Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 66

(и'П) Сумма положительных корней: 2р 2(ба, + За,). (УП1) Р(а = Е (й). Индекс связности: 1. (1Х) Показатели: 1, 5. (Х) (г (к): диздральная группа порядка 12. (ХИ и (ХП) А Я) =Ф' Я). мю ° — 1. (ХП1) Матрица Картана: ТАБЛИИА Х Непрниоднмые системы ранга 2 вс йе На первых трех рисунках представлены системы корней и' типа Аг, Вз и Сз.

Заштрихованная область изображает камеру С, соответствующую базисУ (а„ аг). ШтРнховаи лнниЯ вЂ” зто пРЯмаЯ (х(Р) = 1, где й — максимальный корень дуальной системы к~1 дважды заштрихованная область нзоб ажает альков системы й'г с вершиной О, содержащийся в С. а последнем рисунке представлена единственная неприводимая си. стена корней ранга 2, не яеляюи(аясл приведенной, СВОДКА ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ СИСТЕМ КОРНЕЙ (В этой сводке мы ограничимся случаем поля веществениьх чисел и приведенными системами корней.) !) Пусть У вЂ” вещественное векторное пространство. Привеоеннои системой корней (или корневой системой) в У называется подмножество тс с: У, которое обладает следующими свойствами: (!) )г конечно и порождает У; (Н) для любого а еи тг существует вектор ач ~ У', такой, что (а, ач) =2 и эндоморфизм 5,„: х х — (х, ач)а пространства У переводит тг в тг; (Гй) ач (Р) с:.

2 при всех а ен )г; ((ч) если а ен )г, то 2аФ )г. С учетом (1) элемент а'т, существование которого утверждается свойством (Н), единствен; это придает смысл свойству (((!). Отображение з„является отражением, оставляющим неподвижными точки гиперплоскости Е, = Кег(ат) и переводмцим а в — а. Элементы системы )с называются корнями. Размерность пространства У называется рангом системы корней. 2) Группа автоморфизмов пространства У, оставляющая устойчивой )г, обозначается символом А(тг), Отражения за (а е- :тг) порождают подгруппу Чт(Я) в А(тг), называемую группой Веиля системы тс; эта подгруппа нормальна в А(тс). Единственными отражениями, принадлежащими Я7 (тг), будут з„, ае Я.

3) Множество )г~ векторов а (для а~)г) является приведенной системой корней в У', называемой системой, дуильной (илн обратной) к тс. Отображение а . ач есть биекция тг' на тс, которую называют канонической. Поскольку ()г ) = тг, Ч канонические биекцин )г — )с~, )г'т — гг взаимно обратны. Отображение и — 'и ' определяет изоморфизм !)т (тг) на Ф'(тг ), при помощи которого эти группы отождествляются. !! зэк.

м. и. Бурбаин З22 СВОЛКА ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ СИСТЕМ КОРНЕП Справедливы соотношения п(а, а) =2, з (а) =а — п(а, 6)й, п(а, 3) = (Р 1 Р) С точностью до перемены местами а и р все возможности исчерпываются следуюшими: п. п(а, 6) =п(р, а)=0; (а,())= —; е,а — порядка 2; 2 а (Й)= — ",; 1 ~~=ОВ е,з — порядка 3; (Й)=7: ~~ (~=~~йВ аав — порядка 3; п(а, 6) =п(6, а) =1; п(а, Р) =п(р, а) = — 1; 4) Пусть вешественное векторное пространство г' есть прямая сумма векторных подпространств Рн ..

„)т,. Для любого 1 пусть Р, — приведенная система корней в Рн Тогда объединение Я всех й, будет системой корней в )т, называемой прямой симлой' систем Иь Группа Ф'()х) отождествляется с произведением групп Ят(Р,). Система )с называется неприводимой, если Р М Я и если А' не разложима в прямую сумму двух непустых систем корней. Это эквивалентно тому, что Ят Я) является неприводимой группой. Всякая приведенная система корней )с разлагается в прямую сумму приведенных неприводимых систем корней, определенных однозначно с точностью до перестановки и называемых не- приводимыми компонентами системы Я.

5) Пусть )с — приведенная система корней в )т. В )т сушествуют скалярные произведения, инварнаптные относительно Ф'(Р). Всюду в дальнейшем символом (х~р) обозначается какое-нибудь одно такое фиксированное скалярное произведение. Если отождествить Р* с )' при помаши (х~р), 2а то ач = . Отражение з есть ортогональное отражение, (а(а) ' а которое переводит а в — а. Группа Вейля транзитиана на множестве корней одной и той же длины. Если система )с иеприводима, то с точностью до умножения на константу скалярное произведение (х(у) определено однозначно.

