Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление, страница 84

Опрпдилппин 9.6. Поверхностным интегралом первого рода ат тснзора "Й называют тснзвр и-гв ранга "Б, компонентами которого в декартовой системе кординат зчп'з" являютсз поверхностные интегралы от компонент Й""'", т.е. "Б = У'"з"е;, ®... ®е,„= "Й(х)дЕ, (9.43) Е.з. Паве хноетные ннтег ввы от тенер в 545 где Я$$-. ° Й$$-л ( $) ~Е (9.44) Так же как это было проделано в п.9.1.1, можно показать, что очи "Я" преобразуются по тензорному закону: Я$$...$ Р$$ Ри Я»$ ьи 1$ ''' ь„ (9.45) при переходе в другую систему координат: Кв = 1,111е;.

Заметим, что здесь якобиевы матрицы фь и Рр не зависят от координат х'. Формула (9.45) позволяет получить компоненты тензора "Я поверхностного интеграла в любой системе координат. Используя формулу (7.63) ддя НЕ можно записать поверхностный интеграл (9.43) в виде: »Б = П -Й(ХТ),Г9дХ1дХз, 3 Увх (9.46) где тензор "Й(х'(Х )) = "Й(Х ) рассматривается хак функция криволинейных координат, а Ех представляет собой двумерную область значений этих координат Х, соответствующую поверхности Е в трехмерном пространстве.

В этом случае для поверхностного интеграла используется обозначение в виде двойного интеграла. Формула (9.46) называется формулой замены переменных в поверхностном интеграле. 9.2.2. Поверхностные интегралы второго рода АЛЫЕ = р1 х рздХ'дХ, (9.47) здесь и - вектор нормали к поверхности Е. В декартовом базисе этот вектор на основании (7.44) имеет вид: з пдЕ = ",т, р, рР ет(Рь'Р11Ы д4 = а=1 з дха$1хеет, а ~ )р ф т ~ а, а, 13, у = 1, 2, 3, (9.48) а=1 $1 Тсизирисс исиисиииис Если дпя определения криволинейных интегралов второго рода использовался элементарный радиус-вектор кривой Нх, то для аналогичных поверхностных интегралов второго рода применяется вектор ориентированной площадки (7.63): пЫЕ, который согласно (7.62) можно представить в виде: Гнввв 9.

Интас и винце тента ов где р'г - якобиева матрица поверхности (7.44), а Рзь — обратнаг яко- биева матрица на поверхности: дХ~; дхе (9.49) Опгпдилипни 9.7. Скалярным поверхностным интегралом второго рода от тенэора нй) "" ") называют следующий тенэор (и — 1)-го ранга: Т = Т'*'"'"е;, ®... Э е; = и ° вй( '- ")(х)ЫЕ. (9.50) /в Здесь з Г'"' = Е)) и"' "') ')б"~ а~ )9.51) ааи Опгидилинии 9.8. В е к торн ы м поверхностным интегралом второго рода от тензора "й( '"' ") называют тензорп-горанга "Т, определяемый по )э)ормуле) "Т = Т""'"е;, 8... 9 е;„= и х вй)ы'"'ы")(х)ВЕ. (9.52) Тензор "Т имеет следующие компоненты в декартовом базисе: з Т"'*"'" = ~ е " (( йса '"'"" (х'\Йхддх'" (9.53) ааз э эх Опгидипиннн 9.9. Тензорным поверхностным интегралом второго рода от тенэора "й называют тензор (и+ 1)-го ранга "+зТ: "+'Т = Т""'""е<, 8...

8 е;„+, — — и 8 "й(х)ЫЕ. (9 54) Компоненты этого тензора в декартовом базисе имеют вид: з и'-" ' = Е // Й"-' 6'+а '~*~ 7 а им (9.55) — двойной интеграл, определяемый как'для обычных классических функций. Областью интегрирования здесь является двумерная область Ев изменения координат х, а = 1, 2, соответствующая поверхности Е. 9.2. Паве хноотные ннтог аны от тенво а 9.2.3. Формула Стокса Эти формулы позволяют от поверхностных интегралов переходить к криволинейным.

