Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление, страница 11

иснюнн с нсчюссннс Из определения следует, что диагональные компоненты йб равны нулю: й = О, и тензор й имеет только 3 независимые компоненты, поэтому на основе всякого кососимметричного тензора можно построить вектор пс, называемый вектором, сопутствующим кососимметричному тензору (или аксиальным вектором): Глава 1. теизо наз аегеб а Т Действительно, по определению он 1;ь ю х Е=ы х В ЭВе = — еб ыуд„ьй.; ЭВе = Л = — — е ~ ед~гй ~Вг чг Вз = -ег едзгй В» Э Кь = 2/д " 2 = ОмКг Зйе = й. (1.204) Огг О ге Об Огг 0 Огз Огз Огз 0 (1.205) Составляя характеристическое уравнение (1.167): 7з(Л) = диез (ОУ вЂ” ЛдУ) = -Л(Л +и~) = О, (1.206) находим собственные значения: Лг — — -1и, Лг = 1ы, Лз = 0 г' з г 4 ) ыгдее + 2(ыгыгдгг + ыгыздгз + ~з~1д~ ) . (1.207) айаг 1.0.3.

Ортогональные тензоры Согласно определению 1.17, тензор О называется орпгоеональнььа, если От — О-г. (1.208) Для ортогонального тензора всегда выполнено соотношение: От. Π— О. От = Е (1.209) Введем компоненты тензора О в локальном диадном базисе: О = О'1В» Э В.г, (1.210) Здесь использовано определение векторного произведения (1.33) и свойства (1.36). й Найдем собственные значения кососимметричного тензора.

Свойство кососимметричности (1.201), означает, что его компоненты й'У образуют следующую матрицу: КЕ. Симмет инные и о тогоненьные тента ы тогда О От = о'Уо„' В„. 8 В1 Е 8 Вь = о'уо„у В„э В' = итЕ=бе К<СУВ." (1.211) или О'у О„у = О" Оьу = б"Оэу = 4. (1.212) Из (1.212) следует, что на девять компонент тензора О наложены шесть связей, следовательно, произвольный ортогональный тензор имеет не более трех независимых компонент. Определитель ортогонального тензора равен ж1, так как 1 = беС (Е) = беС (О ° О) = йеС (О ) ° беС (О) = (с1еС (О))з, (1.213) откуда оеС (О) = х1. (1.214) Если выбрать некоторый базисный триэдр Вч и применить к нему преобразование с помощью ортогонального тензора О, то получим новый базисныи триздр К';: В.;.

= В; ° О = От В„, (1.215) который обладает следующими свойствами. ° Метрические матрицы д,' и дб совпадают. В самом деле, д! = В! ~к = К; 'О О ВУ = В~ Ву =дб ° (1.216) ° Углы еЦ между базисными векторами Вч и соответствующие углы ф(у между К'; одинаковы. Действительно, по (1.32) и (1.14): р Ва Ву Уау дае соз фау — — — — сое фау (1 ° 17) ° .Плины векторов не изменяются: (Фа ! 14аа з/Уаа — (Еа ! ° (1.218) Это означает, что преобразование (1.215) произвольного триэдра, осуществляемое с помощью ортогонального тензора, происходит » жестким" образом - без изменения углов и длин, т.е. это преобразование поворота вокруг некоторой оси с вектором сз, которое может сопровождаться зеркальным отражением относительно некоторой плоскости, если беС О = — 1.

Если же деС О = 1, то происходит собственно поворот. Глава 1. тенео наа елееб а ез Выберем два вектора сг и сг в плоскости, ортогональной вектору ез, для определенности положим ~са~ = 1. Поскольку тензор О осуществляет поворот вокруг оси с вектором сз, то сз не изменяется: г т сз — О ез = сз, (1.219) а векторы с1 и сг поворачиваются в своей плоскости "жестким обра- зом" на некоторый угол у: е са О ' са~ (1.220) так что ег = сгсову+ свешу, с~г —— — ег вшу+ овсову.

