Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление, страница 85

Формулы Гаусса-Остроградского для тензоров Обобщением формулы (9.74) на случай тензора и-го ранга является тензарная формула Гаусса-Остроградского: пе"а(х)дЕ= / уе "йдК / Е (9.76) В декартовых координатах она имеет вид: и Й" "'5ы(с')ЫЕ = — 01м'"т'ду / у д (9.76) здесь тензор "Й рассматривается как функция криволинейных координат, а И представляет собой трехмерную область значений этих координат Х', соответствующую области Р' в трехмерном пространстве. Формула (9.72) называется также формулой замены иеременныг е объемном интеграле.

Глава Е. Интег и ванне тенер в 552 Формула (9.76) является очевидным следствием (9.73), т.к. фиксируя какой-либо набор значений индексов 12... зевы мы сразу получаем формулу Гаусса-Остроградского (9.73) для классических функций. Скалярной формулой Гаусса-Остроградского называется следующее обобщение формулы (9.73) для тензоров: и ° "йдЕ = С7 "йдк (9.77) В компонентах эта формула имеет вид: к й""'"(к')ЫЕ= ) ~7 й'н'"(х')НК (9.78) /„ в Лля доказательства этой формулы перепишем ее в декартовом базисе: Е Де.е'*-'зев-) — е- -'.и) =о. Зафиксировав какой-либо набор индексов 12...

з„, для каждого из значений сг = 1, 2, 3 в скобках вновь получим формулу Гаусса-Остроградского (9.73), где роль у играет функция й ""'". Следовательно, из (9.73) немедленно вытекает истинность (9.78) н (9.77). Очевидно, что для любой перестановки индексов зз... 1„ход доказательства будет таким же, поэтому имеет место формула, обобщающая (9. 77): и ° "й1 "" "~НЕ= и ° "й~ '"' "1НК (9.79) Векторной формулой Гаусса-Остроградского называют следующее обобщение формулы (9.73): (9.80) которое в декартовой системе координат имеет вид: гпн / И й""" сЖ = ем"! —.й""" дК (9.81) г д Локазательство того, что (9.81) является следствием (9.73) проводится так же, как и для скалярной формулы Гаусса-Остроградского.

Формулу (9.80) можно также применить и-для транспонированного тензора: пх "й1 '"' "1с1Е= ч х "йран" "1с1К (9.82) / 553 9.3. Объемные интег елы от тензо а или в базисе е;: 7 д -;„,...с„„ Й "" "с)Е = с'з» / —.Й Упражнений к 3 9.3. (9.83) ической системе координат 9.3.1. Показать,что в пилиидрич Упражнение элементарный объем ( . ) (9.69) имеет вид: с)К = тс)тс(срсЬ.

он с е ическойсистемекооряи нвт элеменение 9.3.2. Показать, что в сфери тарный объем (9.69) имеет вид: дК = т 6т дс(тсИсЬр. взять, что из (9.75), (9 77), (9.80) для вектора при 'Упражнение 9.3.3. Показать, что из 9. и = 1 следует: п®ас(Е= ~ '7®ас)К / аэпс(Е= ( (ф ) — зс Эа, с(К Е г' Е и ас(Е ш зс ° адК 1 их ас(Еш '(7 х ас(К 9.77 и,9.80) для тензора 9.3.4. Показать, что нз (9.75), ( . ) и, Упражнение второго ранга при и = 2 следует: пейс(Е = -/ ( х йс(К вЂ” зсэйс(К ихйс(Еш ( зу у Е отношения потока вектора а в точке Х области есть предел атнаш ЬК, т.е. бъему ь С.Ъ, акружвюшу через малую замкнутую поверхност ограниченном му этой поверхностью.

.а и ° йс(Е = ( ЙУ ° пс(Е = з7 йс(К 7Е ,6.73, п .9.3.4 и соотношение 6. Упражнение 9.3.5. Используя результаты упр. показать аправедливость формулы: и ° й ° ас(Е = 77 ° (й ° а)с(К = 1 ((з7 ° й) ° а+ й ° (Ч с9 а) ) с(К и се=се =( "7 'зк Е 9.3.6. Доказать справедливость фор у 9 . ок омлы: Упражнение в... ок /*"" =- ххп ° Йс(Еш — (и Й) ххс(Еш (хх~7 ) й)НК вЂ” 2 азс(К Е Е ю й кососимметричной чв " части тензорв ского гдето - вектор,сопутетвуюши л Гаусса-Остроградска 9.3.7. Используя скалярную формулу Упражнение 9...

