Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 64

5 смежные камеры 1Н, 1, упр. 15 соединенные (о вершинах графа) !Н, Доп., 1 сопряженные элементы группы 1Ъ', 1,3 специальная точка Н, 3, 10 стабилизатор Н, 3, 3 старший вес Ч1, 1, 10 стенка !Н, 1, упр. 15: Ч, 1, 4 строго ортогональные корни Ч!, 1, 3 структурный ансамбль 1Н, 1, упр.24 существенная группа.

порожденная отражениями Ч, 3, 7 теорема Бернсайда Н1, 4. упр. 16 — Машке Ч, Доп, — Титов Ч, 4, 4 — простоты !Ч, 2, 7 тип галерея !Ч, 2, упр. 1 — ячейки!Ъ', 1, упр. 20 Титса подгруппа 1Ч, 2, упр. 3 — система !Н, 2, 1 — теорема Н, 4, 4 точка ветвления графа 1Н, Доп., 1 угол между двумя корнями Н1, 1, 2 упорядоченная камера Н, 6, 1 условие замены !Ч, 1, 5 флаг 1Н. 2, упр. 18 форма, ассоциированная с матрицей Кокстера Ч, 4, 1 фундаментальная область группы Ч, З,З фундаментальный вес Ч!, 1, 1О характеристические степени Н, 5, 1 целый яодграф 1Ч, Доп., 1 цепь ! Ч, Доп., 3 1Н, Доп., 3 численный инвариант алгебры 1Ч, 2, упр.

25 число Кокстера Ч, 6, 1: Н1, 1, 11 ячейка !Ч, 1, упр. 15; Н, 1, 2 — противопаложнан 1Ч, 1, упр. 22 ТАБЛИПА ! Системы типа А«(1 ~1) (1) Ч вЂ” гиперплоскость пространства Е (« ~', состоящая из точек, сумма координат которых равна нулю. Корни: е„— е (« ~1, 1~(1~1+ 1, 1 ( ! (1+ !). Число корней и=1(1+ 1). (11) Базис: а =е — е, а =е — е, ..., а =е« вЂ” е! г г г з"* 1 +г Положительные коРни: е« вЂ” е! — — ~ аа (1 ~!<1~1+ 1). «~е(! (РД) Число Кокстера: 6=!+ 1.

(!Ч) Максимальный корень:а=е, — е,=а, +а + ... +а! — — й«+йг. Пополненный граф Дынкина (1 )~ 2); ~1 с«2 с"1-1 а! При 1= 1 графом Кокстера аффннной группы Бейля будет ез Π— -чг (Ч) йЧ Ф (х у)- . у(К)-(1+1)'. 2(1+1) ' (Ч1) Фундаментальные веса: 1+! ф! — — (е+ .. +е) — — т е = ! 1+ 1 .Уй ! ! + ((1 — 1+ 1) а! + 2(1 — ! + 1) а + ...(1 — 1) (1 — 1+ 1) а, + 1 + 1(1 — «'+ 1) а + 1(1 — 1) а,+, + ...

+1а!1. (ЧП) Сумма положительных корней: 2р=!е + (1 — 2) е +(1 — 4) е + ... — (! — 2) ег — !е«+! =!а +2(1 — 1)а + ... +1(1 — 1+1)а«+ ... +1аг (ЧП1) Я(к)«множество векторов с нулевой суммой целочисленных координат. Р (!1): порождена группой Ц (!!) и вектором е, — (1 + 1) ' !С Х(е!+ е + ... + в+,). Р Я)Я (А«) нзоморфна группе Х!(1+ 1) Х. Индекс связности; 1+ 1.

(1Х) Показатели: 1, 2, ..., 1. ТАБЛИЦА !". СИСТЕМЫ ТИПА Аг !1~1! (Х! йг (/с) в!+о отождествляется с группой перестановок векторов е. Порядок группы ОГ Я)г (1+ !)!. (Х!) 1 ): А()2)=йг(Ю; ме 1 вй А(/г)=й(2))ч(), — !) и мо переводит а в -'ц (ХП) Группа Р(/г~)/!г(/т~) есть циклическая группа порядка 1-)- 1; на пополненном графе Дыякина она действует цнклическимя перестановками.

При 1 ~)2 единственный неединичный элемент группы А(/!)/Ф'(Я) действует на РЯ)/!1(/Г) как автоморфизм хь-~ — х. (ХП!) Матрица Картава (1 Х1): 2 — ! О О... О О) — ! 2 — ! О ... ΠΠΠ— ! 2 — ! ... ΠΠΠΠ— ! 2 ... О О О О О О...— ! 2 ТАБЛИПА П Системы типа В, (1) 2) у=Е=((1 КОРНИ; Ф Е1 (1 <<1<~1), + Е1 и: Е1 (! <~1<1<1). Число корней: п = 2Р. Базис: (П) ез аз=ел (! <1<1), ю<ь<з е, — Е, = ~ИР„аа (! <1</<1), !<ь<1 е+е = ~иР~ а+2 ~и", а с<а<1 1<а<1 (! '~<1<! <1).

