Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление, страница 12

Это,определение, очевидно, является рекуррентным: тензор и-го ранга определяют через тензоры (п — 1)-го ранга. Из (1.240) при и = 2 получаем определение (1.104) тензора второго ранга. При и = 3 получаем тензор третьего ранга: (1.241) й = [егйгегйгезйз) где Й; — тензоры второго ранга. Операции сложения и умножения на число для тензоров (1.240) вводим аналогично (1.105): ой+ п Г [-гп-1Й ]+ [-еп-1Т ] [-~(п — 1Й + -1Г )] — 8 ез" й = 7з[ег" Й;] = [ег(1о" Йг)]. (1.242) Базисные тензоры также введем рекуррентным способом, используя знак тензорного произведения 9.

Для и = 3 имеем: е19ег Эе = Т110) = [е1Т01)егОезО], ег®ее Зе = Т)г11) = [е10егТ111)езО] ез 8 е; ® ег = Тр11) — — [е10егбезТ<11)]. Здесь Тру) — базисные тензоры (1.113) второго ранга, а Π— зто нулевой тензор второго ранга. д'лава д. танзв наа алгвб в 74 Опгнднлннин 1.29. Набор (1.2бу) базисных тснзоров таретьего ранга называют триадным базисом. Каждая базисная триада ез Э е; Э е при фиксированных л, т, у, как и всякий тензор третьего ранга, представляет собой совокупность 27 векторов.

Продолжая построение (1.243) рекуррентным способом, приходим к определению базисных тензоров п го ранга, которые обозначим следующим образом: едЭе;,Э...Эе;„=[ед" ~Т«,„э„дез" дОез" 0], йз Э бдт Э Э йд [йд Ойз Г«т т тез 0]1 (1 244) езЭе;, Э...Эед„= [ед" дОеэ" дОез Т«,..з„1]. Здесь " дТ<„з„> — базисные тензоры (п — 1)-го ранга, " дО нультензор (и — 1)-го ранга. Опгвдвлннив 1.30. Набор базисных тпензоров (1.2бб) называютп полиадным базисом, а сами тпензоры е;, Э... Э е;„при утиксированных дд...д„— базисными поли адами. Имеет место аналог теоремы 1.7 и 1.10: всякий тензор и-го ранга "й можно разложить по полиадному базису: (1.245) п11 Пп птй Э Э- где Р'"з" — компоненты тензора в полиадном базисе.

Поскольку базисные полиады являются тензорами и-го ранга, то их можно складывать и умножать на число. Кроме того для них можно ввести обобщенную операцию скалярного произведения. Опгнднлннин 1.31. Скалярным й-кратным произведением двух базисных полиад и-го и пд-го рангов называют базислую полиаду (та + и — 2й)-го рангат (е;, Э...Эед„) °... (е, Э...Эеу„) = е;, Э... ь ...Эе;„„Эет„+, Э...Эе бд„т,б<„,т,...бд„аыт„+„, (1.246) причем 1(Й(тд ой(пд.

Заметим, что если бы мы также, как и в п.1.3.14, ввели скалярное произведение сначала для объектов (1.240), то формула (1.246) представляла бы собой уже теорему, обобщающую теоремы 1.8 и 1.9 (см. упр. 1.8.9). 1.В. теизо ы высших вигов Опгнднпннин 1.32. ценз о рным произведением базисных иолоад и-го и пт-го рангов называютп базисную полиаду (и+та)-го ранга: (е;, Э... Э е;„) Э (е;„+, Э...

Э е;„+ ) = е;, Э... Э ет„+ . (1.247) 1.8.2. Поле тензора и-го ранга "Й = й"'"' В;, ЭВ;, Э...ЭВ;„, и) 1, (1.248) где Й"-'" - компоненты тензора и-го ранга в локальном иолиадном базисе В;, Э...Э В „. Компоненты тензора "Й при переходе из декартовой системы координат х' в криволинейную систему Х' преобразуются следующим образом: й""'" = Р" ...Р'" йтч"д" (1.249) а при переходе из криволинейной системы Хт в другую криволиней- ную Хн таким образом: й""" = Р" ...