сп нем, показать, что для вектора (см. уп ( . пр.9.3.3) и теорему о среднем, п 1 57 ° а = 1(пз — ~ и ° ас)Е, др-+о дзК /де Приложение ЭНЕРГЕТИт4ЕСКИЕ И КВАЗИЭНЕРГЕТИт4ЕСКИЕ ПАРЫ ТЕНЗОРОВ Р=О ° С или Р= тт ° О, (П 1) где ьт и'тт — сильнетпричные, положитпельно определенные тпензоры, а Π— ортпогональный теензо, причем каждое иэ предстпавлений (П.1) единстпвенно.

в Показательство существования разложения (П.1) приведем конст- руктивно, т.е. построив тензоры \1, ч" и О. Пля этого рассмотрим свертки тензора Р со своим транспонированным: Рт Р и Р ° Рт. Оба эти тензора являются симметричными, так как (Рт Р)т Рт (Рт)т Рт Р (Р Рт)т (Рт)т Рт Р Рт а также положительно определенными (см. определение 1.25): а (Рт ° Р).а = (а Рт) ° (Р а) = (Р.а) ° (Р а) = Ь.Ь = )Ь|з > 0 (П.2) для любого ненулевого вектора а, где Ь = Р ° а.

Тогда, согласно теоремам 1.13 и 1.14, у тензоров Рт ° Р и Р ° Рт все три собственные оз значения вещественны и положительны, обозначим их как Л и Лз, причем согласно (1.187) 3 оз з Р Р=~'Л Р ЗР, Р Рт=~~ 'Л'Р ЭРа, (П.8) аа1 акт о где ра — собственные векторы тензора Рт ° Р, а р — тензора Р ° Р являющиеся согласно (1.185) ортонормированными: о о р ° р,т — — б л, р..р, =б, (П.4) В механике сплошных сред очень важную роль играют определенные пары тензоров второго ранга, связанных через так называемую работу внешних поверхностных сил.

Существование этих пар тензоров при условии потенциальности (см. гл.5) позволяет получить альтернативные тензорные функции для описания различных физикоматематических процессов. Рассмотрим эти пары, начав с некоторого важного свойства невырожденных тензоров в пространстве Й~.

ТеОРемА П1 (О пОлЯРКОм РАзлОжении). Всякий невырожденньтй тпензор втаорого ранга Р можно предстпавюпь в виде скалярного произведения двув тпензоров второго ранга: П ивенские. Эне готические и квезионе гееические ие ы 555 Правые части в (П.З) представляют собой квадраты некоторых тен- зоров ТТ и ТГ, определенных как з з ТТ = ~~~ Лара Э Ра1 Ла > 01 'Т" = ~~~ Лара Эра, Ла > 0~ (П 6) а ни ааи где знаки у Л выбираем положительными. При этом имеют место соотношения: Рт Р Т1г Р Рт Тгг (П.6) Построенные тензоры Тl и У являются симметричными, что следует из формулы (П.б), а также положительно определенными, так как для любого ненулевого вектора а выполнено: з з а ТУ ° аес у Л а ° 'Р Эр ° а=~Л (а ° р ) >О, (ПП) а ам а=1 о ввиду того, что Л > О. Аналогично доказываем положительную определенность тензора ч'.

Оба тензора ТГ и ТТ невырождены, так как ло условию теоремы Р— невырожден, и иэ (П.б) следует (о)ео Щг = с1ег ТТг = бег (Рт ° Р) = = (бее Р)г ф О. Тогда существуют обратные тензоры ТУ г и 'К г, с помощью которых можно построить еще два новых тензора о О=Р 13 (П.8) О='~ Р, о о являющихся ортогональными. В самом деле, О ° О (Р. ТТ-г)т. (Р.

Т1-5) (Т1-'г. Рт. Р. ТТ-г Т1-5. ТТг, П-з Р, о что согласно (1.209) означает ортогональность тензора О, аналогично показываем ортогональность тензора О. Таким образом, мы действительно построили тензоры С и О, а также ч' и О, произведение которых согласно (П.8) образует исходный тензор Р: (П.О) Р = О и = 'Р' ° О, причем Б и ч' — симметричные, положительно определенные, а О и о Π— ортогональные.

Покажем единственность каждого из разложений (П.9). Пусть проо тинное, т.е. существует еще одно разложение, например, Р = О О Но тогда Р' ° Р = Тог = ТТг, откуда следует, что То = То, так как разложение тензора Рт ° Р по собственному базису единственно, а знаки П уложение. Эне гетические и киезиэне гогичоокио нн ы 556 о о у Л и Л по условию выбираем положительными. Совпадение 11 и 11 о о о о влечет засобойсовпадение О и О, так как О = Р 1У 1 = Р.Б 1= О, что и доказывает единственность разложения (П.9). Единственность разложения Р = 'тт О доказывается аналогично. о Нам осталось только показать, что ортогональные тензоры О н О совпадают, т.е.