Предполагаем известной (см. например [39]) формулу Стокса для классической, непрерывной вместе со своими производными скалярной функции у(х'), заданной на некоторой кусочно-гладкой незамкнутой поверхности Е, ограниченной кусочно-гладхим замкнутым контуром ь: у(х')аху = ез / бь —,ИЕ. ы/ ду с в (9.56) Формула записана в декартовой системе координат, где бь - компоненты вектора нормали и к поверхности Е, направление которого выбирается согласованно с направлением обхода контура Е от начальной точки к конечной: из конца вектора и, проведенного в любой точке поверхности, обход контура С виден осуществляемым против часовой стрелки. Умножая (9.56) на вектор базиса е, получим инвариантную форму записи формулы Стокса: у(х')ахуеу = / е убь —,ездЕ, Г ы ду д*' или у(х)Ых = и х туаЕ. с (Е (9.57) Здесь использованы определения векторного произведения (1.33) и градиента скаляра (6.15').

Обообщением формулы Стокса (9.57) на случай тензора произвольного и-го ранга является следующая формула: Их® "й(х) = / и х Ч® "й(х)ИЕ. с ун (9 58) В декартовых компонентах эта формула имеет вид: й"""+'(х')ах" = е"ы / пя —,й""'"+'(х')НЕ. (9.59) <юг д-; ах "й(х) .= (и х 17) "Й(х)ЫЕ. (9.60) Справедливость формулы (9.59) непосредственно следует из (9.56), поскольку при каждом фиксированном наборе индексов 1з... 1„аз формула (9.59) в точности совпадает с (9.56). Эта формула (9.56) называется тензорной формулой Стаонса. Для тензоров имеет место также скалярная формула Стокса: Гнвввз. Интег и рвение генно в 548 В декартовом базисе зта формула имеет вид: дх"й';,"'"(х') = е"ы/ бь —,й';*,"л" (х')дЕ. (9.61) г д с н Перепишем формулу (9.61) следующим образом: '(~ Йх Й'„*"л" (х') — е "' ( пь — й"""аЕ = 0.

/ г,,, „г д Фиксируя какой-либо набор индексов гз...1„, для каждого из значений о = 1, 2, 3 в скобках мы снова получим формулу Стокса (9.56), где роль 7' играет функция й""'". Таким образом, из (9.56) следует истинность скалярной формулы Стокса (9.60). Очевидно, что любая перестановка индексов 4з...з„не изменит сути доказательства, позтому имеет место скалярная формула Стокса, обобщающая (9.60)." дк ° "й1 '"' "1 = /(п х 17) "й1 '"' "1дЕ. (9.62) с /в Наконец, имеет место векторная формула Стокса: (9.63) Ыхх "й= (пх 17) х "йдЕ, которая в декартовой системе координат выглядит следующим обра- зом: е,ы, Ихой'"'"'"(х') = евуч,езь~ пь — й'и"'"(х')дЕ.

(9.64) ыг д-;< с х Преобразуем зто выражение к виду: е,;, г1хуй""''и" (х') — езы / ив —,й'и'"дЕ = О. (9.65) l д Сравнивая (9.56) с выражением в скобках при каждом фиксированном наборе индексов зз... г„, убеждаемся в том, что из (9.56), очевидно, вытекает (9.65), что и доказывает истинность векторной формулы Стокса (9.62) . 549 9.3. Паве хностные интег злы от тензо а Упражнения к 3 9.2. Упражнение 9.2.1. Используя (6.39), (6.31), показать, что при п = из (9.63) следует: Ихха= ~ (и ° (ЧЭа) — п®Ч ° а)НЕ, э(х х х щ — 2 пИЕ.

