Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление

Ю.И. ДИМИТРЕЕНХО Тензорное исчисление Рекомендовано учебно-методическим обьедвневием вузов по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособил длк студентов высших учебных заведений, обучающвхск по физико-математическим и машиностроительным спеоиальносгам Я~ Москва «Высшая школа» 2001 УДК 501 ББК 22 Д 46 Рецензенты: кафедра сопротивления материалов, динамики и прочности машин Московского авиационного института (зав.кафедрой, д-р физ.-мат.наук, профессор А.Г.Горшков); д-р физ.-мат.наук, профессор Л.В.Тарлаковский Лимнтриенко Ю.И.

Л46 Тензорное исчисление: Учеб. пособие для вузов. — Мп Высш. шк., 2001. - 575 с.; ил. 1ЯВ51 5-06-004155-7 Учебное пособие охватывает основные разделы теизорного исчисления, используемые в механике и злектродинвмике сплошных сред, механике комлозитов, кристаллофизике„квантовон кимии: алгебру тензоров, тензорный анализ, тензорное описание кривых и поверхностей, основы тензорного интегрального исчисления. Изложена теория инввриантов, теория индифферентных тензоров, задающих физические свойства сред, теориа анизотропных тензорных функций,а также основы тензорного исчислениа в римановых пространствах и пространствах аффинной связности.

Лм стнудентаое а аспирантов высшая учебныа заседение, обучающаяся но рвзвно-машематввчеснам в машаностаронтаеоьным снеднаяьносшям. УЛК 501 ББК 22 16ВХ 5-06-004155-7 © «Издательство«Высшая школаь, 2001 Оригяавл-иакет давиото издавая является собствеавостью издательства «Вмсша» школаь, и его реиродунвровавие (во«арсаев«зевке) любин способом без согласия издательства звлрещаегс». ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Истоки тензорного исчисления Введение . Глава 1.

'ГЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА . 3 1.1. Локальные векторы базиса. Якобиевы и метрические матрицы . 3 1.2. Векторное произведение . 3 1.3. Геометрическое определение тензора и алгебраические операции с тензорами . ~ 1.4. Алгебра тензорных полей . з 1.5. Собственные значения тензора . з 1.6. Симметричные, кососимметричные и ортогональные тензоры 3 1.7. Физические хомпоненты тензоров . з 1.8. 'Гензоры высших рангов . 3 1.9. Псевдотензоры Глава 2. ТЕНЗОРЫ НА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ .

3 2.1. Линейное а-мерное пространство . з 2.2. Матрицы и-ого порядка . 3 2.3. Линейные преобразования и-мерных пространств . 3 2.4. Сопряженное пространство . 3 2.5. Алгебра тензоров на и-мерных линейных пространствах . ~ 2.6. Внешние формы .

Глава 3. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ . 3 3.1. Линейные преобразования координат . 3 3.2. Группы преобразований в трехмерном евклидовом пространстве . 3 3.3. Симметрия конечных тел . 3 3.4. Матричные представления групп преобразований . Глава 4. ИНДИФФЕРЕНТНЫЕ ТЕНЗОРЫ И ИНВАРИАНТЫ . 3 4.1.

Индифферентные тензоры . з 4.2. Число независимых компонент индифферентного тензора . з 4.3. Симметричные индифферентные тензоры .. з 4.4. Скалярные инварианты . 3 4.5. Инварианты симметричного тензора второго ранга . Глава 5. 'ГЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ ° 3 5.1. Линейные тензорные функции . з 5.2. Скалярные функции тензорного аргумента . 5 7 13 17 17 29 35 52 59 62 70 73 80 87 87 97 109 118 124 143 157 157 171 175 195 201 201 214 226 238 250 267 267 295 3 5.3. Потенциальные тензорные функции... 5.4.

Квазилннейные тензорные функции . 5.5. Спектральное представление тензоров второго ранга . 3 5.6. Спектральные представления квазилинейных тензорных функций . 3 5.7. Непотенциальные тензорные функции.... 3 5.8. Пифференцирование тензорных функций по тензорному аргументу . 3 5.9.

Скалярные функции нескольких тензорных аргументов . 3 5.10. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов . Глава 6. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ . 3 6.1. Ковариантное дифференцирование . 3 6.2. Пифференцирование тензоров второго ранга 3 6.3. Свойства ковариантных производных .. з 6.4. Ковариантные производные второго порядка 3 6.5. Пифференцирование в ортогонельных криволинейных координатах . Глава 7. ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ~ 7.1. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве .

3 7.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве 3 7.3. Кривые на поверхности . 3 7.4. Геометрия в окрестности поверхности.... 3 7.5. Уплощенные поверхности в Ез . Глава 8. ТЕНЗОРЫ В РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ПРОСТРАНСТВАХ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ . 3 8.1. Римановы пространства . 3 8.2. Пространства аффинной связности . 3 8.3. Риманово пространство с аффииной связностью, з 8.4. Тензор Римана-Кристоффеля . Глава Э. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ . 3 9.1. Криволинейные интегралы от тензора . з 9.2. Поверхностные интегралы от тензора .

