )Р'(Я) действует тривиально в РЯ)/1„!(Р), так что А(Р)/))т(Р) действует в Р(Р)Щ(Р). 27) Пусть С вЂ” камера, В=(а„..., а,) — соответствующий базис системы Р, Базис (йп ..., й,), дуальный к (а",, ..., аД, есть базис группы Р (Р). Элементы й; называются !/!1/ндаментальными весами (относительно С нли относительно В).

Множество линейных комбинаций весов й, с коэффициентами > О (соотв. )О) совпадает с С (соотв. С). Линейные комбинации весов й, с целыми коэффициентами ) 0 называются старшими (или дол!инантными) весами. Любой элемент из Р(Р) переводится группой ))т(Я) в один, н только один, из старших весов. Старшими весами являются элементы й ~ 'к', длн 2(й ~ ь!) которых ' будет целым )0 при всех 1. (а )а!) ! 28) Пусть р = — т а.

Имеет место равенство р == 2 ан»+!с! й, + ... + й! ен С. 29) Пусть Т вЂ” группа переносов пространства К', векторьг которой принадлежат Я(Я~). Группа аффинных преобразо- зза сводкл основных своиств систем коенеп ваний пространства Г', порожденная группами Т и НтЯ), есть полупрямое произведение В'(Е) и Т. Эта группа называется аффинной группой Вейля системы )с и обозначается символом Я7,(В).

Она действует в г'* собственно разрывно. Для а ен Я и Х ~ Х пусть в, х — отображение х'- х*— — (х', а) ач + Аач; это — аффинное отражение, и множество 1., х его инвариантных точек определяется уравнением 1 (х", а) = Х; имеем 1., „=Е,+ — ьа~. Аффинными отражениями, принадлежащими йт„Я) и порождающими группу йг,(й), будут как раз з„м 30) Пусть Š— объединение гинерплоскостей 1., „для ась Я н Х еч Х. Связные компоненты множества )'* — Е называются альковами системы Я.

В случае неприводимой системы )т каждый альков является открытым симплексом; в общем случае альков является произведением открытых симплексов. Группа )Р',(В) действует просто транзитивным образом на множестве альковов. Если С вЂ” альков, то С будет фундаментальной областью для Чу,Я). Пусть оо и,, ..., и,— отражения группы йт,()т), соответствующие стенкам алькова С; пусть рм — порядок произведения ангр Тогда В',(Е) определяется образующими о; и соотношениями (о;о!) н= !. 3!) Если р~ Р(Яч), то существует такой альков С, что р будет экстремальной точкой замыкания С.

Для каждого алькова С' существует, и притом только один, радикальный вес, являющийся экстремальной точкой его замыкания С'. Пусть х*~н 'г'; следующие условия эквивалентны: а) х*е:- РЯЧ); б) при любом ае=)т гиперплоскостью, параллельной 1. и проходящей через х, является 1., м Пусть С' — камера в Р~. Существует, и только один, альков С, содержащийся в С' и такой, что ОенС. Пусть система р неприводима, и пусть )) — ее максимальный корень (относительно С'); тогда С совпадает с множеством тех х*~ С', для которых (х*, р) ( !.

32) Пусть 5 — симметрическая алгебра пространства )', Бм — ее подалгебра, состоящая из инвариантных относительно Чг = В' Я) элементов, й — порядок группы )г", 1=й(гп)т. Существуют однородные алгебраически независимые элементы 1„1„..., 1,ен5в, которые порождают 5"'; 5~-модуль Я допускает базис, состоящий из д однородных элементов. Пусть а — идеа.ч в 5, порожденнь.й однородными элсментамн подалгебры 5я' степени > 0; представление сводка основных свопств систем коеиеи з:и группы )й' в 51а, получающееся при факторизации представления М7 в 5, изоморфно РегуляРному представлению группы Ю' (над К).

33) Пусть 1о 1, ..., 1~ — элементы подалгебры 5и, однородные, алгебраически независимые и порождающие 5м. Р)х степени й„й,, ..., й~ определяются единственным обр'зом (с точностью до порядка) системой Е. При этом д = г,не... /ге Число корней равно 2 ~~'„(Ф; — 1). 1=! 34) Элемент А алгебры 5 называется ангиинвариангным относительно Ят, если щ(А) = де1(гс) . А при всех щ ~ Ж. Пусть И=И,()( — Я,) — разбиение Я.

Положим и= Ц а; «~а, элемент и ~ 5 аитиинвариартен; антиинвариантными элементами алгебры 5 будут элементы вида и1, где 1 ен 5в. 35) Пусть Š— (групповая) алгебра Х[Р) группы весов Р системы И. При р ен Р символом ее обозначается соответствующий элемент из Е. По определению е«е'=е'ем н е~ образук~т базис алгебры Е.