с сЕ Упражнение 9.2.3. Показать, что из (9.3в) и (9.6о) при и = 1 следует; с(х ° а = а ° с(х = (и х Ч) ° аИЕ = и ° (Ч х а)с(Е, Е Нх®а= (их Ч) Фаз(Е. -/ /Е 'УпРажнение 9.2.4. Показ ь, что из (9.ВО) и (9.63) лри ц = 2 следует: с(х й = ~ й~ ° Их = ((и х г7) ° йс(Е, с /с ГЕ с(ххйщ / (их Ч) х йс(Е. с 3Е У'пражнение 9.2.5. Используя скалярную формулу Стокса для вектора (см.уцр.9.2.3) и теорему о среднем для поверхностною интеграла, показать, что ("7 х а)„= и ° (Ч х а) = 1 1пп — ~ а вэ(з, дŠ— 0 ~~Е Удс т.е.

проекция ротора вектора а нв произвольное направление с вектором П в точке М (с вектором х) есть предел отнощения циркуляции этого вектора а вдоль малого контура ЬС, огрвничиваюпзего малую плоскую площадку ЬЕ, которая содержит точку М, к площади этой пло. щадки СэЕ (см. ри«.9.2). Рис. 9.2.

К упр. 9.3.3. г е а есть вектор "й при и = 1. где а есть к Р Р Упр 9.2.2. Используя результат упр... и п...,п а .9.2.1 и п.бя.в, показать, что если в качестве а выбрать радиус-вектор Х, то Глава Э. Интег и ванне тензе в ззо 3 9.3. Объемные интегралы от тензора 9.3.1. Элементарный объем Как и в случае поверхностного интеграла, предполагаем известным определение объемного интеграла (см.например [39)) 7" (г') аУ (9.66) от функции 7'(г'), заданной в области г' трехмерного евклидова пространства.

В формуле (9.66) аУ вЂ” это элементарный объем, который определим следующим образом. Возьмем прозвольную точку М и выпустим из нее три элементарных радиуса-вектора ах вдоль координатных линий Х . Эти три вектора всегда будут линейно независимы, поэтому можно получить некоторый объем а'и", вычислив по (1.58) смешанное произведение этих трех векторов: сЬ = Ыхз (Ыхз х йхз). (9.67) Так как ах„= — бХ = К дХе, дх то получаем с учетом (1.58): (9.68) аг' = Кз ° (Кз х Кз)аХ~аХгаХз (дЫХзНХзНХз (9 69 — выражение для элементарного объема параллелепипеда, построен- ного на векторах Ых . 9.3.2. Определение объемного интеграла от тензора Пусть имеется тензор ае1(х), заданный в некоторой области 1г евклидова трехмерного пространства.

Объемным интегралом от компонент тензора назовем интеграл вида: (9.70) "Т = 7""'"е;, 8... 8 е; = "й(х)аК (9.71) где при каждом фиксированном наборе индексов 1д... е„имеем обычный объемный интеграл (9.66) от классической функции. Опгвдвлвнив 9.10. Объемным интегралом от тензора "й называют тензор и-го ранга "Т, имеющий комноненты в декартовом базисе, вычисляемые но (9. 707'. Для этого интеграла используем обозначение: Е.З.

Объемные интег елы от тенер и 551 Используя формулу (9.69), объемный интеграл (9.71) можно представить в виде трайнога интеграла: "Т = И "И(Х')ЛдкздХздХз, (9.72) 9.3.3. Формула Гаусса-Остроградского Формула Гаусса-Остроградского является аналогом формулы Стокса и позволяет переходить от объемных интегралов к поверхностным и наоборот.

Полагаем известной (см. например [39]) формулу Гаусса-Остроградского для классических функций у(г'), заданных в некоторой замкнутой трехмерной области У, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью Е: оу „ (9.73) где функция 7(г') предполагается непрерывной вместе со своими производными вплоть до границы Е области У. Формула (9.73) записана в декартовой системе координат, где и компоненты вектора нормали к поверхности Е, направленной во внешнюю сторону по отношению к области т'. Умножая (9.73) на векторы базиса, приходим к инвариантной записи: 1(х')й е'дЕ = / —.ведат", / 5 Г дУ' /~. дгу или Дх)пдЕ = ~7ЯК (9.74) 9.3.4.