Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление, страница 83

Пля этого тензора также используют интегральное обозначение: 1Т = Тт*"з"е;,8...Эе;„= / дх "Йт '"' "1(х). (9.24) дс Обозначение для элементарного радиуса-вехтора дх = дхтет использовано в (9.23) и (9.24) на том основании, что при Ь~ — + О малые векторы Ьх~а1, как было отмечено в п.7.1.2, стремятся к элементарному вектору 0х вдоль кривой Е. Здесь и далее запись Й,"'" " означает, что (и — 1) компонента 1„,... ...1 „ПРИНИМаЮт Зиаченик 11...

1„, а По 11 Идет СуММИроВаНИе. Заметим, что хотя формально в (9.21) свободные индексы слева и справа не совпадают, тем не менее формула (9.21) записана по обычным правилам расстановки индексов, и ее следует расшифровывать так. При конкретных значениях подстановки (тт...т„), например (тт, и — 1, п — 2,..., 1), индексы 1„„... 1„„всегда принимают значения из набора (11... 1„). Пля нашего примера это (1„, 1„1,...,11). При этом по индексу 11 в (9.21) идет суммирование, для нашего примера это Ьхттй " " '"';* .

Такая запись будет использоваться и в дальней- и шем. Устремляя максимальное приращение параметра ЬС к нулю: т.'1с — + О, а тт' — + оо, предполагаем, что при этом существуют следующие пределы для каждого набора индексов 11... 1„ Глава 9. Интег и гение темзе е 540 "Т = Т""'"е;, 99...8е;„= 1 дхх "й~ '"' ")(х), (9.25) е'с Т"""'" = в 1ИБ;у ) Й "', ""(х )Нх'.

(9.26) /с Здесь вьйз — символ Леви-Чивиты (см.п.1.4.1). Если в формулах (9.20) — (9.24) также поменять знак (.) на знак 8 тензорного умножения, то получим взенэорный криволинейный инвзеграл второго рода: "+зТ = Т"'"'"+'е;, ®...Эе;„„, = / дх®ей(х), (9.27) ус где Т""'"+' = / й'н'ивы(~')д~". в'с (9.28) 9.1.8. Связь между криволинейными интегралами первого в второго рода Тем же способомз что и в п.9.1.1,можно показать, что компоненты Т""'", Т" "'", Т"-'"+', определяемые по формулам (9.23), (9.26) и (9.28) преобразуются по тензорному закону при переходе в новую систему координат, и, следовательно, криволинейные интегралы второго рода (9.24), (9.25) н (9.27) являются тензорами (и — 1)-го, н-го и (и + 1)-го рангов, соответственно. Установим теперь связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

Пусть кривак Ю задана в параметрическом виде (9.15). Используя формулы (7.9) и (7.10), от элементарного вектора дх можно перейти к элементарной длине дуги: дх=Ыв, 5=4чеь (9.29) Тогда интеграл (9.24) можно представить в виде обычного определен- ного интеграла: а-ЗТ / ее еУ)(пан..е1 )( ) ) /о (9.30) здесь длина дуги выступает в роли переменной интегрирования, из- меняющейся от 0 до 1. Если в формулах (9.20) — (9.24) мы поменяем знак скалярного умножения ( ) на знак векторного умножения (х), то получим векторные криволинейные инвзегралы вгаорого рода: 9.1. К иволинейные интег влы от тенео в В компонентной записи формула (9.30) имеет вид: 9кг...1„й~-з.-' - ( )л, (8)Д8 уе (9.31) Здесь зч(8) - компоненты единичного вектора касательной к кривой С (т.е.

косинусы углов, которые имеет касательная к кривой с осями декартовой системы координат). Аналогичным образом можно преобразовать векторный криволинейный интеграл (9.25): г! Т = й(8) х й ' " (8)гзз, Т и " = е 1!(8)й (8)!88; о ое (9.32) и тензорный криволинейный интеграл (9.27): г! ! "+ Т= / $(8) Звй(8)дз, Т""'"+' = !' 1!'(8)й""олы(8)!Ь. (9.33) о !о Формулы (9.17) и (9.30), (9.32), (9.33) устанавливают связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Если кривая С задана в параметрическом виде (9.2), то криволинейные интегралы первого и второго рода (9.17) и (9.30) можно представить следующим образом: з ! г 1/г У'"'" = ( й""'"(4) ~ ~( — ~( !14, (9.34) а также х.вй1лн...т )ф.

(~ Т! ... й' -' (е) в ц (9.35) То же самое представление можно получить и для векторного и тензорного криволинейных интегралов. Если направление интегрирования по 4 или по 8 меняется, то меняются местами точки х!о1 = х(ее) и х!8!! = х(С!8), а у интегралов (9.17), (9.30), (9.32), (9.33) — пределы интегрирования и знак " +" на " —" перед интегралом. плавая. Ивтег в рва«лете«во ов ь42 Пусть теперь тензор «й является не произвольным, а потенциальным (см. 26.2): «й = ч Э « 'Ф = ~7 Ф"'"'"В." 8 В.; Э... Э В„(9.36) где " 1Ф вЂ” тензор-потенциал (и — 1)-го ранга.

