Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление, страница 86

Т . Р) ..р-з .,у-зт + (рт . Т . Р),у-з . р-'т— 2 2 1 =Р' Т.р"-(Р-' т-"+АР-'.Р-") =-Р' Т Р "АЛ. 2 (П.20) Здесь мы использовали выражение для дифференциала тензора Л = з(Š— Р з ° Р гт) = з(Š— 15 з) тогда 1 -ИЛ=-(АР-1 Р-1т+Р-1.3р-зт). 2 (П.21) Тогда, вводя новый тензор 03 Т вЂ” Рт. Т.Р, (П.22) получим из (П.20): Ы'А сс Т дЛ, (П.23) Продифференцируем теперь тождество Р ° Р з = Е, в результате получим: ИР Р г+Р ИР г = О. Тогда скаляр ге А можно представить в виде: -д'А = Т ° Р ° ИР ~. (П;16) П ипанение. Эне гетичеекие и квавиэне гетичеекие па ы з59 т.е. представление (П.13) действительно существует, а в качестве первой энергетической пары тензоров выступает пара (з) (з) Т А=С. (ч) Пара: Т С Введем новый тензор: (зг) Т Р-1 Т Р-1т (П.24) и преобразуем выражение (П.12) следующим образом: е('А Р АР Р-г У г(Р Р-г У Р-гт Рт.,(Р (зг) (ч) = т рт "Ар = Т "-(рт Ар+рт бр) = 2 (и) 1 (ч) = т -(Р ° АР+АР ° Р) = т ° г(С, (П.25) Здесь мы использовали свойство (см.

упр. 1.6.1) скалярного произве(ч) дения тензоров А ° В = Ат ° В и учли симметрию тензора Т: (у) (ч) Тт (Т р-зт)т (р-з)т р-г.Т р-зт Т (д 26) а также учли выражение для дифференциала энергетического тензора С: С= —,(Рт Р-Н)=-(Пз-в), АС= — (Рт.АР+АРт Р). (П.27) т 1 з 1 2 2 ' 2 Таким образом, существует вторая энергетическая пара тензоров (ч) (зг) Т С=С.

(щ) Парсы Т 0 Для вывода третьей энергетической пары преобразуем выражение (ч) (П.25), перейдя от Т к Т (П.24) и от С к тензору П (П.27). Тогда из (П.26) получим (щ) И'А = Т ° .ИС = -(Р ' ° Т ° Р гт) ° (П ° гй)+гЛЗ ° П), (П.28) 2 П иноиение. Эне сетические и кввзивне тетические пе ы 550 Раскроем скобки и воспользуемся правилами (1.137) перестановки по- рядка скалярного умножения трех тензоров: с( А Р-1 Т Р-1т 11 1Л) + 1) Р-1 Т Р-1т 1Л) (П 29) 1 1 2 2 Учитывая полярное разложение (П.1): Р=О 1), Р '=1) ' От, Р 'т=О 1) ', (П.ЗО) получаем окончательно бч) Н'А = — (Р ' ° Т ° О (- От Т Р-зт) 1Л) Т 1Л) (П 31) 2 бч) Здесь введен четвертый энергетический тензор Т: (1ч) 1 Т = — (Р ' Т О+ От Т Р 'т), (П.32) бч) парным к которому является тензор 1): С = О.

Л= -(Š— Р ° Р 1т) = -(Š— Б з), (П.ЗЗ) 2 2 где Б з = 1) 1 ° 1) 1. Тогда из (П.23) получаем: 1('А= — -Рз ° Т Р ° ф 1 ° 1Л) +сЛ1 1 ° 1) ') = 1 2 1 1 Рт Т Р 1)-1 сЛ)-1 \3-1 Рт Т Р 1Л)-1 (П34 2 2 Используя свойства (П.30) полярного разложения, получим выражение для се А в виде: (и) с('А= Т о( — 1) 1), (П.Зб) где введен втпорой энергетический тензор: (и) т =-(Рт Т О+О' Т Р), 2 (П.Зб) (и) Пара: Т вЂ” \) Преобразуем теперь первую энергетическую пару (П.23), заменив тензор Л тензором 11 П уложение. Эне гетичеекие и кввзивне гетичеекие ии ы (п) парным к которому является тензор — 1) ! = С. (!П) Пара: Т В Еще одну энергетическую пару можно получить из уравнения (П.29), если вместо Р ' и Р !т подставить их полярное разложение (П.ЗО): пА у-1 От Т О 1) ! ° у ° с(1)+-1) 1)-! От Т О ° у ! "!ЛЯ 1 1 2 2 (П.

