Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 65

(1!) Базис: 1 ! а, = — (е, + ев) — — (ев+ ез+ е, + ев+ ев+ ез), ав — — ев+ е„ 2 2 а, = ез — еп ав = ез — ев, аз — — ев — ез, ав ев — ев. Положнтельиые корин! щ е + е (1 в~ ( < 1( 5), —,'"-"-'~-» ",1 -- ---х 1(7 ч(0 (-( ( ( Положительные корни, обладаззщие хотя бы одним коэффициентом -. 2 ') (символом асвве(" обозначается корень аа, + Ьа, + саз+ Ь + "ав + 'ав + )аз) О!210 1!210 012!! 12210 112!1 01221 12211, 1 1 ! 1 ! 1 2 1!221 12221 !2321 12321.

1 ! 1 2 (РД) Число Кокстсра: Л !2. (117) Максимальный корень: ! а = —, (е, + сз -1- е, + е, + е, — ев — е, + ез) а, + 2аз + 2ав + За, + 2аз+ ав = озз. Пополненный граф Дынквна: ') Остальные положительные корни получатся, если применить след- ствие 3 предложения 19 гл. !71. з 1, и'б. тлвлиил ч. систвмы типа н. (н) Ф (к, у) = —, у(/г) = 144. (к)у) 24 ()/1) Фундаментальные веса: 2 йг = (вз ез — ез) 3 1 3 (4а, +За, +5аз+ба„+ 4а, +2а,), ! ыг —, (е, + е, + аз + е, + ез — е, — е, + в,) 2 аз + 2а, + 2аз + За, + 2а, + а„ 5 1 ыз= — (ез — е,— ез)+ — ( — вг+е,+е,+е, +в,)= б В 2 — (5а, + ба, + !ба,.(-12а, +8а, + 4аз), ! 3 ыз зз+з4+аз еВ з7+аВ = 2а, + Заз + 4а, + ба, + 4а, + 2аз, 2 ыз 3 (в — е7 — еВ)+ з4+ гзз 1 — (4аг+баз+8аз+ 12а, +1Оа, + 5аз), 1 йз = — (ез — е, — в,) + е, 3 1 3 (2аг + Заз + 4а* + ба, + 5аз + 4аз).

О О 2 Π— 1 О О 2 Π— ! -1 О 2 — 1 Π— 1 — 1 2 ΠΠΠ— ! ΠΠΠΠΠΠΠΠ— 1 О 2 — 1 — 1 2 (з/11) Сумма положительных корней: 2р = 2 (в, + 2ез + Зе, + 4в, + 4 (ез — в, — ез)) = = 2(8а, + 11аз+ 15а, + 21а4+ 15аз -1-8аз), (И11) Р (/4)/12 (г(4) изоморфна группе 2/ЗХ. Индекс связности: 3, (1Х) Показатели: 1, 4, 5, У, 8, 11. (Х) Порядок группы ИГ(/1)г 2' ° 34 ° 5, (Х1) А(/1)=йг(/г)Х(! — !)! ыз переводит аь аз, а„а„а,, а, соответствеяно в — аз — аз, — аз — а„— аз — ао (ХП) Неединичный элемент группы А(11)/йг (Л) определяет автоморфизм кг--'.э — к группы Р(Ю/Я(Л). ГРУппа автомоРфизмов пополненного гРафа Дыикииа изомоРфиа Язэ ее элементы порядка 3 индуцируготся двумя неедииичиымн элементами группы Р ()1!7)IЯ (!2~).

(ХШ) Матрица Картаиа: ТАБЛИ!1А Ч1 Система типа Ет пространства Е= !(в, ортогональная к ег + ев. ! ( (! <в<!<6), щ(е,— ев). ж — е,— е,+ 2 ! в нечетной суммой ~ т(в). Ч вЂ” гипсрплоскость Корни: же,жв 6 + ~ч', (-!)вч !е с !=! Число корней: и = 126. Базис: 1 ! а,= — (е, +аз) — — (ее+ ее+а, + ее+в,+е,), аз — — ев+ев, ав=-е,— еп а,=ев — е„ав=ев — ев аз=ее — е„ат — — ев — ез.

Положительные корни: ж е + е! (1 ~1<) <6), ез еп l е — е,— е,+ . ( — 1) ! !е ~ с нечетной суммой тч т(в). в 4 1 Положительные коРни, содеРжащие ав и обладающие хоза бы оДним коэффициентом з 2') (символом асвГе)д обозначается корень оа,+ Ь + Ьаг + сав + в!а, + еа, + )аз+ йагУ 012!!! !12!!1 0122!1 122111 1!2211 012221 1 1 1 1 1 1 122211 112221 !22221 123211 123221 1232!1 1 1 ! ! ! 2 123321 123221 123321 124321 13432! 234321 1 2 2 2 2 2 (П1) Число Кокстсра: Ь !3. (1Ч) Максимальный корень: а = Ев — е, = 2а, + 2а, + За, + 4ав+ Зов+ 2ав+ аг = фв. Пополненный граф Динкина: ') Положительные корин, нс содержащие ао принадлежат Ев.