3 9.3. Объемные интегралы от тензора . Приложение. Энергетические и квазиэнергетические пары тензоров . Список литературы . Предметный указатель . 308 317 328 346 359 376 379 395 401 401 410 414 419 424 449 468 483 490 554 567 569 439 439 495 495 507 515 522 535 535 544 550 ПРЕДИСЛОВИЕ Возникновению тензорного исчисления в современном его виде мы обязаны прежде всего Риччи, который в конце Х1Х века предложил математический аппарат для операций над "системами с индексами". Хотя сами эти "системы" были обнаружены раньше — при исследовании неевклидовых геометрий Гауссом, Риманом, Кристоффелем и при исследовании упругих тел Коши, Эйлером, Лагранжем, Пуассоном (см. об этом раздел "Истоки тензорного исчисления"), именно Риччи разработал удобную компактную систему обозначений и понятий, которая широхо используется в настоящее время в самых различных областях механики, физики, химии, кристаллофизики и других науках. В настоящее время тензорное исчисление продолжает развиваться, появляются новые направления, переосмысливаются некоторые ранее введенные понятия.

Именно поэтому, несмотря на имеющуюся учебную литературу по тензорам (см. список литературы), потребность в изложении этих вопросов достаточно актуальна. Для иллюстрации сказанного приведем лишь один пример. Как это ни покажется странным, на вопросы: "Можно ли представить себе тензор второго ранга столь же наглядно, как и вектор в трехмерном пространстве?" и "Что тахое диада?" — ответ скорее всего затруднятся дать многие искушенные читатели, знакомые с тензорами.

Данная книга предназначена читателю, начинающему знакомство с методами тензорного исчисления, именно поэтому в ней во введении изложено знакомое из школьной программы понятие вектора как геометричесхого объекта в трехмерном пространстве, на основе которого затем дано "геометрическое" же определение тензора. Это определение позволяет "увидеть" сам тензор и основные операции с ним. И лишь после такого знакомства дано формальное определение тензоров в абстрактных л-мерных пространствах. Автор надеется, что книга будет полезна также и специалистам, прежде всего в области механики сплошных сред, физики твердого тела, кристеллофизики, квантовой химии, поскольку кроме указанных глав для начинающих, в ней содержатся многие недостаточно, на наш взгляд, освещенные в литературе вопросы теории тензоров, "залающих физические свойства" (в книге они названы индифферентдыми), теории инвариантов тензоров относительно кристаллографических групп, теории тензорных функций, теории интегрирования тензоров.

П едиславие Книга построена по "математическому принципу": в ней имеются определения, теоремы, доказательства и упражнения в конце почти каждого параграфа. Начало и конец доказательств выделены значками Т и а соответственно. При изложении материала отдано предпочтение безиндексной форме записи тензоров, которая при определенных навыках позволяет быстро и компактно записывать различные соотношения в механике и физике, не заслоняя при этом физическую суть явлений.

В то же время везде, где это уместно, даны соотвегствующие компонентная и матричная формы записи тензорных соотношений. Автор считает своим приятным долгом поблагодарить заведующего кафедрой механики композитов МГУ им.М.В.Ломоносова, профессора Б.Е.Победрю, под влиянием идей которого в значительной степени возник замысел этой книги; заведующего кафедрой "Сопротивление материалов, динамика и прочность машин" МАИ, профессора А.Г.Горшкова и профессора П.В.'Гарлаковского за ряд ценных замечаний, высказанных при рецензировании книги, а также профессоров МГТУ им.Н.Э.Баумана В.В.Феоктистова, С.П.Ерковича и доцента А.Н.Щетинина, советы и рекомендации которых помогли автору при написании нескольких разделов книги.

Автор благодарен кандидату физико-математических наук И.П.Лимитриенко за подготовку оригинал-макета книги и ее редактирование. Аетор ИСТОКИ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ' Исторически тензорам предшествовали векторы, матрицы и "системы с индексами". Еще Архимед, живший в 287-212 гг до н.э., складывал силы, действующие на тело, по правилу параллелограмма, т.е. интуитивно вводил особые объекты, которые характеризуются не только величиной, но и направлением. Этот основополагающий шаг в сторону разработки векторного исчисления долго оставался единственным: голландский математик и инженер С.Стевин (1548-1620), который считается создателем понятия векторной величины, фактически переоткрыл еще раэ закон сложения сил по правилу параллелограмма.

Этот же закон формулировал и И.Ньютон (1642-1727) в своих "Началах" наряду с законами движения тел. Следующий важнейший с современной точки зрения шаг был сделан только в Х1Х веке ирландским математиком У.Р.1'амильтоном (1805-1865), который, занимаясь теорией кватернионов-гиперкомплексных чисел, в 1845 году ввел сам термин "вектор" (от латинского счесзог" — несущий), а также термины: искаляр", "скалярное произведение", "векторное произведение", — и дал определение этих операций.