Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление, страница 13

Упражнение 1.8.4. Показать, что длк произвольнык тензоров второго ранга А, В, С, Р имеют место соотношение: (А В) (С В) (В (и В)(3214) (С,8 А) (В (8 ]Э)(зезз) (С ® А) (1Э ® В)(зйзз) (А ® С) — (В 8 у))....(А вз С)('"'). Упражнение 1.8.5. Показать, что квадрат симметричного тензора Т можно представить в виде: Тз = зд А ° ° Т(8Т упражнение 1.8.6. Показать, что если тензор Й обл вет двумя первыми 4 условикми симметрии (1.264), то 24Й[] 4Й(зезз)( ) Упражнение 1.8Л. Показать, что векторное произведение вектора на произвольный тензор П-го ранга имеет вид: вЙ сап Й ю ЭВзз8 (рВ( У т.е. сквлврнсе умножение по всем четырем индексам приводит к образованию следующего скалкрв; Глава 1.

Тензо нал алгеб а зо 'Упражнение 1.8.8. Геок«зать, что имеет место слепуюпзал формула перестановки мномителей в скал«рном произведении: «г1 «г1(2,3...«1) Упражнение 1.8.9. Дать определение д-кратного скал«рното произведеник тензоров л: го ранга в форме (1.240), а затем вывести формулу (1.246) в качестве следствие. 2 1.9. Псевдотензоры 1.9.1. Обпзие замечания о псевдотензорах Из общего определения тензора, данного в п.1.7.1, следует, что не всякий объект с индексами является тензором, а только обладающий свойством ннварнантности, т.е. компоненты которого при переходе из одной системы координат в другую преобразуются специальным образом — по закону (1.129).

Выше мы уже встречались с объектами, которые не преобразуются по тензорному закону, и, следовательно, не являются компонентами каких-либо тензоров, в частности, это относится к символам ЛевиЧнвнты ебь. Однако, оказывается, существует ряд объектов, которые преобразуются по закону, "близкому" к тензорному (1.129), но несколько от него отличающемуся. Такие объекты играют важную роль в тензорном исчислении, и их объединяют в отдельный класс — лсевдопзензоров. Рассмотрим примеры псевдотензоров, а затем сформулируем общий закон преобразования их компонент.

1.9.2. Определитель метрической матрицы Метрические матрицы дб и дз) являются компонентами тензора (см. упр.1.1.9), и поэтому преобразуются при переходе из одной криволинейной системы координат Х' в другую Х" по закону (см. упр.1.1.9): д,'"=Р1 Рд ь (1.271) Вычислим определитель матрицы д;': д' = г)е( (д,' ) = (г)е1 (Рюз )) деС (д„,1) = (де1 (Р~; )) д, (1.272) или, вводя обозначение для определителя якобиевой матрицы: (1.273) озв$ (()м 1.9.

Псевдотензо ы з1 получаем, что ,/д =+Ь,/д. (1.274) Таким образом, важнейший скаляр /д не является инвариантом при любых преобразованиях координат (1.2) (для инвариантов должно было бы выполняться равенство»/д' = /д) и, следовательно, не является тензором ранга О. 1.9.3. Векторное произведение Рассмотрим произвольный вектор с, образованный с помощью векторного произведения двух векторов а и Ь: с = а х Ь = ~/усова'Ь'В~ = с~1с~.

(1.276) Всюду ранее мы испольэовали такие векторы как "истинные векторы", т.е. преобразующиеся по тензорному закону (1.26) ранга 1. Это действительно так, если только преобразование координат (1.2) не меняет ориентации координатных осей, т.е. может быть получено непрерывно из тождественного преобразования.

Если же ориентация осей меняется, то нарушается непрерывность преобразований, и векторное произведение перестает быть тензором ранга 1. Покажем зто. Распишем векторное произведение (1.276) покомпонентно: сг —— »/д(егзза 6 +с1зза Ь ) =.Я(а Ь вЂ” а Ь ) и т.д.. (1.277) В общем виде три такие формулы можно представить следующим образом: с„=,~у(адЬ» — а»Ьд), а ф 11 ф» ф. а, а = 1, 2, 3, (1.278) н индексы а,)3, 7 образуют четную подстановку. При переходе в новую систему координат Х" зто выражение примет вид: с~ = /д'(а~~6'» а'»6~0) (1.279) где с', асз, 6'» — компоненты векторов с, а и Ь в системе координат Х", которые связаны с аг, 6» соотношениями: ЬУ» Я» 61 у (1.280) Поскольку всегда должно выполняться условие /д > О, то формула (1.274) имеет вид: Л= ~РЮ. (1.

275) Глава 1. 'Ген»о наа алееб а вг (для векторов а и Ь мы предполагаем выполнение тензорного закона). Тогда, подставляя (1.280) и (1.275) в (1.279), получаем: (1.281) Очевидно, что выражение в скобках отлично от нуля только при 1 ф у и меняет знак на противоположный при замене 1 на у, т.е. это компоненты кососимметричного тензора, тогда (1.281) можно представить следующим образом: з с' = — ~~~ (1~В 9» — с)» ЧР )(а~5~ — а б ), р=1 (1.282) а=1,2,3; рф<т~юфр, рпы=1,2,3, где индексы р, ~т, м снова образуют четную подстановку.

Однако величины Яв Р»» Р)» ЯР являются дополнительными минорами для элементов Рр обратной якобиевой матрицы, поэтому — Я»' Я» — Я» ~Д ) = РР, р= 1,2,3; и= 1,2,3 (1.283) 1 (формула для определения компонент обратной матрицы).

