Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике, страница 6

Сае1щп), выполнявший диссертацию пад руководствам П. Эренфеста (Р.К1»те»йее«), использовал эта понятие прн квантаванив уравнений Эйлера свабадпага волчка [217). С. Ли называл зти функции отмеченными (ааейеяек 1»ае1е Р<и»1«т1ааеа) [278'. з д Определение и прилеры скалки Пуассона. Скалка гти-- Пуассона 25 Уравнения Гамильтона для структуры Ли — Пуассона хс = (хз, О) (1.16) в покомпонентной записи имеют впд (1.17) Уравнения (1.17) можно записать в более инвариантном виде (1.18) х = ануя(х), х Е 9*, где ас(с., (с е 9) опеРатоР копРисоединенного пРедставлениЯ алгебРы Ли д: ай,*: 0*-+ 0". 7.

Приложении к механике. Оказывается, что рпд задач мсханикиз например, уравнении. изучаемые в классической динамике твердого тела. динамике вихрей, могут быть записаны в виде уравнений Гамильтона на пуассоновом многообразии со скобкой Ли— Пуассона (1.18). Отличием этих уравнений от канонической формы записи,как правило, является их простота и алгебраичность. Представление уравнений движения в форме (1.17) называется алгейраизициеи динамической сиспсежы (152). В дальнейшем под алгебраизацией гамильтоновой системы мы будем понимать более широкую возмозкпость ее представления в виде (1.9) с алгебраическим гамильтонианом и структурным тензором. При этом длн всех рассматриваемых далее примеров эти инварианты являются просто полипомиальпыми (в некоторых случаях полиномиальность может быть достигнута введением избыточных координат).

Уравнения Эйлера и геодезические на группе Ли. При выборе псрсмсппых для описания движения твердого тола вокруг поподвижной точки, в которых уравнения движения имеют наиболее простой ввд, ошс Л. Эйлер (1758 г.) предложил использовать проекции кинетического момента твердого тела на оси, связанной с телом системы координат. Уравнения Эйлера, описывающие вращение твердого тела по инерции (1 — тензор инерции) М=М хАМ, (1.19) А. =? ' = ейай(ам аз,аз).

М = (М1 ° Мм Мз), Плоеа. ! могут быть записаны как уравнения Гамильтона со скобкой Ли— Пуассона, поро2кденной структурными константами алгобры эо(3): (1.20) )МЯМ2) = сялМь и функцией Гамильтона Н = 1АМ, М)/2, Скобка (1.20) является вырожденной и обладает функцией Казимира интегралом момента; М1 + 3 12 + Мз Ненулевой уровень этой функции задает симплектический лист двумерную сферу. при редукции на него скобка 11.20) становится невы- рожденной ее ранг равен двум (центр сферы явлнетсн сингулярной пульмсрпой орбитой). Координатами Дарбу в этом случае является система цилиндрических координат ]131], Злинчлннв 2.

Задание гамильтопиапа Н в виде Н = — (АМ,М) = —,(1ы,ы), определяет левоинвариантную риманову метрику на группе Ли ЯО(3). Операторы А: д -+ В*, и обратный ему А ' — 1: д* -~ В нвляются положительно определенными и задают переход от угловых скоростей ы к компонентам кинетического момента М. Уравнения (1.18) представляют собой уравнения геодезических на группе Ли, снаб2кенной левоинвариантнай рнчановой метрикой. Связь между уравнениями геодезических и уравнениями Эйлера динамики твердого тела обсуждается в ]3], где также дается определение угловой скорости 1кинетического момента) в теле и пространстве, как элементов алгсбр Лн, полученных псрспсссннсм нз касательного пространства в некоторой точке группы б при помощи, соответственно, левых и правых сдВигов.