!Толп жительные корни, все коэффициенты которых <1, получатся, если применить следствие 3 прсдложсиия 19 гл. Ч1, э 1, п' 6. ТАБЛИЦА Чв. СИСТЕМА ТИПА Е, Ф,. (х, у) = —, у (/г) = 324. (х)у) (Ч!) Фундаментальные веса: й,=ев ез = 2аз + 2а, + За, + 4а, + Зов + 2а, + а„ 1 йз = — (е, + е, + е, + е, + ее+ ее+ 2 (ев — е,)) 2 — (4аз+7аз+ба,+12а, +9а,+ба +За ), 1 4 1 е = — ( — е, + ее+ е, +ев+ ее+ ее+3(е, — ез)) з — 2 За, + 4аз+ баз+ 8а, + без+ 4а, + 2а„ йв ез+ ив+ ее+ ее+ 2 (ев ез) = 4аз + баз + ба, + 12а, + 9аз + бав + За,, 1 йв — —.

— (2е, + 2ев + 2ев+ 3 (ев — е )) = '2 — (ба, + 9аз+ 12аз + 18а, + 1баз + 10ав+ 5а,), 1 2 йв = ев + ев — е, + е, = = 2а, + Заз+ 4аз+ ба, + 5аз + 4ав + 2аз! 1 й, = е, + — (е, — е,) = 2 1 — (2а, + Заз + 4аз + ба„+ ба, + 4ав + За,). 2 Π— 1 О 2 Π— 1 О 2 Π— 1 — 1 ΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠ— 1 Π— 1 О 2 -1 — 1 2 Π— 1 ΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠ— 1 О 2 — 1 — 1 2 (У!1) Сумме положительных корней; 2р 2ез + 4е, + бе, + 8ев + !бе, — 17е, + 17е, = 34а, + 49а, + ббаз + 96а, + 75аз + 52ав + 27аз.

(Ч111) Р(/г)/(е (Р) изоморфна группе 2/22. Индекс связности: 2. 11Х) Показзтели: 1, 5, 7 9, 11, 13, 17. (Х) Порядок группы 97(/7): 2'о. 3'. 5.7, (Х1) А (Й) = бг (/1), но =' — !. (хп) Р(/1~)/!4()в~) обладает одним неединнчным злементом; ои определяет единственный нетривиальный автоморфвзм пополненного графа Дынкина. (ХП1) Матрице Картава: ТАБЛИЦА ЧП Система типа Ва Р 5 йз Корни: ж е же (!<)), — зт ( — !) ! ! е! с четной суммой з=! (и ~и~~~ т(з). Число корней: а= 240. Базис: 1 1 а, = — (е, + е,) — —, (е, + е, + е, + е, + е,+е,), а,=е,+ез, 2 2 аз е, — ез, а, ез — ез, аз ез — ез аз ез — е„аз ез — ез, аз = е, — ез Положительные корни: ж е,. + е (1 </), 7 — е + зу ( — 1) ! е ) с четной суммой )~з~ т (!).

21 з з=! Положительные корни, содержащие а, н обладакзшие хотя бы одним коэффициентом ) 2 ') (символом ас!зе(йй Ь обозначается корень оа, + Ьа, + сиз+ з(а, + еаз+ !а, + +йаз+Ьаз): 012111! 01221!1 1121111 01222!1 122!!!1 !122111 1 1 1 1 1 ! !222111 11222!1 0122221 1232!!1 1222211 1122221 1 1 1 ! 1 1 123211! 12322!1 !222221 1232211 123321! 1232221 2 ! 1 2 1 ! 123321! !232221 !233221 124321! 1233221 123332! 2 2 1 2 2 ! 1343211 1243221 1233321 23432!1 1343221 124332! 2 2 2 2 2 2 2343221 1343321 !244321 2343321 1344321 !354321 2 2 2 2 2 2 2344321 1354321 2354321 235432! 2454321 2454321 2 3 2 3 2 3 2464321 2465321 2465421 2465431 2465432 3 3 3 3 3 ') Положительные корни, не содержащие а„прняадлежат Ез.

Положительные корин, все коэффициенты которых ~1, получатся, есла применить следствие 3 предложения 19 гл. У1, $1, и'6. ТАБЛИПА ОП. СИСТЕМА ТИПА Е Число Кокстера: й ЗО Максимальный корень: а = е, + ез = 2а г + Заз + 4аз + баг + 5аз + 4ав + + Заг + 2ав = мв. (1П) (1У) Пополненный граф Дынкина (У) Ф (к, у)= —, ТЯ)=900. (х( р) 60 (У1) Фундаментальные веса: еэг = 2ев = — 4а, + 5ав + 7аз + 1Оа, + 8аз + Оав + 4а, + 2ав. 1 Йз = — (е, + е, + ее+ е, + е, + ее + е, + оев) = 2 =5а, + 8ав+ 10а, + 15ав+ 12аз+ 9ав+ бог+ Заз. 1 Йз —— — ( — е, + е, + ез + е, + ез + ев + е, + 7ев) = 2 7а, + 10аз + 14аз + 20а, + 16ав +!2ав + За, + 4ав, Йг = ез + е, + е, + ев + е, + Зез = = 10ав + !5аз + 20а, + 30а, + 24аз + 18ав + 1йа, + бав, Й» = е, + е, + е, + е, + 4ез —— = 8а, + 12аз + 16аз + 24а< + 20аз л.

