Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление, страница 7

Те из ораль в т ор о г о р а н г а Т в деулзернвм евклидоволз пространстве назовем упорядоченную совокупность четырех векторов, выпуи1енных из одной точки, два из котпврых Яиксированы ~одинаковы для всех тпензоров), а два других произвольны ~индивидуальны для каждого тснзора). т.е. вектор В.1 ортогонглен к Кз, а Кз — к К1, а длины этих векторов вычислим по длинам ~В1~: 1.3. Геомет ическое оп еаеление тенко а 37 и1 ак, а, Рис. 1.10. Геометрическое прелставле- ние ковариантных и контрвваривнтных компонент вектора Рис. 1.0.

Геометрическое прел- ставление векторов взаимного ба- зиса При графическом изображении фиксированные векторы выделяются жирными стрелками (рис. 1.11). Упорядочение четырех векторов, образующих тензор Т, производится следующим образом: первым и третьим считаются два фиксированных вектора ез и ег, вторым и четвертым — два индивидуальных а и Ь. Пля определенного таким образом тензора Т введем специальное обозначение: Рис. 1.11. Геометрическое прелставление тензорв второго ранга Т = [егаегЬ]. (1.64) 1.3.3.

Операции с тензорамн Введем теперь операции с тензорами вида (1.64), т.е. графические правила вычисления суммы и скалярного произведения. А Сложение двух изекзоров ОПРВЛВЛВНИЕ 1.8. Суммой двух злекзоров Т = (егаегЬ) и В = (сечсегд] (1.65) В евклидовом пространстве в качестве фиксированных векторов ег удобно выбрать векторы базиса ег. Глава 1. 'Ганза нак алтае а Зв Рис. 1.18.

Графическое вычисление суммы двух тенэоров называется тпензор Я, у которого индивидуальные вектпоры являются суммой соответствующих вектпоров от тензоров Т и В: 8 = Т+ В = [еь(а+ с)ез(Ь+ д)). (1.66) Таким образом, графическое правило сложения двух тензоров заключается в сложении соответствующих индивидуальных векторов по правилу параллелограмма и неизменности двух фиксированных векторов, в результате снова образуется объект вида (1.64) (рис.

1.12). Б. Скалярное умножение тензора на вектор ОпРЕНЕЛЕНИЕ 1.9. Скалярное умножение пьензора Т на вектор с справа представляепь собой вектор ь1, образуемый путем сложения двух уьиксированных векпьоров еь и ез, умноженных предварительно на скалярные произведения с с индивидуальными векторами а иЪ: Т с = [еьаезЬ] ° с = еь(а ° с) + ез(Ь с) = ь1. (1.67) Графический способ построения такого вектора ь1 вытекает из определения и показан на рис. 1.13. Скалярное умножение тензора Т на вектор с слева дает вектор ь, представляющий собой сумму индивидуальных векторов а и Ь, предварительно умноженных на скалярное произведение с с фиксированными векторами еь и ез.

с ° Т = с ° [еьаезЪ] = (с ° еь)а+ (с ез)Ь = Г. (1.68) Графическое построение вектора Г показано на рис. 1.14. 1.3. Геоыет ическсе оп еделение тензо а 39 Рис. 1.1б. Графическое вычисление произ- ведение тензора на скалкр В. Умножение тенэора на скалэр Опрвдвлвнив 1.10. Умножение тенэора Т на скаляр ез представляет собоб гпенэор узТ, индивидуальные векторы которого получаются умножением соответствуюизик векторов а и Ь тенэора Т наез: езТ = р[езаезЬ) = [ез(~ра)ез(узЬ)).

(1.69) Графическое изображение тензора 9зТ становится очевидным: надо просто умножить оба индивидуальных вектора а и Ь на число 3з (рис. 1.15). 1 0.4. Компоненты тензора Опрвдвлвнив 1.11. Компонентами тенэора Т называют Рис. 1.1оо. Графическое вычисление скалкрного произведение тензора нв вектор Рис. 1. Ц.

Графическое вычисление скалкрного произведение вектора нв тензор Главе 1. Тенко нвк елгеб в 40 двойные скалярные произведения тснэора Т слева и справа на век- торы базиса ег. Тээ — — ееэ Т еэ = ег ° (езаезЪ] еэ. (1.70) т,=ь т„=а а=а ег=аге, Ь = 67еэ = бэе~. (1.72) Аналогично получаем Тзз = ез ° Т ° еэ — — ез ° (ег(а ° еэ) + еэ(Ь ° ег)) = ез ° (аэез + 6геэ) = аз (1.73) Тм = ез ° Т ° ез — — йы Тзз = ез ° Т ° ез = бэ Таким образом, доказана следующая теорема. Творима 1.6. Компоненты Тгэ тснэора Т совпадаюга с соответствуюгмими компонентами его индивидуальных векторов аг и ь,. Теорема позволяет графически изобразить компоненты тензора (рис. 1.16).