(1.221) Очевидно, что е' также будут ортонормированы. Тогда тензор О можно представить в виде О =Е ° О = ~~~ соЭса ° О = ~ со Э с'. (1.222) аа1 аа1 Подставляя сюда (1.221), получаем: О = е1 Э (сгсозу+ сг ггпу) + сг(-сгвшу+ овсову) + ез Э сз = = (сг 9 сг+ сг 9 сг) сов у + (с1 9 сг — сг 9 сг) вш у + сз Э сз = = Е сов у + сз 9 сз(1 — сов р) — Е х ез вш у. (1.223) сову вшу 0 (О 1) = — вшу сову 0 0 0 1 (1.224) Составляя характеристическое уравнение (1.167), получаем е. Р(Л) = «1е1 (011 — ЛБ') = (1 — Л)(Л вЂ” 2Лсову+1) = О, (1.225) откуда Лг=е ", Лг =е", (1.226) Л таким образом, доказана следующая теорема. Здесь мы воспользовались свойствами векторного произведения, приведенными в упр.

1.2.7, 1.2.8. Таким образом, всякий ортогональный тензор О всегда можно представить в виде (1.223). Вычислим теперь собственные значения ортогонального тензора. Из (1.223) следует, что в базисе с теизор О имеет компоненты: Пб. Симмет ичные и о тогональные тензо ы Творима 1.16. Ортпогональный тпензор всегда илтеетп одно дебстпвитпельное собстпвенное значение, равное 1, и два, вообще говори, комплексных.

Из (1.219) следует, что собственный вектор, соответствующий знас ез чению Л = 1, совпадает с сз, т.е. ез — — ез = сз. Два других собственных вектора являются, вообще говоря, комплексными, их находим, записывая разложение (1.174) тензора О по собственному базису: О = е 'Раз Э е „+ отрез Э ез + сз Э сз = (е з Э е т+ + ез Э ез) сов (о — 1(ет Э ез — ез Э ез) з(ну+ сз Э сз (1.227) Сравнивая (1.227) и (1.223), находим ез — — е = — (ст — 1сг)~ е оз 1 Л е ез 1 ез = ез = — (с, +1сз). (1 228) Л 'Упражнения к з 1.6. 'Упражнение 1.6.1.

Показать, что если в двойном скалярном произведении лвух теизоров А и В один нз тензоров симметричен, то второй тоже можно симметризоввтти А В=Т В, и В=В*, где Т= — (А+А ). 1 т Й ° а=соха, а ° Йшахвт. Упражнение 1.6.4. Показать, что соотношение(1.203) дла комсимметричного тензорв можно также представить в виде: Й = Е х ит = от х Е. е УпРажнение 1.6.5. Показать, что собственные вектоРы ео, соответствУютлие собственным значениам Ло кососимметричного тензора Й, могут быть пред ставлены в виде: 1 . е, 1 — — (ст — 1сз)1 ез чт2 ~/2 ез = е е аз <о ! !' Упражнение 1.6.2. Показать, что лля кососимметричного тензора из (пз01) слааует Йтт' = -Йт;, но дла смешанных компонент, вообще говоря, зто соотно.

шение не имеет места. Упражнение 1.6.3. Показать, что скалярное умножение кососимметричного тензора Й на произвольный вектор а можно представить в виде: Гнева 1. Тензо паз апгеб а 70 где сг и сг - некоторые вещественные нормированные векторы )са ~ = 1. Упражнение 1.6.6. Показать, что всккий кососимметричный тензор ээээ эв- пкетсэ особенным, т.е. бег (зз) = О. 'Упражнение 1.6.7. Показать, что если два векторнык базиса К! и К( свезены с помощью ортогонапьного тензора (1: К( (т сг = сгсозф+сгзшф, с~г — — -сгзшф+сгсозф, сз =ез1 О < ф < 2т, то эти двв базиса также можно свкзать с помощью некоторого ортогонапьного тензоРа (1: Са сс (Е С». Пойти компоненты этою тензоРа в базисе Са.

Т. з 1.7. Физические компоненты тензоров 1.7.1. Ортонормированный базис В ортогональных системах координат ОХ метрическая матрица является диагональной: ГО, зфу ды О О дб=Кэ Ку=~, те. Уущ О дгг О Уаа, з = У' = П, О О Узз (1.229) Введем обозначения для ее компонент: з/даа = На, о = 1, 2, 3, (1.230) где На называют ппрпметрани Ламе. Определитель д в ортогональных координатах имеет вид: д = беС (д;.) = (НгНгНз)г. (1.231) Обратная матрица д'1 тоже является диагонапьной, и ее коэффициенты вычисляются следующим образом: з/д = 1/Н = 1/,%а. (1.232) Введем единичные векторы локальных базисов е и е: еа = Ка/~К»1 = Ка/э/уаа, е = К"/)К ( = В.