Р'Е Чт'+' ... ф" йо'"'т" . (1.250) те+1- т 11 ' ' ' те те+1 те+т-.3 Примером тензора третьего ранга является тензор Леви-Чивиты, определяемый как в = з/де;т»В' Э ВУ Э В» = — е'т»В; Э В. Э В». (1.251) » 1 тт» Я Заметим, что сами символы Леви-Чивиты е<.», в'т» не являются компонентами тензора, т.к. не преобразуются по тензорному закону (1.250). Примером тензора четвертого ранга является единичный тпензор четвертого ранга хь, определяемый как Ь = — (В„Э В' Э В' Э В.т+ В; Э В' Э В, Э В') = 1 2 =119»тВ;ЭВ;ЭВ»ЭВ, (1.252) Пусть теперь в каждой точке х трехмерного пространства определен тензор и-го ранга "Й(х).

По определению тензор и-го ранга является инвариантным объектом, тогда его можно представить разложением по локальному полиадному базису: Глава 1. Тепзо пап аллее а Компоненты этого тензора в ковариантном п1етрадпом базисе имеют вид: ,11уэ1 1(~11 ~1+ н уэ) (1.253) 2 1.8.3. Транспонирование тензора и-го ранга Обобщением операции транспонирования (1.139) на случай тензора и-го ранга является введение объекта п11(тп~ ..пз„) Пб..я„аа) 8 Н ® 8 Н (1.254) гл1 ..гпп Е (1,...п), 11...1п Е (1,2,3), ГДЕ (ГП1... ГПУ...

тп) — НЕКОтОРЭЛ ПОДСтаНОВКа. ИНДЕКС 1ПУ В ЭтОй ПОД- становке указывает на то, что вектор базиса Й; находится на у-ом месте в полиаде 8.1 4!) ° ° ° ме . ° ° ° Э Ве Таким образом, для тензора и-го ранга существует и! транспонированных тензоров. Перенумеровав индексы у диадных векторов Н;„в (1.254) так, чтобы эти векторы нумеровались по возрастающей, получим альтернативное представление транспонированного тензора и-го ранга: пе1(вв~ ..лп„) П1 ва „еааа, 3 еааа, 88 Н, 1 $2 (1.255) Найти обратную подстановку можно, например, записав подстановку в матричном виде, поменяв затем верхнюю и нижнюю строки и переставив столбцы так, чтобы в верхней строке получился ряд 1...

пп Элементы исходной и обратной подстановки, очевидно, связаны соотношениями: у = 1э 1 или й = гп „Чу,й Е (1...п~. (1.257) где (еэ1...1э ...1э„) Е (1...п) — обратнаяк (гпз...гп ...тл„) подста- новка (поэтому для нее используем букву 1е, похожую на переверну- тую гл). Число 1эу в этой подстановке указывает на то, что индекс дпз компоненты тензора "Й находится на уком месте, т.е. Ь.З. Тевзо ы вывшая весов 77 Вообще же подстановку с элементами (гаь, ...оььз ...тп;„) называют произведением подспьаноеон с элементами: (гаь...зль...гп ) и (ьь ° ьь ьв). Подстановка (зль...7п ) называется орпьогонапьноб, если она совпадает со своей обратной подстановкой (шь...ш ): у = 1...н или у = оь з Чу = 1...ть.