1.3.5. Компоненты теизора в новом базисе е~ Выберем теперь произвольный базис Вг, связанный с е' якобиевой матрицей (см. (1.6)): Вэ =Югеэ, (1.74) и вычислим компоненты тензора Т в этом базисе по правилам (1.70); Тээ = Вэ ° Т ° Вэ = Вг ° (езаезЬ] ° Вэ = = (Вэ ез)(а Вг) + (Вг ез)(Ь ° Вэ). (1.75) Рис. 1. 16.

Геонетрнчеекое представление компонент тензорв второго ранга Вычислим сначала скалярное произведение справа, пользуясь правилом (1.67), а затем скалярное произведение слева (1.68), в результате получаем: Ты = ез (ез(а е„) + ез(Ь ез)) = = ез . (азез + йгез) = аы (1.71) Здесь аэ и бг — компоненты векторов а и Ь в базисе еэ: (Напомним, что поскольку базис ег— декартов, то все ааэ и а совпадают). 1.З.

Геомет ическое оп енеаение тензо а 41 1 с=а а='2 е е=Ь РНС. 1. 17. Графическое изображение базиснмк тензороа Здесь мы используем свойства: Вг ес = 1Е гсея ес = збсг, Х— (1.76) а Вз =а ек.В.г = а~Я~зсег ек = акга тогда с учетом определения (1.73) компонент тензора в декартовом базисе из (1.75) получаем: Тгг = Я11ЯКга + сзсгГЯКЗй = Я Щ з Тгк+Я Д~~уТгк = 9~1ЯзгТск, (177) т.е. компоненты тензора Т (1.70) преобразуются подобно компонентам вектора (1.28). Такое правило преобразования компонент называют тензорназм законом. 1.3.6. Базисные тензоры Произвольный тензор второго ранга может быть представлен в виде суммы некоторых фиксированных тензоров — базисных тензоров.

Такие базисные тензоры Т~г з1 образуем, выбирая в качестве пары векторов (а и Ъ) нуль-вектор 0 и какой-либо базисный вектор ег: Т1111 = [е10егег), (1.78) Т(111 = [егегегО], Т<111 = [егегегО]. Т<гг1 = [е10егег], Глава Д. тензо нае алгеб а а, р=де + а е' + Ъ, е + Ъ е, е, е, аз Рис. 1.18, а. Графическое рвзлозгение тензора второго ранга по базисным тензорвм а2 2 а1~ + а2 е, е, а, Рис. 1.18, б. Графическое рвзло1кение вектора по базисным векторам Графически базисный тензор Тгддр следуя общему правилу, естественно изобразить как "двойную стрелку" из векторов ем одна из которых проведена "жирной" линией, а вторая, соответствующая вектору а — простой.

Действие же нуль-вектора О на вектор, стоящий слева, дает изображение "нуль", т.е. нихак не изображается. Тогда базисный тензор Т(зз) будет изображен двойной стрелкой векторов ез, тензор Тгдз1 — совокупностью только двух векторов ед и ез = а, причем ед изображается жирной стрелкой, а ез — простой, т.к. в данном случае он выступает в роли индивидуального вектора а.

Тензор Тгзд1 также изображается совокупностью двух векторов ед = Ъ и ез, где ез показан жирной стрелкой, а ед — простой (рис. 1.17). 1.3.7. Разложение тензора по базисным тензорам ТЕОРЕМА 1.7. С помощью операддий сложения и умножения на число, введенных в п.1.8.8, можно аслниб гпснэор Т прсдстааитль нан сумму четырех базисных тензоров: Т = адТ<ддд + азТддзд + ЬдТдздд + ЬзТ(ззд (1.79) и В самом деле, используя правила (1.66) и (1.69), получаем: [ед(адед)езО] + [ед(азез)езО] + [едаез(Ьдед)] + [едбез(Ьзез)] = =' [ед(адед+ азез)ез(Ьдед+ Ьзез)] = [едаезЪ] = Т.

и (1.80) 1.3. Геоиет ичееиое оа еделение тенер а 43 С помощью формулы (1.79) можно графически представить разложение тензора Т по базисным тензорам: это есть сумма четырех описанных в п.1.3.6 базисных тензоров (рис. 1.18, а). Это изображение является аналогом графического изображения для разложения вектора а по базисным векторам (рис.

1.18, 6). Используя теорему 1.6, разложение (1.79) можно записать с помощью компонент тензора Т~з: Т = Т" Т<„,. (1.81) Здесь, как и всегда в декартовой системе координат, Т совпадают с Тгз. 1.8.8. Единичный тензор Если в качестве индивидуальных векторов а и Ь выбрать базисные векторы ег и ег, то получим единичный тензор Е: Е = [егегегег] (1.82) Графическое изображение этого тензора есть совокупность двух "двойных стрелок" из векторов ег и ег (рис. 1.19).