Фролов К.В. и др. - Теория механизмов и машин, страница 7

Если избыточные связи есть (ц ) О), то сборка механизма и движение его звеньев становятся возможными только при деформировании последних. Для плоских механизмов без избыточных связей структурная формула носит имя П. Л, Ч е бы шева, впервые предложившего ее в 1869 году для рычажных механизмов с вращательными парами и одной степенью свободы. В настоящее время формула Чебышева распространяется на любые плоские механизмы и выводится с учетом избыточных связей следующим образом Пусть в плоском механизме, имеющем гл звеньев (включая стойку), п = гп — 1 — число подвижных звеньев, р„— число низших пар и р. — число высших пар.

Если бы все подвижные звенья были свободными телами, совершающими плоское движение, обп1ее число степеней свободы было бы равно Зп. Однако каждая низшая пара накладывает на относительное движение звеньев, образующих пару, две связи, оставляя одну степень свободы, а каждая высшая пара накладывает одну связь, оставляя 2 степени свободы. В число наложенных связей может войти некоторое число ц„ избыточных (повторных) связей, устранение которых не увеличивает подвижности механизма.

Следовательно, число степеней свободы плоского механизма, т. е. число степеней свободы его подвижной кинематической цепи относительно стойки, определяется по следующей формуле Чебышева: )«'. = — Зп — (2р„+р„— ц„) . (2.3) Если )Р„известно, отсюда можно найти число избыточных связей (2.4) ц„= («'„— Зп+ 2р„+ р.. Индекс «и» напоминает о том, что речь идет об идеально плоском механизме, или точнее о его плоской схеме, поскольку за счет 33 2 — 1214 неточностей изготовления плоский механизм в какой-то мере является пространственным.

По формулам (2.1) — (2.4) проводят структурный анализ имею- Шихся механизмов и синтез структурных схем новых механизмов. Структурный анализ и синтез механизмов. Влияние избыточных связей на работоспособность и надежность машин Как было сказано выше, при произвольных (в некоторых пределах) размерах звеньев механизм с избыточными связями (4 О) нельзя собрать без деформирования звеньев.

Поэтому такие механизмы требуют повышенной точности изготовления, в противном случае в процессе сборки звенья механизма деформируются, что вызывает нагружение кинематических пар и звеньев значительными дополнительными силами (сверх тех основных внешних сил, для передачи которых механизм предназначен). При недостаточной точности изготовления механизма с избыточными связями трение в кинематическнх парах может сильно увеличиться и привести к заклиниванию звеньев, поэтому с этой точки зрения избыточные связи в механизмах нежелательны. Однако в целом ряде случаев приходится сознательно проектировать и изготавливать статически неопределимые механизмы с избыточными связями для обеспечения нужной прочности и жесткости системы, особенно при передаче больших сил.

Следует различать избыточные, или добавочные, связи в кинематических парах и в кинематических цепях механизма. Так, например, (рис. 2.!3) коленчатый вал четырехцилиндрового двигателя образует с подшипником А одноподвнжную вращательную пару, что вполне достаточно с точки зрения кинематики данного механизма с одной степенью свободы ()г' = 1).

Однако, учитывая большую длину вала и значительные силы, нагружаюШие коленчатый вал, приходится добавлять еше два подшипника А' и А", иначе система будет неработоспособной из-за недостаточной прочности и жесткости. Если эти вращательные пары двухподвижные цилиндрические, то помимо пяти основных свя- зей будет наложено 4- 2=8 добавочных (повторных) связей (4=8); при этом потребуется высокая точность изготовления для обеспечения соосности всех трех опор, иначе вал будет сильно деформироваться, н в материале вала и подшипников могут появиться недопустимо большие напряжения.

Рнс. 2.!3 Что касается избыточных связей в кинематических цепях механизма, то при конструировании машин их следует стремиться устранять или же оставлять минимальное количество, если полное их устранение оказывается невыгодным из-за усложнения конструкции или по каким-либо другим соображениям. В общем случае оптимальное решение следует искать, учитывая наличие необходимого технологического оборудования, стоимость изготовления, требуемые ресурс работы и надежность машины. Следовательно, это весьма сложная задача на оптимизацию для каждого конкретного случая.

Методику определения и устранения избыточных связей в кинематических цепях механизмов рассмотрим на примерах. Пусть плоский четырехзвенный механизм с четырьмя одноподвижными вращательными парами ()Р = 1, п = 3, р~ = 4, рис. 2.14,а) за счет неточностей изготовления (например, вследствие непараллельности осей А и О) оказался пространственным. Сборка кинематических цепей 4, 3, 2 и отдельно 4, 1 не вызывает трудностей, и точки В, В' можно расположить на оси х. Однако собрать вращательную пару В, образованную звеньями ! и 2, можно будет, лишь совместив системы координат Вхуз и В'х'д'г, для чего потребуется линейное перемещение (деформация) точки В' звена 2 вдоль оси х и угловые деформации звена 2 вокруг осей р и г (показаны стрелками). Это означает наличие в механизме трех избыточных связей, что подтверждается и по формуле (2.2): д = 1 — 6.3+5.4 = 3.

Чтобы данный пространственный механизм был статически определимый, нужна его другая структурная схема, например изображенная на рис. 2.14,б, где Ф' = 1, р~ = 2, рэ = 1, рз =. !. Сборка такого механизма произойдет без натягов, поскольку совмещение точек В и В' будет возможно за счет перемещения точки С в цилиндрической паре. Возможен вариант механизма (рис. 2.14, в) с двумя сферическими парами (р~ = 2, рэ = 2); в этом случае, помимо ос нов но й под в и ж ноет и механизма (г;,=! появляется местная и о д в и ж н о с т ь (Р. = 1 — возможность вращения шатуна 2 вокруг своей оси ВС; эта подвижность не влияет на основной 35 закон движения механизма и может быть даже полезна с точки зрения выравнивания износа шарниров: при работе механизма шатун 2 может самопроизвольно поворачиваться вокруг своей осн за счет переменных динамических нагрузок и вибраций.

