Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000, страница 7

Эти обстоятельства, а также некоторые проблемы, свяаанные с аксиомами арифметики, приводят нас к более общему вопросу: насколько понятие непрерывных групп преобразований Ли окажется пригодным для решения поставленной задачи, веги откаеатъся от требования дифференцируемости функций, определяющих группу. г) С. )) а г Ь о ах, ) ггопз звг)в йбопэ 84вбга)г без звг1зсег, т. 3, Райк, 1894, стр. 54. г) Ср. кптергскью кссзедопзвкя А. Н! г з с Ь, Мк(!в Апв.

49 (1897), етр. 49 к 50 (1898), гтр. 429. 31 Как известно, Ли определяет конечную непрерывную группу преобразований как систему преобраэоэаний х; = Л (хи..., х„; аг,..., а„) (1=1, 2,..., и), обладающих тем свойством, что в результате последовательного выполнения двух проиэвольных преобразований х' = Л (хы..., х„; аг,..., а„), системы получается преобраэование, принадлежащее атой же системе, которое, таким образом, можно представить в виде х,. = ~г ф (х, а),..., г"„(х, а); Ъ|,..., Ъ„) = = ~г (хг,..., х„; сг,..., с,), где с„...., с„представляют собой определенные функции от а„..., а„и Ъ„..., Ъ„. 'Групповое свойство находит, таким обраэом, свое выражение в системе функциональных уравнений и не треб ует от функций /„..., ~„, с„..., е„никаких добавочных ограничений.

Однако, дальнейшие методы исследования Ли этих функциональных уравнений, а именно, вывод известных основных дифференциальных уравнений, с необходимостью предполагают непрерывность и дифференцируемость функций, определяющих группу. Что касается непрерывности, то от этого требования„ по-видимому, откаэаться нельэя, хотя бы в отношении геометрических и арифметических приложений, в которых непрерывность рассматриваемых функций является следствием аксиом непрерывности. Напротив, дифференцируемость функций, определяющих группу, содержит требование, которое в геометрических аксиомах выражается только весьма неестественкым и сложным обраэом.

При этом возникает вопрос, нельзя ли введением некоторых подходящим образом выбранных новых переменных и параметров преобраэовать группу в такую, в которой все определяющие функции оказались бы дифференцируемыми, или по крайней мере нельзя ли присоединить некоторые н определенные простые допущения, которые сделают возмо жым в соответствующих группах применение методов Ли. 32 Согласно теореме, высказанной Ли ') и докаэанной Щуром'), приведение к а и а л и т и ч е с к о й группе воэможно тогда, когда группа транзитивпа и когда предполагается существование первых и некоторых вторых производных от функций, определяющих группу. Исследование соответствующего вопроса, как мпе кажется, представляет интерес и для бесконечных групп.

Мы приходим вообще к обширной и небезынтересной области функциональных уравнений, в которой до сих пор в большинстве вопросов предполагалась диффереицируемость рассматриваемых функций. Между тем функциональные уравнения, в исследовании которых Абель ') проявил так много остроты ума, разностные уравнения и другие уравнения, встречающиеся в литературе, не содержат в себе ничего такого, что требовало бы дифференцируемости входящих в них функций.

А при изучении некоторых доказательств сушествования в вариациопном исчислении мпе представляется интересной задача доказать дифференцируемость рассматриваемых функций, исходя из существования раэностного уравнения. Во всех этих случаях возникает вопрос, насколько результаты, полученные в предположении дифференцируел«ости расег«атриваенмх функций, оетаютея в силе при новых условиях, бег этого предположения.

Следует эаметить, что Минковский в упомянутой «Геометрии чисел» исходил из функционального неравенства 1(хг+уг,, ха+уа)< 1(хг,..., )+1(у,..., уа). Отправляясь от этого неравенства, ему действительно удалось доказать существование производных входящих и рассмотрение функций. С другой стороны, я обращаю внимание на то обстоятельство, что существуют вполне аналитические функциональные уравнения, отдельными решениями которых являются недифферепцируемые функции.