(1.258) ьвь = зп), Для ортогональной подстановки формулу (1.255) можно записать в виде: вй(ш!...т„) й! ...° „Н ® ® Н (1.259) Например, для тензора четвертого ранга 4й: 4й = й""'Н4, Э Н„, Э К;, Э Н4, (1.260) можно ввести следующие обобщенные транспонированные тензоры: й(4згь) йЬ !!в!в!! Н. „-Н . 6, Н е Н йьсдзззз! Н,Р зввз, ~3, зззв,3, зззв, (1.261) й(зь4г) йзьззьзььН. - Н. ЕН. 6,зов. йззздьззН. 8 Н4 ЭН. ЭН. (1.262) и так далее.

В первом случае подстановка (4321) является ортогонвльной, а во втором случае (3142) — нет. 1.8.4. Симметрирование тензора и-го ранга Среди тензоров четвертого ранга важную роль играют тензоры, обладающие симметрией компонент следующего вида: й""зь ° = йьз'""ь й""'з" = йьз""" й'"*'"' = й'з'""з (1.263) ! ! т.е. удовлетворяющие соотношениям: Т (Ат + А) (А(гй + А(ьг)) 1 1 2 2 (1.265) 4й(ьгз4) 4й(язв) 4й(ьгз4) 4й(ьг4з) 4й(ьгз4) вй(з4и) (1.264) Такие тензоры являются аналогом симметричного тензора второго Ранга, и поэтому называются симметричными пынзорами чепьеерпього ранга.

Из произвольного тензора второго ранга А можно образовать симметричный тензор Т путем операции симметрирования: Глава 1. темзе нае внгеб а 76 Аналогичная операция симметрирования для произвольного тензора четвертого ранга имеет следующий вид: 4С 4(1( ) — ((зз(1234) ( (1(2134) ( 11(1243) ) (1(2143) ) 1- 8 + (1(3412) + (1(3421) + (7(4312) + (1(4321!) (1 266) Тензор 4С вЂ” С 11зззззг44 Э... Э В4 (1.267) очевидно, обладает симметрией компонент (1.263).

Симметричный тензор четвертого ранга может быть образован и другими перестановками, например, если тензор 41 5 сам обладает двумя первыми условиями симметрии (1.264) (по индексам 1, 2, а также 3 и 4), то тензор 4(3() (4(3(гзн) + 4(1(згн) + 4(1(нзг) + 4(1(4132)) (1 268) 1- 4 обладает полной симметрией компонент (1.263). Иногда применяется также снзаиенгричныб тпензор шестого ранга бй, обладающий симметрией индексов внутри каждой пары и по парам: 6(1(123456) б(з(213456) бе)(124356) б(з(123465) 6(1(123456) 6(1 (125634) 6(1(563412) беззз(341256) (1.269) Из произвольного тензора шестого ранга бй можно образовать сим- метричный тензор путем введения операции симметрирования, напри- мер, следующим образом: 6С 6Г)( ) (6(1( ) 56 + 6(1( )65 + 6(1( ) гг+ 1- 48 + 6(7( )м + 6(1( )34 + 6(3(.)43) (1.270) (1.269). Здесь операция 611(')12 означает симметрирование вида (1.266) по четырем индексам 13, 14,15, 16 Прн фИКСИРованных индексах 11, 12, СтОящих на пятом и шестом местах и т.п.

Тензор 6С вида (1.270) обладает симметрией компонент типа 1.8. Тенер ы высших вигов Упражнений и 1 1.8. Упражнение 1.8.1. Показать, что опсраз(ид сввршкн двух тензоров чет- вертого Ранга 4Й(з) Й(з)У ...уззюь ® 8 зюь 3 ° ) 4Й(1) — Й(з)П|ззз<зВ . 8 лч) В . 4Й(П... „4Й(з) Й(П Й(2)зззззззз \Пззззз Упражнение 1.8.2. Показать, что длк симметричного тенэорв второго ранга Т имеет место соотношение: Т З Т ° ° ° .пз = Тз ° Е. Упражнение 1.8.3. Показать, что длк всккого тензорв второго ранга Т и четвертого ранга Й имеет место соотношение: 4 т "4Й "т = т Э т " "4Й.