Следовательно, Ф' = Ю'.+ В'. = 2 и формула Малышева подтверждает, что такой механизм будет статически определимым: д = 2 — 6.3+ +5 2+3.2 =О. Иногда приходится учитывать и так называемую г р у пи о в у ю п о д в и ж и о с т ь звеньев; например, в механизме гидро- привода (см. рис. 2.4, г) в случае, когда пары В и С сферические, звенья 2 и 3 будут иметь дополнительную общую (групповую) подвижность в виде возможного совместного вращения вокруг оси ВС. Механизмы с незамкнутой кинематической цепью собираются без натягов, поэтому они статически определимые, без избыточных связей (д =О). Для таких механизмов по формуле (2.1) легко определить число степеней свободы Ю', например, для механизма промышленного робота (см.

рис. 2.5, ж) и = — 5, р~ = 5, (г" = 6 5— — 5.5 =5; зти подвижности (независимые друг от друга движения) показаны на схеме стрелками. Избыточные связи, определяемые по плоской схеме, характеризуют статическую неопределимость плоского механизма (прн д„) О). Для иллюстрации этого рассмотрим пример пятизвенного механизма двойного параллелограмма (рис. 2.15,а). В этом случае )Р; =! (одна обобщенная координата «р), и = 4, р.

= 6, р. = О. Следовательно, по формуле Чебышева, д. = ! — 3 4+2 6 = 1, т. е. механизм статически неопределимый, с одной избыточной связью. Действительно, основной четырехзвенный механизм АВС!) может быть собран без деформаций звеньев при любых (в некоторых пределах) длинах звеньев. Однако постановка дополнительного звена 4 произвольной длины невозможна, для сборки придется выполнить условие равенства длин параллельных звеньев, что практически возможно лишь при высокой точности изготовления.

Следует отметить то обстоятельство, что при структурном анализе не учитывались зазоры в кинематических парах: благодаря им подвижность кинематической пары повышается и влияние избыточных связей несколько смягчается. Разработанная Л.

В. Ассуром структурная классификация плоских рычажных механизмов облегчает исследование имеющихся и создание новых механизмов без избыточных связей в их плоской схеме (д„= О). Основной принцип ее состоит в том, что механизм может быть получен путем присоединения к одному или нескольким начальным звеньям и стойке кннематических цепей (структурных групп) нулевой подвижности относительно тех звеньев, к которым группа присоединяется.

Таким образом, структур на я г ру пи а †. кинематическая цепь, присоединение которой к механизму не изменяет числа его степеней свободы. Для краткости в дальнейшем введем условный термин — первичный механизм (по И. И. Артоболевскому — механизм 1 класса), представляющий собой простей- ший двухзвенный механизм, состоящий из подвижного звена н стойки; число первичных механизмов равно числу степеней свободы механизма.

Для структурных групп Ассура, согласно определению и формуле Чебышева (при рвх О п=лп, н оп О), справедливо равенство: В'„„= Зп..,— 2р„,„= О, (2.5) где )Р., — число степеней свободы структурной (поводковой) группы относительно тех звеньев, к которым она присоединяется; лп., рнх — числО звеньев и низших пар сгруктурнОЙ группы Ассура. Поскольку и,., и р., могут быть только целыми числами, из равенства (2.5) получим следующие их значения: и., = 2, 4, 6, ...; р. =3,6,9,-.

Порядок структурной группы определяется числом элементов звеньев, которыми она присоединяется к имеющемуся механизму; первая группа присоединяется к первичному механизму, каждая последующая — к полученному механизму, при этом нельзя присоединять группу к одному звену. Класс структурной группы (по И. И. Артоболевскому) определяется числом кинематических пар, образующих наиболее сложный замкнутый контур группы; так, например, на рис. 2.15,в такой замкнутый контур-треугольник СЕН образован тремя вращательными парами, а на рис.

2.15,5 — частный случай замкнутого контура — отрезок прямой линии, образованный двумя парами. Самая простая структурная группа (л„,= — 2, р. = 3) состоит из двух звеньев и трех пар (двухповодковая группа или группа 1! класса 2-го порядка); возможны 5 видов (модификаций) такой группы в зависимости от сочетания вращательных и поступательных пар, две из них даны на рис.

2.15,б. Штриховой линией показаны звенья, к которым эта кинематическая цепь будет присоединена; это могут быть подвижное звено первичного механизма и стойка или же звенья других, уже присоединенных структурных групп. Следующая, более сложная структурная группа (и„„= 4, р„= 6) — группа 111 класса 3-го порядка или трехповодковая группа со звеном 4, входящим в три кинематические пары; такое звено называют базисным. Наиболее простая такая группа (с одними вращательными парами) изображена на рис. 2.!5,в. В частном случае базисное звено 4 может быть прямолинейным, а некоторые кинематические пары могут быть поступательными.

Еще более сложные группы 4-го порядка (ц„= — 6. р. = 9) применяются редко и здесь не рассматриваются. Класс механизма определяется наивысшим классом входящей в него структурной группы; при структурном анализе заданного механизма класс его зависит и от выбора первичных механизмов. В зависимости от класса механизма и вида структурных групп Ассура применяю~ различные методы кинематического и силового анализа. Структурный анализ заданного механизма следует проводить путем расчленения его на структурные группы и первичные механизмы в порядке, обратном образованию механизма.