Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике

А.В.Борисов, И.С.Мамаев ПУАССОНОВЫ СТРУКТУРЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ МЕХАНИКЕ Книга посвящена одному из актуальных направлений в современной теоретической физике - пуассоновым структурам и их приложениям к различным проблемам гамильтоновой механике. Эти задачи возникают в динамике твердого тела, небесной механике, теории вихрей, космологических моделях. Как правило, уравнения движения таких систем можно записать в удобной полиномиальной (алгебраической) форме.

Эта форма тесно связана с возможностью представления уравнений движения в виде уравнений Гамильтона с линейной пуассоновой структурой, связанной с некоторой алгеброй Ли. Обсуждаются также нелинейные пуассоновы структуры, связанные с бесконечномерными алгебрами Ли, указаны наиболее типичные случаи их возникновения.

Для исследования полученных уравнений применяется метод Пенлеве-Ковалевской. Указаны новые случаи интегрируемости уравнений динамики и изоморфизмы между различными интегрируемыми проблемами. Для специалистов в области механики и математики, занимающихся теорией динамических систем, студентов и аспирантов университетов. Содержание Введение Глава 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм 81. Определение и примеры скобок Пуассона. Скобки Ли-Пуассона 1.

Скобки Пуассона и их свойства 2. Невырожденная скобка. Симплектическая структура 3. Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу 4. Пуассоновы подмногообразия. Ограничение скобки 5. Примеры неканонических скобок Пуассона. Системы с гироскопическими силами 6. Скобка Ли-Пуассона 7. Приложения к механике 8. Квадратичные скобки Пуассона 82. Тензорные инварианты динамических систем 83. Теоремы об интегрируемости гамильтоновых систем.

Алгебра интегралов 84. Представление Лакса-Гейзенберга 1. Определение. Полупростые алгебры Ли 2. Представление со спектральным параметром 3. Гамильтоновость уравнений Лакса 4. Примеры 85. Бигамильтоновы системы 1. Невырожденные бигамильтоновы системы 2. Вырожденные бигамильтоновы системы 3. Лиевы пучки 10 16 16 16 18 19 20 21 22 25 28 30 33 35 35 38 39 40 42 43 46 47 4. Метод сдвига аргумента 5. г-матрица 6.

Примеры бигамильтоновых систем 96. Уравнения Пуанкаре-Четаева 1. Уравнения Пуанкаре 2. Гамильтонова форма. Уравнения Пуанкаре-Четаева 3. Уравнения Пуанкаре-Четаева на группе Ли 4. Инвариантная мера 97. Показатели Ковалевской, интегрируемость и гамильтоновость 1. Квазиоднородные системы. Показатели Ковалевской 2. Уравнения Гамильтона 3. Инвариантная мера 4. Примеры 98.

Редукции пуассоновых структур 1. Понижение порядка - алгебраический аспект 2. Общая процедура редукции 3. Алгебраические алгоритмы редукции 4. Дополнительные замечания 89. Скобка иредукция Дирака 1.Процедуры ограничения и скобкаДирака 2. Редукция Дирака 3. Трансверсальная структура и сингулярные орбиты 4. Вырожденные лагранжианы и гамильтонов формализм со связями 5. Голономные связи. Сравнение с классическим описанием 6. Динамика малых масс 7. Дополнительные возможности Глава 2.

Скобки Пуассона в динамике твердого тела 91. Классические формы уравнений динамики твердого тела 1. Уравнения движения в направляющих косинусах 2. Уравнения Эйлера-Пуассона 3. Уравнения Кирхгофа 4. Уравнения Пуанкаре-Ламба-Жуковского 5. Многомерные обобщения 82. Кватернионное представление уравнений движения 1. Параметры Родрига-Гамильтона 2. Уравнения движения 3. Представление на алгебре е(4) 83. Движение в суперпозиции однородных силовых полей. Приведение 1.

Приведение к трем взаимоортогональным полям 2. Особые случаи з4. Метод Ковалевской-Ляпунова и интегрируемые случаи 1. Динамически несимметричный случай 2. Обобщение интеграла Гесса-Аппельрота 48 49 50 56 56 57 58 60 61 61 63 66 67 68 68 70 71 77 77 77 79 81 81 84 86 89 90 90 91 94 95 98 100 101 101 103 104 107 107 108 110 110 112 3. Случай динамической симметрии 4. Обобщение случая Ковалевской 5. Обобщение случая Делоне 6. Известные случаи интегрируемости 7.

Неинтегрируемость и теоремы несуществования 85. Редуцированная пуассонова структура и понижение порядка 1. Редукция по углу прецессии 2. Редукция по переменной у+ ср. Нелинейная алгебра скобок Пуассона 3. Алгебраические преобразования 4. Относительные равновесия и аналог конуса Штауде 5. Система Леггетта 86. Изоморфизмы интегрируемых случаев 1.