з~да„, (1.233) то тенэор (1 можно представить в виде теизорного произведение векторов базиса - искодного К; и конечного К ', полученного ортогонвпьным преобразованием: (1 = В,ЭК". 'Упражнение 1.6.8. Показать, что если имеютск два ортонормированнык базиса Са и С», свэзвннык соотнощениэми: ! 1.2. Физические компоненты тенко ов 21 (Ва( (Ва ' Ва) — (Уаа) — На| (Ва~ (В» Ва)172 ( аа)1/2 1 1 1/уаа На (1.234) В силу Ва Уа»В г — зъа а получаем, что единичные векторы базиса еа и е совпадают. Очевидно также, что е - ортогональны между собой: (1.235) (1.236) т.е. базис еа является орнзонормироееииьзи. Векторы базиса еа направлены по нормали к координатным поверхностям Х = сопз1 и по касательным к координатным линиям Х в сторону их возрастания.

1.7.2. Компоненты тензоров в ортонормнрованном базисе Произвольные вектор а и тензор Т можно представить в ортонормированном базисе следующим образом: з з ! ч ~ а а=аВ3=~ а 1/дзаЕа=афЕе=аВ зк~ — »Е =афЕ', (1.237) з Т = Ое3Вч ЭВ3 — — ~~1 Т де» Эед,/д 3/9933 = Т'зе; Эез —— а»113=1 = Тфдез Эе" = Те,е; Эез. Здесь введены компоненты вектора аф, аф; и тензора Тфз, Тфб, Тф, в ортонормированном базисе е;: а а аа аф — а Яаа1 офа— 31'даа (1.238) уа уа ф33= 33)1д,~ аа а13 ад афа — — —, Тф — Т Н»НУ, На а а,=а На, еде обозначены длины векторов базиса зеа ' В~з Еа ° Е33 = = О, О ф33, ,/у 9339 Та33 »,3 ф — Т,/д —.../9Р,, ф.,— 3/Уааз/9933 или с использованием параметров Ламе: Тод Тфар = Н Н .

а (1.239) Глава 1. 'Гензо нвя елгеб а Рис. 1з27. Ортонормированный базис в сферической системе координат Рис. 1. 26. Ортонормированный ба- зис и цилиндрической системе коор- динат Опридипвнин 1.27. Компоненты тенэора Т11 и векслера аф в ортонормированном локальном базисе е; называютсд узиэическими.

Из (1.238) следует, что так же, как и в декартовом базисе е;, все компоненты Тф, Тфб, Тф совпадают. Упражнения к 2 1.7. 'Упражнение 1.7.1. Показатзч что длк цилиндрической системы координат: Н1 — — 1, Нг=т, Нзщ1, а длк сферической: Нг = т, Нз = т вгп д. Упражнение 1.7.2. Показать, что для цилиндрической системы координат (см. упр.1.1.11, 1.1.14) ортонормироввнный базис Ео имеет следующий вид: ег — — е, = совфег+в)пфег ег = ев = — вшфег+ сов фег~ ез = е„ причем в кендой точке М вектор е направлен вдоль радиальной полупркмой, соединяющей ось Ог и точку М, вектор ев — по окрумнссти вокруг оси Ог, а Ез — вдоль праной, параллельной Ог 1см.рис.1.2В). Упражнение 1.7.3.

Показать, что длк сферической системы координат (см. упр.1.1.12, 1.1.13 и 1.1.15) ортонормироввнный базис Ео имеет следующий вид: ег = е„= вш д сов фег + вш д вш фег + сов дез, 1.а. з сизо ы высших вигов 73 ег = ев — — сов д сов фег + сов д ейп фег — зш дез, ез = ей = — зш фег + сог фег, причем в каидой точке М вектор Е„ ивпрввпен вдоль радивдьной попупрямой, нскодяшей из качана координат, вектор Е — по касвтевьной к меридиану, в ЕВ— по касательной к параллели (см. рис.1.77). З 1.8. Тензоры высших рангов 1.8.1. Геометрическое определение тензора и-го ранга Кроме рассмотренных тензоров нулевого (скаляры), первого (векторы) и второго рангов, "геометрическим" способом, т.е.

в форме (1.104), можно ввести тензоры произвольного и-го ранга (где и — натуральное число) . Опрвдвлвнив 1.28. Уе нз ар ам и-о г о р ам г а пй в трехмерном евклидовом пространстве назовсль объект пй = [егп йгегп гйгезп гйз], и > 2, (1.240) представляющий собой упорядоченную совокупность трех уеиксированных векторов базиса е; и трех тснзоров (и — 1)-го ранга" 1йг, индивидуальных для каждого тензора пй.