Тогда (1.282) принимает вид: (1.284) или с учетом формулы (1.278), в которой индексы а,)3, у следует за- менить на р, ег,м, получаем с'= — з Ррс = — Р с; а ~~~~~ аср ~р~ а рнз (1.285) — искомую формулу для преобразования компонент векторного произведения. Из (1.285) следует, что векторное произведение двух "истинных" векторов (или их еще называют полярныжи векторами), является "истинным" вектором только при непрерывных преобразованиях, когда Ь > О.

В общем случае формула преобразования компонент векторного произведения отличается коэффициентом Рз/~Ь~, т.е. знаком кэ. Псепдотеюо ы эз от обычного тензорного закона. Такие векторы называются оксоаеь- ными или осееооееиозораио. 1.9.4. Символы Леви-"4ивиты Ьетп~ = Я',„Я~пЯ ~ебь, Ь = (Ы Щ). (1.286) Эту формулу фактически можно рассматривать ках закон преобразования символов Леви-Чивиты. Очевидно, что этот закон не совпадает с тензорным из-за наличия коэффициента Ь. Умножая (1.286) слева и справа на /д, с учетом (1.274) получаем формулу для преобразования компонент /деба. сз ~/дс~пп1 — СЕ тпрр «Я ~ У д Ебь.

(1.287) Совершенно аналогично можно получить обратную формулу: /д егуь = — Р; Рд Р ь,/де пп (1.288) а также формулу для компонент (1/ /д)еб": /у дЮнвЮп'и ( /- (1.289) Из соотношений (1.288) и (1.289) следует, что при непрерывных преобразованиях, когда Ь > О, компоненты /де< ь и (1/ /д)еб~ преобразуются по тензорному закону, а при Ь ( 0 — нет. 1.9.5. Смешанное произведение Смешанное произведение трех истинных векторов а, Ъ и с можно представить в виде: ~р=(ахЪ) ° с=6 ° с=4с, с1=ахЪ=4К'. (1290) Вычислим его в системе координат Х' и Х", используя формулу (1.285) для преобразования компонент векторного произведения: ~л ~ 1 з ь у =сЦс = — Р;ЫЯьс = — без = — ~р.

(1.291) Выше уже упоминалось, что символы Леви-Чивиты ебы еб" не являются компонентами тензора третьего ранга. Установим закон их преобразования при переходе из одной системы координат в другую. Для этого воспользуемся формулой (1.42), которую применим к якобиевой матрице Я' ' Глава 1. 'Генво нвв внгеб в Таким образом, смешанное произведение, вообще говоря, не является "истинным" скалярным инвариантом относительно любых преобразований координат (1.2), его инвариантность имеет место только при непрерывных преобразованиях (1.2), когда 6 ) О. Укажем на одно кажущееся противоречие. Если в качестве векторов а, Ь и с взять векторы базиса Кг, Кз и Кз, то получим объем (1.292) 'г' = (Кг Х Кз) Кз = Я~ и согласно (1.291) (1.293) Но для преобразования /д при переходе из Х' в Хн у нас имеется также формула (1.274), которая, очевидно, отличается от закона (1.291).

На самом же деле, противоречия между (1.293) и (1.274) нет. Формула (1.274) указывает связь смешанных произведений различных векторов базиса з/д' = (Кг х Кз) ° К~з и /д = (Кг х Кз) Кз', в то время как формула (1.293) устанавливает связь между смешанными произведениями одних и тех же векторов, но вычисляемых в различных системах координат Х' и Х", т.е. формула (1.293) для связи з/у' и /д неприменима, если только базисы К< и Ц не совпадают.

1.9.5. Обпгее определение относительных тепзоров и псевдотензоров Дадим теперь общее определение для объектов, преобразующнхся по законам, "близким" к тензорному. Опгндвлннин 1.33. Относительным тенэором п-го ранга наэываеп1ся объект "й, имеюивий в полиадном базисе представление вида: "й = й""' К Э...Э В„Э К'"+' Э. Э К'" (1.294) компоненты которого при переходе иэ одной системы координат Х' в другую Хн преобраэуются по закону: й"'"'" = вс~йщ" ...я'" Ру"+' ... Рза й/''д" .

В во.э 1 ° +1 1 е~-д" (1.295) эс = Ь/(Ь!. Таким образом, в законе преобразования (1.295) участвуют два числа: эе и 2о, причем эс может принимать значения только 1 или -1, а ю — некоторое целое число, которое может быть и отрицательным. При этом различают четыре класса: 1.9. Псеьиотеизо ы эз ° если зе = 1, а и! ф О, то "й называется относительным тензором и-го ранга веса иб ° если и = 1, а и! = О, то "й называется тензором и-го ранга (или истинным тензором); ° если и может принимать значение -1, а !е = О, то "й называется исевдоэаензором и-го ранга; ° если зе может принимать значение -1, а и! ф О, то "й называется оиьносительныл! исевдотензором и-го ранга веса и!. Очевидно, что определение, данное выше, для истинного тензора и-го ранга совпадает с определением тензора и-го ранга в з 1.7. Сравнивая теперь законы преобразования (1.275), (1.285), (1.289) и (1.291), получаем, что ° /д является относительным тензором нулевого ранга (относительным скалярам) веса и! = — 1; ° векторное произведение двух истинных векторов а х Ь является псевдотензором первого ранга (т.е.