Можно, например, построить одноэначную, непрерывную и недиффереицируемую функцию <р(х), которая является единственным ') Б. Ь1е, У. Е ай е1, ТЬеогге бег Тгапз$огта«1опгйгпррап, т. 3, Лейпциг, 1893, Я 82, 144. «) ОЬег йеп апа1уг)асЬеп СЬага)ггег бег е)пе ешШсЬе Кап«)па)аг- 11сЬ« Тгап«1аггаа»1огпщгпрре вага«а11епдеп усп)гпопеп, Иа«Ь. Апп. 41 (1893), 509 — 534. «) 1псгЬв, т. 1, стр. 1, 61, 389. ЗЗ решением двух функциональных уравнений: ф (х + а) — ф (х) = ~ (х), ф(х+ р) — ф(х) = О, где сс и р — два вещественных числа, а / (х) — регулярная, аналитическая и однозначная функция, определенная для всех вещественных значений х.

Такие функции проще всего можно получить с помощью тригонометрических рядов, пользуясь теми же соображениями, какие Борель применил к недавнему результату Пикара' ) о построении двоякопериодического неаналитического решения одного дифференциального уравнения в частных производных. 6.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ АКСИОМ ФИЗИКИ С исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксионатичвскогс построении по впсолсу же образцу твх 66ивичвских дисциплин, в которых ужв теперь матвгсатика израсгп выдающуюся ролю зто в пврвую очередь творил вероятностей и мвханика. Что касается аксиом теории вероятностейз), то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности в кинетической теории газов.

Об основах механики имеются значительные исследования с точки зрения физической, Укажу на сочинения Маха' ), Герца' ), Больцманна') и Фолькманна'). При этом было бы очень желательно, чтобы и математики ваялись за исследование основ механики. На зту мысль наводит, с) Яиеь)изз сьеог)ез 1оэйашеэса1зз йаиз 1'аэа1узз эыййаас)чие, СоэЕвгзисзз 1аИез Ь С)згЬ 1)и)гегз1Су Взг. 2ва. йез Яс1иасзз, 1900, сгр.

22. з) Ср, С. В о Ь 1 ш а п п, 1)Ьзг гегз1сЬвгивйзшаСЬеша11Ь, Лекция К л з 6 к а и Р и к к е (Чог)ззиаз аиз К 1 е 1 и ивй В 1 е с )с з: 6Ьег аилзггаийсе МасЬзюамй шит РЬуз)Ь, ?л1рз18 иай ВегВи, 1900). з) Вйз Мзо1аиРл 1шй Йхег Еагсг)сЫйаз, 2 АиВ., Ьз1рс18, 1889. с) 01з Ргшз!р!еа йег МесЬаиИс, 1 е1рз18, 1894. с) гог)ззииззи 6Ьег сВе Ргшз)ре йег МесЬаиВс, Ье1рз18, 1897. 1900. ') Ешшгйгиэз ш йаз ВсисВиш йег сЬзогзс)зсЬзи РЬуз)Ь, 1е1рг16, например, книга Больцманна о принципах механики, в которой следовало бы строго математически обосновать и провести те изложенные в ней пропессы предельного перехода, которые ведут от атомистического понимания к теории движения твердого тела.

С другой стороны, можно было бы попытаться получить все теоремы о движении твердого тела с помощью предельного перехода иэ системы аксиом, которые основаны на представлении о непрерывно изменяющемся состоянии (определяемом каким-нибудь параметром) материи, непрерывно заполняющей все пространство. Вопрос о том, насколько равноправны различные системы аксиом, представляет тоже глубоко принципиальный интерес. Для того чтобы построение физических аксиом провести по образцу аксиом геометрии, следует попробовать сначала небольшим количеством аксиом охватить возможно более общий класс физических явлений, а затем присоединением каждой следующей аксиомы прийти к более специальным теориям, а тогда, возможно, возникнет принцип классификации, который сможет использовать глубокую теорию бесконечных групп преобразований Ли.

Кроме того, математик должен, подобно тому как это сделано в геометрии, принимать во внимание не только факты реальной действительности, но и все логически возможные теории и особенно быть внимательным к тому, чтобы получить наиболее полный обзор совокупности следствий, которые вытекают из принятой системы аксиом. Далее, кроме физических методов изучения задачи, перед математиком всякий раз возникает задача — точно доказать, что вновь присоединенная аксиома не находится в противоречии с прежними аксиомами.

Физик часто находятся во власти результатов своего эксперимента, с помощью которого и во время которого он вынужден з развитии своей теории делать новые допущения; при этом э отсутствии противоречия вновь принятого допущения с прежними его убеждает только или сам эксперимент, или некоторая физическая интуиция — обстоятельство, которое при строго логическом построении теории недопустимо. Доказательство непротиворечивости всех принятых допущений кажется мне очень важным, поскольку само стремление провести такое доказательство наиболее действенно побуждает нас к точной формулировке аксиом.