37) Меняя порядок скалярного умножения, получаем с('А От Т О Л) 1)-!+ От Т О 1)-! Л) (П 38) т -! 1 т 2 2 Отсюда следует существование пятой энергетической пары: (п!) !('А = Т ° .оВ, (П.39) (п1) где Т вЂ” третий энергетический тенэор: (и1) Т =От ° Т О, (П.40) (п1) а В = С вЂ” !ленэор Био, который вводят с помощью выражения (П.14) . На этом доказательство теоремы завершено. а (в) Обратим внимание на то, что все энергетические тензоры С образованы некоторой степенью правого тензора 7Л и могут быть выражены общей формулой: (в) С = (П" п! — Е), и=1, П, 1Ч, Ч. (П.41) (н — П1) Здесь при каждом и следует сначала вычислить (и — П1) в римских цифрах, а затем перейти к соответствующим арабским цифрам.

Вы(п1) ражение для тензора С = В представляет собой некоторый аналог "нулевой степени" от !). С помощью левого тензора 'Ч также можно ввести пары тензоров (в) (в) Я и А, однако при этом скаляр Ы'А будет зависеть еще и от диффе(в) (в) ренциала тензора ротации оОт, поэтому такие пары ( Б, А) назовем ко аэиэнергетическими. П вложении. Эни готические и кввзиэни готические па ы Таблица Пя. Кввзиэниргетичеокии пары тинзоров Творима П4.

Пустпь выполнены условия теоремы Пу, тпогда скаляр И'А = Р ° НР можно выразитпь с помои)ью одной из следуюи(их пятпи квазизнергетпических пар тпензоровт (и) (и) и с('А = Я ° ИА+ Я ° .дО~, и = 4,..., У, (П.42) (и) (и) где Б, А — симметпричньте тпензоры второго ранга, выражения для о котпорых предстпавлены в тпабл.П2, а Б — некотпорый дополнитпельный тпензор. т Показательство также проведем отдельно для каждой пары.

й) Пара: Я А Рассмотрим первую энергетическую пару (П.23) и перейдем от тензора П з к зт з с помощью соотношений (П.11) С з = От ° 'Ч з О: дтА Рт Т Р ПП-г Рт Т.Р..(дОт.ъ1-з О+ 1 1 2 2 + От д(т-з О+ О' ~-з дО). (П.43) Раскрывая скобки и используя полярное разложение (П.1) и правила (1.137) перемены порядка скалярного умножения тензоров, получим г(тА ~~~т-з Т (т О дОт+~т Т (т Н~-з+ т 1/ 1 2 +1т Т ~т-т "НО О'). (ПА4) Учитывая, что О ° От = Е и, следовательно, дО. О = -О ИОт, (П.45) П ииожение. Эне гетичеекие и квазиоие гетичеекие па ы зез получим окончательное выражение вида (П.42): Ы'А= Б ° г( --Ч ~) + Б ° о(0~, (П.46) (!] о Б=Ч ° Т ° Ч, Б=-(Ч Т ° Ч 1 — Ч ' ° Т ° Ч) ° О, (П.47) 2 -г 1 -зт А А (Е Ч-г) (Е Р-зт Р-!) (П 48) 2 2 Таким образом, доказано существование первой квазиэнергетической (1) пары Б А.

(П) Пара: Б (-Ч !) Если в (П.46) отдифференциалаИЧ з перейти к Н~ 1, то получим г('А= Б ° о(Π— -Ч ° Т ° Ч (Ч ' о(Ч '+г(Ч 1 Ч !) = о 2 = Б ° ИΠ— -(Ч ° Т+Т Ч') ч(Ч '. 2 (П.49) Здесь вновь использовано правило (1.137). В результате приходим ко второй квазиэнергетической паре: (п) о о('А= Б !((Š— Ч !)+Б оОт (П.50) (и) где обозначен второй квазиэнергетнческий тензор Б: (п) Б = 2(Ч Т+Т Ч), (П.51) (П) (п] а в качестве А, очевидно, выступает тензор А = Š— Ч !. (О Р) где первые квазиэнергетические тензоры Б, А и вспомогательный о тензор Б можно выразить следующим образом: П ипожеиие. Эие гетические и кввзиеие гетические пе ы Пара: Т У Воспользуемся третьей энергетической парой (П.39) и перейдем от дифференциала ой) к с(Ч: о(оА От Т О (ЛУ ° 1) э+П г ° сИ) сс От Т О 1 1 2 2 (о(0 Ч О+О ° Ч О+О Ч аО) О ° Ч ° О+-О .Т О т 2 0 ° Ч ' ° 0(о(0 ° 'Ч О+ 0 ° о(Ч ° О+ О ° Ч ° о(О).