что из (П.9) следует (П.1). Пля этого образуем о о о тензор Р От = О ° У ° От. В силу (П.9) для этого тензора выполнено соотношение: о о о О П О ="К О От. (П.10) о о о Тензор О ° О является ортогональным, так как (О О ) ° (О ° О ) = о о о о О ° От ° О ° От = О ° От = Е, тогда на соотношение (П.10) можно о о смотреть как на полярное разложение тенэора О ° 13 ° От.

Но этот о о о о о о тензор симметричен, так как (О У О ) = (О )т (О 11) = О тз О о о о о ТогдаформапьноеравенствоО 1У О = О ~1 О такжепредставляет собой еще одно его полярное разложение. Однако выше мы показали единственность полярного разложения, значит должны иметь место соотношения: о о о '1/ О С От и О От Е (П.11) о откуда и вытекает совпадение ортогональных тензоров О = О. А Тиогвма П2. Собственные значения тпензорое У и к', опреде- о ненныл по (П.о), совпаддютпт Л = Ла, тк = 1,2,3.

т тЛля доказательства воспользуемся определением (П.б) и первой формулой в (П.11): ЛаРаЭРа — О'\Л'О = х ЛаО'РаЭ(0 Ра) Х~~ ЛараЭРа~ аж1 аа1 а=1 о где р' = О ° р . Согласно этому соотношению мы получили два раз- личных собственных базиса тензора к' и два набора собственных знао о чений, что невозможно, следовательно, р' = О ° р = р и Л = Л, что и требовалось доказать. а Пля всякого тензора Р, согласно определению (8.89), можно ввести дифференциал дР, тогда имеет место следующая основнел теорема.

Твогвмя ПЗ. Пусть имеется два тпензора втпорого ранга Р и Р, причем 1о Р невырожден, П вложение. Эне готические и кввзизне гегические по ы 557 Тсблвие ПЬ. Энергетические пары тензоров Яе скалярное произведение Р и Р образуетп симметричный тензор Т=Р ° Р, тогда двойное скалврное произведение тензоров д'А = Р ° ЫР (П.12) можно предстпавить в виде сверпьки одной из следующих пятаи пар пьенэоров: (е) (и) д'А= Т дС, п=1, П, П1, Лт, )т, (П.13) (в) (в) где Т и С вЂ” симметпричные тензоры второго ранга, предстпавленные в тпабл.П1.

Тензор В определяется с помощью своего дифференциала: дв = -(дС 1) '+11 ° ь(1)). 1 2 (П.14) В механике сплошной среды всем величинам, входящим в (П.12), (П.13), придается определенный физический смысл: тензор Р характеризует условные напряжения в элементарном объеме сплошной среды и называется тензором Пиала-Кирхгофа, тензор Р называется градиентом деформаций, (1 и 17 — соответственно правым и левым тензорами искажений, а 0 — тензором ротации.

Скаляр д'А в механике представляет собой элементарную работу внешних поверхностных (в) (и) сил. Именно поэтому тензорные пары Т и С называют связанны ии через работу или иначе энергетическими парами тпензоров. т Доказательство теоремы проведем отдельно для каждой энергетической пары. б) Пара Л Т Подставим в выражение (П.12) вместо тензора Р тензор Т и воспользуемся правилами (1.137) перемены мест множителей в тройном скалярном произведении: ь('А= Р дР= (Р ь ° Т) ° дР = Т ° ь(Р ° Р ь. (П.13) П ииожение.

Эне гечические и кввеиене гетическиеив ы 558 Разобьем правую часть этого выражения на два слагаемых: 1 1 1 1 -сгАсе -Т"Р АР ~+-Т "Р.АР з= -Т АР-~т Рт+ Т Р Ар 2 2 2 2 (П.17) Здесь мы воспользовались свойством скалярного произведения тензоров по двум индексам А ° В = Ат ° Вт, а также симметрией тензора Т. Представим теперь в этом выражении тенэоры ИР и др как тензорное произведение самих себя на метрический тензор Е: Ар-зт Е Ар-ът (р р-з) АР-' — Ар-з. Š— г1Р-'. (Р-'т. Рт) (П'13) Подставляя эти выражения в (П.17), получим — И'А= — Т"(Р Р з АР зт).рт+-Т "(Р НР ' Р ~~) Рт (П.19) 2 2 Воспользуемся еще раз правилом (1.137) перестановки скалярного ум- ножения трех произвольных тензоров: д' 1' — (рт .