Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление, страница 9

Яиадо11 векторов а и Ъ называется тензор, образованный суммированием базисные диод с коэффициентами а'У1 а ® Ъ = аФ е; Э ез. (1.122) Если в (1.122) подставить разложения векторов а и Ь по базису е;, то получим важное следствие о возможности вынесения коэффициентов из-под знака тензорного произведения: а'Эзе; 9е = (а'е;) 8 (уе ). (1.123) Теоремы 1.9, 1.10 и формулы (1.122), (1.123) открывают возможность выполнения операций с тензорами в форме (1.121) без использования их явного вида (1.104). При этом от формы (1.121) всегда можно вернуться к (1.104). Действительно, пусть имеется тензор Т, представленный в диадном базисе своими компонентами. Сгруппируем представление (1.121) следующим образом: (1.124) Т = е1 З аз + еэ 8 аз + ез 8 аз, Главе 1, темзе квз вагеб а где векторы а;, 1 = 1,2,3, определим как у216 + Уззй + Т226 а1 — — Т11е1 + Т12ез + Тзэез, Т21е1 + Т22ез + узэеэ.

(1.125) Сравнивая представления (1.124) и (1.104), заключаем, что индивидуальные векторы а; в (1.104) определяются формулами (1.125), а саму символическую зались (1.104) можно понимать как упорядоченную совокупность шести векторов е1, а1, ез, аз, ез, аз, связанных последовательно операциями: Э, +, Э, +, Э. Несложно проверить, что для такого представления (1.124) тензоры действительно складываются и скалярно перемножаются по правилам (1.66), (1.105) и (1.108). 2 1.4.

Алгебра тензорных полей 1.4.1. Поле тензора второго ранга Пусть теперь в каждой точке х пространства имеется тензор второго ранга Т, меняющийся, вообще говоря, при переходе от одной точки к другой. В этом случае говорят, что определено тензорное поле Т(х). Из определения 1.18 следует, что в каждой точке х тензор Т(х)1 ° является инвариантным, т.е. не изменяется относительно любых преобразований координат, порождаемых уравнениями (1.4), ° имеет в любом диадном базисе двухиндексные компоненты, например, в декартовом диадном базисе йку (см. (1.121)). В каждой точке х могут быть образованы следующие диадные базисы: е;Эе, К1ЭК1, К1ЭК, К;ЭК .

(1.126) Например, локальный диадный базис К; Э К. можно образовать суммированием декартова диадного базиса ееь Э е1 с Якобиевыми матрицами согласно определению 1.21 и соотношению (1.6): (1.127) К, ЭК. = Ч"1Я еэ Эе1. Из свойства инвариантности тензора Т вытекает, что при переходе от декартовых координат ая к прозвольным криволинейным Х' тензор Т не изменяется, поэтому его можно представить разложением по локальному диадному базису: Т = т'3'К; Э К,, (1.128) где Т11 называются конозравориантными компонентами тензора Т.

1Л. Алгеб о тенер пы:с полей Из (1.121), (1.127) и (1.128) следует правило преобразования компонент тензора при переходе из декартова диадного базиса е; ® е в локальный К; Э В. (т.е. при переходе из системы координат к' в Хт): Т" = Т"дД1 Т" = ттул" Рт.. (1.129) ° 1' Ковариантными номпонснтаами тензора Ттб называют его компоненты в базисе К' Э Кт, они связаны с Т'1 с помощью метрической матрицы: Т;; = Т"'дс«д,т.

(1.130) Тногнмй 1.11. Единичный (метрический) тснзор Е можно вредставитаь следующим образом: Е = е' 8 ет = й.' З йч = дбК; 9 Вй — — дтуй.т ® К1, (1.131) и Действительно, используя определения (1.112) и (1.113) для Е и диадного базиса е; 8 е, в силу правила (1.305) сложения тензоров получаем первое равенство в (1.131).