Левоинвариантность формы кинетической энергии твердого тела при этом обусловлена тем, что она определнетсн вектором угловой скорости в теле и яе зависит от расположении тела в пространстве. В данной книге мы не будем подробно обсуждать связь алгебры Ли. соответствующей заданной скобке Ли — Пуассона, с поро2злаЮЩСй еЕ ГРуппой Ли, тем более, что в некоторых случалх (динамика вихрей, цепочки Толы) эта связь пс является такой естественной,как в твердом толе.

Ураняеиия Эйлера — Пуассона. Развивая идею Эйлера, С. Пуассон (1810 г.) вывел более общие уравнения, описывающие движение тяжелого твердого тела в однородном поле тяжести, используя, наряду 3 Е Определение и иуижеун сколок Пуассона. Скобки ууи Пуассона 27 с компонентами вектора кинетического момента, проекции единичного оРта всРтикали ) = (",~ы 7з,-,~з) па то жс оси.

Оказывается, что уравнении Эйлера Пуассона (а также уравнения Кирхгофа, описывающие движение однородного твердого тела в идеальной безвихрсвой жидкости по инерции) в переменных (М,.~) могут быть представлены как гамильтоновы уравнении со скобкой Ли Пуассона, определяемой коммутационными соотношениями: )Мг,Му) = — еилМк, (ЛХб'71) = — ефл'уь.

1суб 71) = О. (1.21) Эти коммутационные соотношения отвечают алгобро с(3), являющейся полупрямой суммой алгебры вращений ио(3) и трехмерной алгебры трансляций Кз. Эта алгсбра пс является полупростой и обладает абслсвым идеалом, определяемым переменныъш 7о Переменные типе (М,З) в механике называют квазикоординатами. Более общие уравнения движенин твердого тела в квазикоординатах в произвольном потенциальном поле будут приведены в следующей главе.

Движения тела с полостями, имеющими жидкое вихревое наполнение, можно также описать как гамильтонову систему на алгебре ко~4), являющейсп прямой суммой двух алгебр врашеннл: зо(4) = ео(3) Юно(3). Прн этом, один экземпляр зо(3) отвечает кинетическогиу моменту тела, а второй "- вектору завихрепности (см. )18, 156]). Уравнения движення в этом случае бьши получены А.Пуанкаре ~308), который почти в современной форме отметил их свнзь с алгеброй зо14). Другие примеры гамильтоновых уравнений, некоторыс из которых имеют физическое обоснование приведены в книгах [18, 156.

Зкмнчкпик 3. Окизываетск, что в виде (1.18) могут быть также зипнснны гпдродинамлчеепие уравнении Эйлера идеальной (песлшмаемой н невлзкой) жидкости. В этом случае в качестве фазового пространства выступает группа Лиффеомирфиэмов области течения. сохраняющих элемент объема )1, 3). Зииьчкняв 4. В гидродинамике канонические координаты на симплектическом листе называютсл переменными Клебша [Ж7'. Если их введение локально возможно по теореме Дарбу, то глобальное определение сделать не так прасто, а иногда и невозможно.

Это обусловлено топологией снмплектического листа. Злмвчлннг, б. Длн структуры Ли — Пуассона, и длл соотистствучошсй ай алгебры Ли может быть найдено картановское разлшкение ~8, 316). Аяализ Глава 1 структуры етого разложения позволяет более просто определить канонические координаты на снмплектических листах. Например, укажем алгебру е(3) = ло(3) ф, Нз уравнений Нйлере" -Пуассона, где выделение падалгсбры ла(3) позволяет проста ввести канонические псрсмсппыа Апдуайа— адекри (5, 28, 77], имеющие важное значение в динамике твердого тела. 8.

Квадратичные скобки Пуассона. В некоторых задачах с целью упрощения и алгебраизации гамищ,тоновой системы удобно рассматривать произвольные алгебраические (дробно-рацпональные) скобки Пуассона (см. Ь;2 гл. 1, Я3,4 гл. 5). Рассмотрим подробнее однородные квадратичные скобки. Отметим, что пад действием однородных преобразований квадратичные скобки сохраняют степень однородности. Действительно, степень однородности гг прсобрао — 2 зустсн по закону гд = 2 — ., где л — степень преобразования л — ~ у: д,(Лх) = Х'у(х).