(П.52) Меняя порядок скалярного умножения тензоров в каждом из этих сла- гаемых, получим о(А (Т О о(От+ Ч-г Т о(Ч+Ч-з Т Ч АО От+ 1 2 + Ч Т Ч-г ОпОт + Т Ч-г о(Ч+ Т огО От) (П 53) Используя соотношение (П.45), получаем, что первое и последнее слагаемые взаимно сокращаются, и выражение (П.53) можно привести к виду: о о('А = Т ° ч(К+ Б с(О~, (П.54) где введен новый тензор Ъ', подобный тензору Био В, определенный своим дифференциалом: (Л'.55) который является третьим квазиэнергетическим тензором: (гп) А =Ъ", (гп) Б =Т. (П.56) ) о о(оА (Ч-г Т+ Т Ч-з) о(Ч+ Б ЙОт (П 57 что доказывает существование четвертой квазиэнергетической пары: бч) о о('А = Б чЮ+ Б о(От (П.58) бч) Пара: Б Ч Выражение (П.54) с учетом (П.55) можно легко преобразовать к' виду: П уложение.

Эне гетическис и кввоионе готические ив ы звэ где определены четвертые квазиэнергетические тензоры: (тч) 1 (тч) Б = -('Ч' Т+Т ° Ч 1), А = Е+'Ч. 2 (П.59) (ч) Пара: Б Л Преобразуем выражение (П.57) следующим образом: 1 о т('Асс -(Ч ' Т °:Ч 1 ° 'Ч ° т(Ч+Т ° 'Ч ° т(Ч ° 'Ч Ч 1)+Б с(О 2 1 о =Ч-' Т Ч-1"-(Ч АЧ+АЧ Ч)+Б "Ют. 2 (П.60) Отсюда следует существование пятой квазиэнергетнческой пары: (ч) о т('А = Б ° чЦ + Б т(О~, (П.61) где пятый квазизнергетический тензор определим следующим образом: (ч) Б=Ч ~ ° Т ° Чт.

(П.62) Парным к нему является тензор (ч) А Л (Ч Е) (Р Рт Е) (П63) 2 2 Показательство теоремы П4 закончено. (в) Заметим, что все квазизнергетические тензоры А образованы (и— П1) степенью левого тензора 'Ч: (в) 1 А = (Ч" П1 — Е), и =1, П, 1Ч, Ч, (П.64) тт — 111 (в) т('А = т(тР, т)т = ф(С) Ып Е (1... У), (П.65) ()П) а выражение для тензора А = Ъ' представляет собой аналог "нулевой" степени от Ч. В заключение приведем еще две теоремы, поясняющие смысл введения энергетических и квазиэнергетических пар тензоров. ТеОРемА П5.

Лустпь выполнены условия поеоремы ПЮ, и кролое тпого екаляр т(тА являетаея полным т)ифференциалом скалярной поен(п) зорноб функции у) отп С, та.е. П вложение. Зве гетические и кавзизие гетическиеив ы збб (и) тогда энергетические тензоры Т являются потенциальными (и) тензорными функциями огп энергетических гпензоров С.

Доказательство очевидно, так как из (П.13) и (П.65) дф (и) (и) (и) (и) (а) = (ду)/дС) ° ИС = Т дС, откуда в силу независимости г(С получаем: (и) (и) Т = ду)/дС. (Л.бб) ТеОРемА Пб. Луспьь выполнены условия теоремы ПЗ, и кроме того скаляр д'А является полным дифференциалом скалярной гасн(и) варной функции гр от двух тенэорных аргументов А и О, т.е.

(Л.67) (и) (и) гпогда квазиэнергетические тенэоры Б и А связаны псевдопогпенциальнььни тензорными функциями. и Доказательство легко следует из (П.42) и (П.67), так как (и) (а) (и) (и) е дф (д))/дА) ЫА + (дф/дО) От И~А Б А + Б г?От (и) (и) В силу независимости дифференциалов НА и дО (тензор А — симметричный и имеет шесть независимых компонент, а Π— ортогональный и содержит три независимые компоненты), получаем: (и) (и) Б = ду)/дА, (Л.68) е Я = дгр/дО. (Л.69) Соотношения (П.68) и (П.67) представляют собой согласно определению 5.18 псевдопотенциальную тензорную функцию, а уравнение (П.69) накладывает определенное ограничение на вид функции у) (П.67). А Энергетические пары при и = 1, П1, 1Ч и Ч в систематическом виде были получены Хиллом [50], пара при и =?1 была установлена К.Ф.Черных [43], а квазизнергетические пары — автором данной книги [14].