В справедливости второго ре венства легко убедиться, если подставить вместо К; и К' выражения (1.6), (1.19) и воспользоваться формулой (1.18). Остальные равенства в (1.131) следуют из (1.19). й Из (1.131) следует, что ковариантные компоненты метрического тензора Е совпадают с матрицей д11 в базисе В.т ® Кт, а контравариантные — с обратной матрицей д'т.

Если тензор имеет в какой-либо системе координат нулевые компоненты, то из (1.129) и (1.130) следует, что будут нулевыми и компоненты в любой другой системе координат. Такой тензор называют нулевы.и и обозначают как 0 — нуль-тензор. 1.4.2. Алгебраические операции с тензорными полями Из определения (1.105) и представления (1.128) следует, что сумма двух тензоров есть тензор, компоненты которого равны сумме компонент этих тензоров в одном и том же диадном базисе: Т+ В = (ТУ+ ВУ)К, Э К,. (1.132) С помощью теорем 1.8, 1.9 и соотношений (1.127) легко доказать следующие правила скалярного умножения локальных диадных базисов: (К~эйу) К»=й 8(йу В«) =д «й, (1.133) (К' 8 К ) (К» Е Кт) = д'«й' Э Кт (В Ейу) (К»8йт) оед1»дп Глава 1.

Темзе мме вмгеб в Пусть имеется тензорное Т(х) и векторное а(х) поля, тогда для каждой точки х операцию (1.106) скалярного умножения а на Т согласно (1.133) можно представить следующим образом: а ° Т = а'В„. ° ТзъНуЭ К» = аеТз»Р Кд Э В» = = а'Тд~убВ» = а'ТРВ» — с»К» = с. (1.134) Эта операция образует вектор с с компонентами с" = 'а'Т;" в локгльном базисе В.». В соотношениях (1.134) мы воспользовались тем, что сами компоненты тензора Тд» при фиксированных у и Й являются скалярными объектами, и их можно переставлять в любое место, в данном случае их удобно перенести к а', чтобы явным образом появилось скалярное произведение Вл К = у,п Этот прием широко будет использоваться в дальнейшем.

Заметим, что порядок следования векторов, связанных какими-либо операциями> вообще говоря, менять нельзя. Скалярное и двойное скалярное умножение двух тензорных полей согласно (1.107), (1.109) и (1.133) можно представить в виде: Т В = Т" Вл Э Кд В»'К» Э Вг = Т»ВыВл Э Вп (1 135) Т' В = ТйУлЭВу Вый»ЭВ» = То7де уу»ВыК~ = Я»Вы. (1.136) Скалярное умножение векторов или тензоров называют также операцией свертки.

Имеют место следующие правила перестановки порядка сквлярного умножения трех тензоров второго ранга (см. упр. 1.4.3): (А Т) В=А ° .(Т ° В) =В ° А ° Т=Т ° В ° А. (1.137) Опгнднлннин 1.22. Векторныле произведением вектора на тензор второго ранга (слева и справа соответственно) называют тензоры следующего вида: ах Т = а;К' х ТзтВ1ЭК = — еп»аеТз В» ЭК, (1.138) 1 3 1 е» Т х а = Ту,„~и Э К~ х а;К' = — е'"'~Т „,а<В~ Э В».

Я Транспонированныб тензор Ат в трехмерном евклидовом пространстве вводят аналогично определению 1.14: А А'~К ЭК Ат АВВ ЭК АВК, ЭВ. (1 139) 1.4. Алгос »тень» ных полей Следствием (1.134) и (1.139) являются следующие многократно используемые соотношения с тензорами второго ранга: а ° А = А ° а, (А ° В) = В ° Ат. (1.140) Квадратом тензора, кубом тензора и вообще и-об степенью тензора А называют следующие тензоры: А А Аз А А А Аз А А А» (1 141) » а®Ъ = а'е; ®Ре = а'УВ; ® В.