Положительные корни: (111) Число Кокстера: Ь =21. (1У) Максимальный корень: а = е ! + зз —— а! + 2а + 2аз + ... + 2а1. а=2м, при 1=2, а м, при!)3. Пополненный граф Дынкина: при 1=2 ~2 ~1 ты при 1) 3 ° «СП.,"2::::О Сев Сьл (у) Лн — множество векторов: ~ 2е (! <1<1), е е (1<1<1<1). Фл (х, у) 41 — ' Т Я) = (1 + 1) (41 — 2). (х(у) (У1) Фундаментальные веса: Й = е, + е + ... + е (! (1<1) = =а+2а+ ... +(! — !)и,+1(а+а + ... -)-а), тлнлицл О. систпмы типл вгижт! 305 2 — 1 О 0 ... — 1 2 — ! 0 ...

0 — 1 2 — 1 ... 0 О -1 2... О 0 О О 0 0 О 0 0 О 0 О ... 2 — 2 0 0 0 О...— ! 2 ! ы! — (и! + ез + ° ° ° + е!) = = — (а, + 2а,+ ... + !а). ! (ЧП) Сумма положительных корней: 2р = (2! — !) е! + (2! — 3) з„+ ... + Зе + е =(2! 1) а!+ 2(2! — 2) а, + .. ° +1(2! — 1) а + ... -1- !га, ! пиз Я(Я)=Дено..(е щ г,.:., ' 2',.1. ! ! ( 2 Р ()!)Я (к) изоморфна группе ь/2ь н порождена образом веса й . Индекс связности: 2. (1Х) Показатели: 1, 3, 5, ..., 2! — !. (Х) В'()!) есть полупрямое произведение группы Жг, действуиппей перестановками на корнях з, н группы (2/22)! отображений е г-э (ь!) е . Ее порядок равен 2'-!!. (Х1) А (Р) йг Я), гез — 1.

(ХП) Единственный неединнчный элемент группы Р (Я!г)/Я (Ям) определяет единственный нетривиальный автоморф: зы пополненного графа Дынкина. (Х1П) Матрица Картава (1Х!): ТАБЛИЦА 1П Системы типа С! (! ~ ~2) П) 1-Я=К!. Корне: ~2е (1<!<!), же! же (1~(!<1~!). Число корней: а 2Р. (П) Балис: а е — е, ..., а,=е,-е, а 2е. а =е,— е ! е! е! ~'~ аь (1 ~!<)~~И »<е<! е!+ е ~ч»', а +2 ~~~~ ~а, -1-а !<е<! !<е<! (1 ~!<)~(!). 2е! 2 ~~", а +а (1~1~!).

!<в<! Положительные корни,' (1П) Число Кокстерж й 2!. (1У) Максимальный корень: а» 2е, =2а, + 2а + ... +2а, +а. Пополненный граф Дынкнне: с'1 с»Е а1-З о 1-1 а! (У) )с~ есть множество векторов а е, же ж е. Ф (х, р), у()т) (!+ П(4! — 2). (л) р) л ' 4(!+1) ' (У() Фундаментальные веса: ы, е, +е + ... +е (1(!»,!) а»+2ат+ ...

+(! — 1) а! »+! (а!+а +, +... +а, -(- — а ) ! (УН) Сумме положительных корней: 2р= 2!е, +(21 — 2) е + ... +4е, + йе 21а1+ 2(2! — 1) а + . + 1(2! — !+ 1) а -1- ... ° ° ° + (! — 1) (! + 2) а!, + — ! (! + 1) а . 1 (УП1) Я Я)! множество точек с четной суено,! ислочпслсннык коордн нет. ТАВЛИПА ПГ. СИСГНМА ТИПА С! !1~2! 307 2 -1 О О" — 1 2 — 1 О,. Π— 1 2 — 1 ΠΠ— 1 2 .. О О О О О О О О О О О О ... 2 — ! О О О О...— 2 2 Р (/1) ()) Хе! ! 1 Р(/1)/Я (/7) изоморфна группе 2/22 и порождена образом веса йо Индекс связности: 2. (!Х) Показатели: 1, 3, 5, ..., 21 — 1. (Х) йг Я) есть полупрямое произведение группы Яг, действующей перестановками на векторах ег, н группы (2/22)! отображений е,. г-о (~1) е.