6) Пусть А' — приведенная система корней. Для а, 6ев Я вводится обозначение (а, Рч) = и (а, р) ен е . СВОДКА ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ СНСТГМ КОРНЕВ 323 п(а, 8)=1, пф, с)=2; (а, Й) = 4 '* !1 Р 1~ = $( 2 3 а В з,з — порядка 4; (с, р) = —; !! 3 1~ = 1( 2,'1 а з; з,зз — порядка 4; (а, 3) —.; !1 3 11 = $ (3 1~ 1~; з,зз — порядка 6; (((,3) —.; ~1р(1=$~3 1(аз; з,з — порядка 6; пф„а) = — 2; п',а, 3)= — 1, и (а, 8) = 1, пф, а) = 3; п(а, 3)= — 1, пф, а)= — 3; з п(а, р) =пф, а) =2; .=а: п(а, (5) =п ф, а) = — 2; а= — р.

7) Пусть а, Р (г. При (аф) > 0 разность а — 3 будет корнем, за исключением случая а=3. Если (аф) <О, то а+ р будет корнем, за исключением случая а = — р. 8) Пусть а, р — два непропорциональных корня. Множе- ство Т тех /~У, для которых р+1аен(г, есть интервал ( — д, р) в е„содержащий О. Имеют место соотношения р-д= — пф, с), е+! Ф+а ~ 3+ а) Ф! р) Пусть 5 — множество корней р+1а с 1~1. Тогда г,(5) =Я н з,(о+ра)=р — да. Говорят, что 5 есть а-серия корней, содержащая р; 3 — ()а называется началом серии, р+ ра— ее концом, а р+д — длиной. Если Т вЂ” а-серия с началом у, то длиной Т будет — п(у, а). 9) Пусть Х вЂ” объединение гиперплоскостей Кег ач (а ~ й).

Связные компоненты множества 1( — Х называются каме- рами системы )т в )(. Онн представляют собой открытые снмплициальные конусы. Группа Вейля действует просто транзитивным образом на множестве камер. Замыкание С камеры С является фундаментальной областью для ((г Я). Имеем (х!у)>0 для х, уенС. Биекция Р" на У', соответ- ствующая (хну), определяет биекцню множества камер си- стемы (т' в (г на множество камер дуальиой системы Р" в 1('.

Символом Со обозначается образ камеры С при этой биекцни. ! 0) Пусть С вЂ” камера системы (с и Е,„Та, ..., Л( — стенки камеры С. Для любого ( существует, и притом только один, корень а(, такой, что Е(= Л, причем а, лежит по ту же и сторону от Т.(, что н С. Семейство (а„..., а,) есть базис пространства ((, а С совпадает с множеством тех хек 1(, 324 сводхл основных свонств систем когнвп для которых (а)', х)> 0 при всех 1, или, что равносильно, (а,1х) > 0 при всех й Говорят еще, что (ао ..., а,) есть базис В (С) системы Я, определенный камерой С. Имеем (а, ~а~)(~О при 1чь 1'. Группа (Р'()г) действует просто траизитивным образом на множестве базисов. Всякий корень переводится каким-нибудь элементом группы Уй'(Р) в элемент базиса В(С).

Далее, (а',", ..., ач) =В(Сч). 11) Полагая з =з,, обозначим через 5 множество всех зь а через т» порядок произведения з,з;. Пара (Уг" (й), 5) есть система Кокстера с матрицей (тм); другими словами, группа Я7(Р) определена семейством образующих (з;), и соотношениями (зр4) 0=1. Для того чтобы з, и з~ были сопряжены в %'(Я), необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность индексов (4ы сли ..., 14) с 1, = С, гч =1, а каждое из чисел т;,О, было равно 3.

12) Пусть пы — — п (ао а~). Матрица (пп)... называется матрицей Каргино системы )г. Она не зависит (с точностью до перестановки индексов 1, 2, ..., 1) от выбора С. Справедливы соотношения пи = 2, п» ец (О, — 1, — 2, — 3) для 1~1. Две системы корней с одинаковыми матрицами Картана изоморфны. 13) Пусть 6 — подгруппа в А(Р), оставляющая устойчивым В (С). Тогда А (Я) является полупрямым произведением О и (г'()1) 14) Отношением порядки, определенным камерой С в )г (соотв.

в У'), называется согласованное со структурой векторного пространства на Р (соотв. $") отношение порядка, прн котором элементами )О будут линейные комбинации корней а,.(соотв. а,") с коэффициентами )О. Эти элементы называются положительными относительно С или относительно В(С). Указанные отношения порядка определяются также дуальной камерой Си.

Элемент из У будет «О тогда н только тогда, когда его значения на Си будут )О. Множество элементов ) 0 относительно С содержит С, но, вообще говоря, отлично от С, Пусть хецР. Для того чтобы хенС, необходимо и достаточно, чтобы было х)ш(х) при всех 4в ~ (Р'(11). Для того чтобы х ен С, необходимо и достаточно, чтобы было х> 4е(х) при всех ге ец уй'Я), отличных от 1.