Классификация трехмерных линейных сшибок снодится к хорошо известной классификации Бьянки соответсвующих алгебр Лн (16, бЦ, Структура трехмерных квадратичных скобок Пуассона существенно сложнее и была изучена МС П.Дюфуром в (229]. Оказалось, что все зти скобки изоморфны четырнадцати различным типам, содержащим, в свою очорсдгч произвольпыо параметры (о, Ь, с, д) 8.

(х,у) рь (х, у) 18. ( ...д) 11 1х:у) 1. (х,у) 2. (х,у) 3. (,д) 4. (х,д) 3. (х,у) б. (х,,у) 7, (х,у) сту, (у. з):=- прл, )л,х) —. Ьлх; Ь(хз ж у ). (у.л) = л(26г — ад), (л,х) = л(ах - 26у); х, (дг.л) = — пер+ 2зх, (л,з:) = пхз; пху. (дгл) = т. сух, (л,х) = плх: ах~, (у, з) = уз+ (1+ 2а)хз, (л,х) = — хл(а ф — 11'2); -(1/2)хз, (у,л) = Ьдл, (л,х) = -Ьхгк а(х + у ), (дг л) = Ьрл+ (2о+ с):гл, (з, з) = (2а -ь с)уз — Ьхз: ((и+6) 12)( з+уг) л з (у ), (,) ау . — (1/3)хз, (д,л) = пхз — (1/3)уз+ (1/3)хз, (з,х) = (2Ь+ 1)хд, — (26+1)хз. (д.з) = Ьдл — (1+ 46)хз, (л,х) = (26+1)ху; сл.з + г7х~.

(у,л) = (2с-1)зж, (-,т) = О; г !. Определение и продери скобок Пуассона, Скобки !!и.--!!унисона 2О 12. (х, у) = схг + с(гг, (у, г) = хг -~ (2с+ 1)хг. (г. х) = О; 13. 1х, у) = !ига + де~ + 2хг, (у. г) = О, 1г,х) = ахг + гг + (2с+ 1)г!г: 14. (х,у) = дР/дг, 1у,г) = дР/дг, 1г,х) = дР/ду, где Р— однородный полипом степени 3. Содержательный пример существования квадратичных коммутационных соотношений. возникший нз анализа уравнений Янга-- Бакстсра, был указан Е.

К. Скляпипым. Оп рассмотрел алгебру скобок Пуассона, порожденную следующими соотношениями между образующими Ва, Ви, В!!, В-,148 ! ! )В,ВО) = 2,7д Ьрд . ! (В,дд) = — 2ВОВ ., (1.22) где г.Р р =.Р—,рр.,р„,/б,2 С К. (здесь и далее ! обозначает циклические перестановки индексов сг„/С !.) Скобка, задаваемая соотношениями (1.22), является вырожденной, Она обладает функциями Казимира Вг Вг, Вг к, оаг 1 Вг+ 1дз+ 1Вг Более сдогкный пример квадратичной алгебры скобок Пуассона был указан в работе [40]. При етом между образующими А, В, С, Р имеются следу!ощис коммутационные соотношения (А,В) = АВ, (В,С) =О, 1А.С) = -АС, 1В, Р) = — ВР, т,А, Р) = — 2ВС, 1С, Р) = — СР. Скобка (1,24) также является вырожденной.

Ее центральными функци- ями явлшотся (1.25) Е, = АР— ВС, Гг = В/С. Квадратичные скобки Пуассона возникают также в многомерных интегрируемых цепочках Тоды н Вольтерра н будут рассмотрены в Б 2,4 гл. 5. В следующих разделах книги мы представим уравнения динамики твердого тсла, вихревой днпамюси, динамики материальной точки в искривленных пространствах и многочастичные системы в виде гамильтоновых уравнений с линейной или более сложной пуассоновой структурой, а также укажем пару пуассоновых структур для некоторых кдассических интегрируемых задач.