Ее порядок равен 2г. И. (Х1) А(/1)=1ГЯ)! ыз= — 1 (ХН) Единственнмй нееднннчнмй элемент группы Р(/г~)I1;! (/гт) определяет единственный нетривиальный автоморфизм пополненного графа Дынкина. (ХН!) Матрица Картана (! Х!): ТАБЛИЦА !Ч Системы типа з«с (1) 3) (/ Е= йс. Корни: а: е + е (! <! <!<1: (е,.) — канонический базис в (!с). Число корней; п = 2! (! — ! ). Базис: а =е — е, а е — е,...,а =е — е, а=с +е. 1 ! 3' 3 2 3' ''" с-с 1-1 с' с с-! с (П) ес — е! — — ~ч'~~ а (! ~(! < !'<!), с<«<! ес+е! — — ( ~ч'~ а«)+а (!<с <!), !с<«<с-2 с + ! к~~ «+ ~~.с "«+ас-с+аз с<«<! !<«<с-с (!<с<!<!).

Положительные корни: а, ас з аз аз ас з «с-г Ф (х,у)= (л!и) и ' 4(! — !)' у (и) = 4 (! — 1) . (Ч1) Фундаментальные веса: Ф =е,+е + ... +е = (! ~ (с ~(1 — 2) =а, +2а + ... +(с — !) ас, + 1 + с (ас + ас „, + ... + а! в) + 2 с (ас с + ас), ! "с-с= 2 ('с+'з+ " +'с-з+'с-с 'с) ! / 1 ! = — '(а +2а +...+(! — 2)ас з+ ! с !+2(! — 2)ас) ° 1 "с= 2 ('!+ее+ " +ес-з+'с-с+'с)= ! / 1 1 — ! ас + 2аз + ...

+ (! — 2) аС з + — (1 — 2) а!, + — !аС) . (1П) Число Кокстера: Ь = 2! — 2. (1Ч) Максимальный корень: а=е,+е = а +2а + ... +2а +а,,+а. а=а,+е, при !=3 и а=ее при !Ъ4. Пополненный граФ Дыикина (! г 4): ТАБЛИЦА ИД СИСТЕМЫ ТИПА О! !1~3! (Ч1!) Сумма положительных корней: 2р 2 (! — !) а + 2 (! — 2) е + ... + 2е = 2 (! — 1) а, + 2 (2! — 3) аз + ... +2(!! — ) аг+ ° -- + (аг, +а). !(!+ !)! !(! — !) (Ч1Н) С! (/1): множество точек с четной суммой целочисленных координат ! /! Р(/() = Я Ее +Š— Д е ~ 2.( г=! 2 — ! ... ΠΠΠΠ— ! 2 ... О О О О О ...

2 — ! О О О...— ! 2 — 1 — ! О ° " Π— 1 2 О О. ° ° Π— 1 О 2 О О О О ! нечетно: Р (/1)/!2 (/1) изоморфна группе Е/4Е и порождена образом веса й; при этом й, = — 2й и й, = Зй щоб () (/1). ! четно: Р (/1)/() (й) изоморфиа группе (Е/2Е) Х (Е/2Е): три влемента порядка 2 являются образами весов й, й и й. Индекс связности: 4. (1Х) Показателя: 1, 3, б, ... 21 — 5, 21 — 3, 1 — ! (последний показатель появляется дважды при четном ! и один раз при нечетном 1). (Х) йг(/!) есть полупрямое произведение группы й~, действующей перестановками на векторах е, и группы (Е/2Е)! ! отображений е,.~-з.(~!)!е! с П(ш!]! — — !.

Ее порядок равен 2! ' ° !!. (Х1) 1Ф 4: А(Р)/йг(к) на Е/2Е, действует на графе дынкина транспозицией вершин а1, и а . 1=4: А(й)/йг (/1) ы ез, действует на графе Дынкина перестановками вершин аь аз и а,. ю, = — 1, если 1 четво; юз = — е, если ! нечетио; здесь е — автоморфизм, который переставляет а , и а, оставляя неподвижными все другие а!.

(ХД) Действие Р (/1~)/() (/1~) = Р (/1)Я (/1) на пополненный граф Дынкина: нечетно: а переводит а в а1, а в ап а, в а , и а, в а„; при 2 ( ! ~ 1 — 2 он переставляет местами а! и а ! четно: а (соотв. ю! ,) переставляет ае и а! (соотв. ас н а ,), а, и а (соотв. а! и а!), а при 2 (/~! — 2 переставляет о! на (ХД1) Матрица Картава (! Х 1). ТАБЛИПА Ч Система типа Н (1) г' — подпространство в Е=((з, состоящее из точек, координаты Я() которых таковы, что йв = йз Корни: же щ е( (1 < в' < 1 < 5), 5 3 — е,— ет — ев+зт (-1) е ~ с четной суммой ~) ч(1). 1)' ЪЧ ч(0 2 ~т в 1 ! ! Число корней: а=72.