= а'6 В.' ® Ю. (1.142) 1.4.3. Детерминант тензора Ранее в 11.1 было введено понятие детерминанта (определителя) матрицы А' по формуле (1.8). Опгнднлннин 1.23. детерминантам тенэора Т называют детерминант егв смешанных компонент, вэятмя в хаком-либо базисе: де1 Т = де1 (Т' ). (1.143) Детерминант тензора, определенный таким образом, не зависит от того, в каком именно базисе взяты компоненты Т' . В самом деле, пусть имеется две системы координат Х' и Х" с локальными базисами Вя и В';, а Т' и Т" — компоненты тензора Т в этих базисах: Т=Т',В;зку=т", В',ЭК'~, (1.144) тогда, используя правила преобразования компонент тензора (см.

упр.1.4.6), получаем де1 (Т',', ) = Ы (Р'Д'ут'ь ) = = де$ (Р'ь)де1 (Я~у)с)еФ (Т'~~ ) = деФ (Т'ь ) (1.145) — свойство инвариантности детерминанта, т.е. независимости его от системы координат (здесь использованы результаты упр.1.1.6, 1.1.7). Используя теперь формулу (1.39), выражение для детерминанта тензора можно представить с помощью символов Леви-Чивиты: аес Т = -еьуье Т Т' Т1 1 (1.146) Из (1.122) и (1.127) следует, что векторы а и Ъ всегда можно разложить по любому диадному базису, т.е. представить в виде суммы диад векторов базиса: Глава 1.

'Гемзо мав аггее а 56 Алгебраическим доиолкекием для компоненты Т' называют матрицу А; вида: А; = -еиье "~Т1„Т"1 . 1 (1.147) Вычислим произведение Т' и А; А Т' =-е. е "1Т' Тд Т" 1 — 1УЬ а а (1.148) Если а ф т, то по свойствам символа е~"1 индекс а должен совпадать с и или 1. Пусть, например, а = к, тогда в (1.148) возникает свертка е; ь с симметричной матрицей Т' Т', что по (1.37) неминуемо даст нуль: еиьт1 т3„ть1 = О. (1.149) То же самое получаем прн а = 1. Следовательно, произведение (1.148) при а ф т всегда равно нулю.

Вычислим теперь произведение (1.148) при а = т, преобразуя его следующим образом: А;~Т' = -ечьеаезТ' (ТзяТ~„— Т~,Т6~), а ф Р ~'- у ф а. (1.150) д, Заметим, что по греческим индексам суммирования нет, и для а, 13,7 всегда соответствует четная подстановка индексов из 1„1, 2,3). Тогда е рз = 1, и можно расписать явным образом и свертку с другим символом Леви-Чивиты. В результате получим: а 1 1 а +Тд.(Т',Т; -Т;Т; -Т;,т;+Т;тя)+ = т:(тд,т; — тд,тя)+тд,(т',т; — т;т;)+ + Т~(™6Т, — Тз Тя) = йез (2 3)' (1.151) Сравнивал формулы (1.151) и (1.8), нетрудно увидеть, что при любых значениях а = 1, 2, 3 выражения (1.151) действительно всегда образуют детерминант матрицы Йе$ (Т' ).

Таким образом, объединяя оба случая а = т и а ф т, получаем свойство алгебраического дополнения: (1.152) (А "Т' ) = б с1е1 Т. 1.4. Алгеб ателзо ньюс полей Если тензор Т является неособенным, т.е. «(е$ Т ф О, то для него существует обратный тензор Т ~ (определенный по (1.96)): Т г ° Т=Е (1.153) или в компонентной записи (Т-') В й.' ® Иу . Т"'В, ® И, = И" ® ~,„ (Т-')уТВ~'®И, = И" ЗИ„, (1.154) отсюда (Т з)ВТВ = б,'. (1.155) < 1дд д 3 д ддб (1.156) где частная производная дд/дд; совпадает с алгебраическим дополнением элемента д; . Обращение скалярного произведения тензоров производится следующим образом (см. упр.1.4.3): (1.157) 1.4.4.