Вычислим для него подынтегральное выражение в скалярном криволинейном интеграле (9.24), выбирая подстановку транспонирования специальным образом: (тг... пг ) = (1, тг, ° ° ., т«), (9.37) т.е. на первом месте обязательно стоит индекс 11, а все остальные индексы произвольны.

Тогда подынтегральное выражение дх. «й11е«е ы ) (дХ1В.) . 17. Фе к. ~ „Вн 8 В. 8 8 В. 1 д — ~7.Ф 1"' -1дХ|В4 ~ ~В, «-1Ф~ио.е«„-1дջ— 1 дХ' дп-1Ф вь..пъ. 1 (9.38) представляет собой полный дифференциал от тензора потенциала. Записывая формулу (9.38) в декартовой системе координат (Х' = хг), подставим ее в (9.24), в результате получим: «-'Т = ( д"-'Ф -"-- ( ) = (Я) — " (О) — Ф~'"'т"-' (х ) — " Фт'" т"-' (х ) (9.39) где использована формула Ньютона-Лейбница интегрирования дифференциала от обычных функций.

Таким образом, доказана следующая теорема. Тногимя 9.2. Если тензор «й — потпенииален, т.е. удовлетворяегп (9.367', то сквлерный криволинейный интеграл второго рода от него не зависигп от кривой С, по которой происходит интегрирование (т.е. от "пути интлегрировония"), и определяется только разносгпью значений кгензора потенциала «1Ф в конечной и начальной точках. 9.1.4. Независимость скалярного криволинейного интеграла от пути интегрирования гз. К иволивейиые иитег алы от тевзо в 543 9.1.5. Криволинейные интегралы по замкнутому контуру Если у кривой ь" начальная и конечная точки совпадают: Х(Е) = Х(зу), тО тахаЯ КРИВаЯ НаЗЫВаЕтСЯ ЗаМКНУглай ИЛИ ЭаМКНУтЫМ контуром.

Криволинейные интегралы первого и второго рода (9.11), (9.24), (9.23) и (9.27) в этом случае обозначаются следующим образом: ая — ф вй(х)бг, эс 'Т = ф дх "й( '"' ")(х), (9.40) ус "Т = ез з(х х "й( '"'м")(х), "+ Т = й ЫхЭ "й(х). ус ус ай гу 8 а-ззр то циркуляция любого егв транспонированного тензора "й(змз-™ ) равна нулю: бх. вй(з (9.41) Упражнения к 2 9.1. Упражнение 9.1.1.

Показать, что длв вектора а при и = 1 криволинейные иитегрвлы второго рода (9.24), (9.25) и (9.27) могут быть предстввлеиы в виде: (щ с(х ° азс а Их, $щ Иххащ — ахах, ус ус ус ус Т = с(х®а = перс(х Упражнение 9.1.2. Показать, что если и = 2, то криволиисйиые интегралы второго рода (9.24), (9.25) и (9.27) могут быть представлены следующим образом: ,т з(х ° й= йт ° з(х, Т= Ыххйщ — йт хс(х) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.3. Скалнрныб криволинейный интеграл в (9,40) по замкнугпому контуру называют ц ир куляц и е б те нэ ар а "Й.

Если тензор "й потенциален, то для него имеет место формула (9.39), но если скалярный криволинейный интеграл берется по замкнутому контуру, то начальная и конечная точки кривой совпадают, а значит и значения тензора потенциала " 'зр в них также совпадают. Таким образом, имеет место следующая теорема. ТеОРемА 9.3 (о циркуляции потенцийльного тензоРА). Если тенэор "Й потпснциален Глава 9. Интас и ванне тензо ов (гзз) 'т = ) з*е е = () е аз*) 'Упражнение 9.1.3. Иокаэать, что дпя двусвязной области У в трехмерном евкпидовом пространстве циркуляция потснцивиьного тензора является постоянным тензором (не зависящим от координат): дх ай(з"'з"'""~ = а зт = со в С если интеграп берется по любому, лежащему в обвести У контуру, несводимому я-1 непрерывным преобразованием в точку, причем тензор я одинаков дпя всех таких контуров.

1 9.2. Поверхностные интегралы от тензора 9.2.1. Поверхностный интеграл первого рода Рассмотрим теперь некоторую ограниченную поверхность Е в трехмерном евклицовом пространстве, заданную параметрическим образом (7.40): х' = х'(Хз,Хз), 3'= 1,2,3, (9.42) где Х - криволинейные координаты на поверхности. Предполагаем известными (см.

например [39]) сведения о том, как определяется поверхностный интеграл 7'(х')дЕ от классической функции 7'(х'), заданной на поверхности Е. Здесь дЕ - площадь элементарной площадки поверхности, определяемая по формуле (7.63). Пусть на этой поверхности Е задан тензор и-го ранга "Й(хс) с декартовыми компонентами Й"""(х'(Хз, Хз)) (этот трехмерный тензор, вообще говоря, не совпадает с двумерным тензором на поверхности, введенным в п.7.2.3).