! За. 4- ! Оа, 4- Зав Йв = ев + ев + е, + Зе, = = ба, + Оаз+ 12а, + 1За, + 15а, + 12а, + За, -1- 4аь Й, = ев + е, + 2ев =4аг + баз+ 8ав+ !2а, + !Оав + 8ав+ Оаг + Зав Йв аз+ ав = 2а! + Зав + 4аз + 6а, + Зав + 4ав + Заг + 2ав. Сумма положительных корней: 2р = 2 (ее + 2ез + Зе, + 4ев + 5ев + бе, + 23ев = 2 (46а, + 68а, + 91ав + 135а, + 11Оа, + 84а, + + 57а, + 29ав) !4 ()2)г множество точек с такими координатами $1, что 25з вв 2, $4 — 5! е Х, ~~~' $! вм 22. ! 1 Р ()7) = С? (Р). (УП) (У1П) Индекс связности: 1. Показатели: 1, 7, 11, !3. 17, 19, 23, 29.

Порядои группы 27()7)г 2", 3'. 5'. 7, А(Ю=)Р(!Т) зев — 1 Матрица Картаиа: (1Х) (х) ХП «(хп) ХРП) ТАБЛИПА Ч1Н система типа з«4 Ч= Е= )««. Корни: ~аз(1(1<4), +е -«-е. (!<«(! 4), 1 — (Ф е, й е, ь ез ~ е,). 2 Число корней: л = 48. Базис: 1 «««ез ез ««3 ез а««зз = е«, а« = (а«ез ез Е ) 2 (П) Положительные корни: е! (! »(«(4), е щ е (1(»е()<4), — (е«Ф ез+ е, + е ). ! Положительные корни, обладающ««с хотя бы одним коаффн- ниеитом ~2') (снмаолом аЬсь«обозначается корень аа, + + Ьа, + саз + !а,); О!20 1!20 О!2! !220 1121 О!22 1221 1122 !231 !222 1232 !242 1342 2342. а, аа аа ае Аз«' есть множество векторов д2е«, ~е же, йа««-е йе ~е . 18 (Ч) (Ч1) Фундаментальные веса: й« = е«+ е, = 2а, + За, + 4а, + 2а,.

') Остальные положительные корни получатся, если применить следствие 3 предложения 19 тл. Ч1, $1, и'б. (П1) Число Кокстсра: Ь = !2. (1Ч) Максимальный корень: а = е, + е«=2а«+Заз+4аз+2а«=п««. Пополненный граф Дынкина: 318 ТАБЛИЦА ЧИ1. СИСТЕМА ТИПА Р~ й, = 2е, + е, + е, = За1+ ба, + За, + 4а„ 1 йз= — (Зе, + е, + ее+ зч) =2а, +4аз+ баз+ За„ 2 йз = е, = а, + 2а, + Заз + 2а,. Сумма положительных корней: 2р = 1!е, + бе, + Зе, + е, = !ба, + 30а, + 42а, + 22а,. ()Р11) ! () ()г) = ((т Ез + 2 ~ —,тч е 1 1 1 (И!1) (! Х) (Х) (Х1) и (ХП) (ХИ1) 2 — ! О 01 — 1 2 — 2 0 0 — 1 2 — 1 0 0 -1 2 Р Я) = () ()(). Индекс связности: 1. Показатели: 1, б, 7, 11.

В'()г) есть полупрямое произведение Жз на группу, которая в свою очередь является полупрямым произведением Ж, ка (л/22)з. Порялок группы Я7(Я): 21. Зз. л Я) бг ()г) гзз = — 1. Матрица Картава: тйБЛИДй 1Х Система типа 0г У вЂ” гнперплоскость пространства Е й', определенная уравнением $~+йт+йз=О. Корни: ж(е, — е,), ж (е, — е,), *(е,— ез), ~ (2е, — е, — е,), ж (2е, — е, — ез), ж (2е, — е, — ез). Число корней; 12.

Базис а, =е, — ем ат — 2е, + е,+е,, Положительные корин: а„ав а, + а„2а, + а„За, -1- а, За~ + 2аз. Число Кокстера: а=6. Максимальный коРень; а — е, — е, + 2ез За, -1- 2а, Фм Пополненный граф Дынкнна: (П1) (1Ч) сннн(нез о "1 "г (Ч) ~ — 3 2)' Р~ есть множество вектоРов ж а,. ж (а, + а ), ж (2п, -(- аз), 1 1 1 — аь ж — (За, + аз), ж — (За, -1- 2п,). 3 ' 3 ' ' 3 Фп (х, у) 4, уЯ) = 48. (г( у) Фундаментальные веса: е! 2а! + аз, Фз —— За1+ 2нз.