Изоморфизм между обобщенным случаем Ковалевской и случаем Чаплыгина для уравнений Кирхгофа 2. Задача Якоби на трехмерном зллипсоиде и система КлебшаПереломова 3. Аналогия между волчком Лагранжа и системой Леггетта 87. Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере 1. Метрики на двумерной сфере Бз 2. Геодезические потоки на Бз 88. Ограничение пуассоновой структуры и канонические переменные 89. Ь-А-пары и бигамильтоновость: лиевы пучки 1. Многомерное обобщение волчка Эйлера 2.

Многомерное обобщение случая Клебша 3. Система Жуковского-Вольтерра 4. Обобщение. Нестандартный матричный коммутатор 5. Многомерные обобщения системы Ляпунова-Стеклова 810. Ь-А-пары и бигамильтоновость: картановское разложение 1. Задача Бруна 2. Картановское разложение и согласованные семейства скобок 3.

1.-А-пара системы Бруна 4. Волчок Ковалевской и его обобщения 5. Построение интегрируемых систем на римановых симметрических парах 811. Движение твердого тела по гладкой плоскости з12. Ограниченные задачи динамики твердого тела и механика Дирака 1. Предельный переход и механика Дирака 2.

Движение твердого тела в осесимметричном поле 3. Твердое тело в суперпозиции однородных полей Глава 3. Гамильтонов формализм в небесной механике 81. Движение нерелятивистской частицы в пространствах постоянной кривизны 113 116 117 118 119 121 121 122 125 128 129 130 131 133 137 140 140 146 148 152 153 156 157 159 163 165 165 168 170 171 173 175 178 178 180 183 18б 186 1. Канонический формализм в избыточных переменных 2.

Алгебраическое представление 3. Редуцированные уравнения для 8з 82. Задача Кеплера. Алгебра интегралов, регуляризация, переменные действие-угол. 1. Алгебра интегралов задачи Кеплера 2. Регуляризация 3. Бифуркационная диаграмма задачи Кеплера 4. Переменные действие-угол и аналог элементов Делоне 83.

Интегрируемые проблемы в искривленном пространстве 1. Обобщенная задача двух ньютоновских центров (задача Эйлера) 2. Задача Лагранжа в пространстве Лобачевского 3. Движение заряженной частицы в поле магнитного монополя 84. Кватернионная регуляризация Кустаанхеймо-Штифеля в небесной механике 85. Задача двух тел в искривленном пространстве 1. Уравнения движения и первые интегралы 2. Инвариантные многообразия 3.

Ограниченная задача двух тел 4. Ограниченная задача двух тел на 82 5. Частные решения задачи двух тел на 82 и Ь2 6. Задача двух тел при нулевом суммарном моменте. Столкновительные траектории 86. Смещение перигелия 87. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве. Точки либрации 1. Ограниченная задача трех тел 2. Точки либрации на сфере 82 3. Точки либрации на плоскости Лобачевского 4. Лагранжевы точки либрации в случае равных масс 5.

Малое отклонение от случая равных масс 6. Области Хилла 7. Частные решения неограниченной задачи п тел 88. Движение твердого тела с гиростатом в искривленном пространстве. Стационарные движения 1. Свободное движение тела в 8з 2. Движение связки двух тел. Уравновешенный гиростат 3.

Уравнения Кирхгофа на 8з, 1.з 4. Частные решения. Перманентные вращения 5. Заключительные замечания Глава 4. Гамильтонова динамика вихревых структур 81. Динамика точечных вихрей на плоскости 1. Динамика в абсолютных переменных 186 187 190 191 193 195 197 198 201 201 205 207 209 213 213 215 216 217 219 224 225 230 230 232 237 237 240 241 243 246 246 249 251 253 254 256 256 256 Ли и 2. Комплексная форма уравнений вихревой динамики 3.

Представление в относительных переменных 82. Динамика точечных вихрей на сфере 1. Абсолютное движение. Канонические уравнения 2. Алгебраическое представление 3. Проблема интегрируемости 83. Движение трех вихрей. Общий компактный случай 1. Аналогия между системой трех вихрей и системой Вольтерра 2. Три вихря на плоскости 3. Три вихря на сфере 84. Движение трех вихрей. Некомпактный случай. Проблема коллапса и рассеяния 1. Движение на плоскости 2.

Движения на сфере 3. Условие коллапса вихрей на плоскости и сфере 4. Рассеяние вихрей на плоскости 85. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере 1. Частный случай задачи М вихрей, сведение к задаче (Х-1) вихрей 2. Частные решения в задаче 4-х вихрей 3. Стационарные и статические вихревые конфигурации 86. Классификация и алгебраическая интерпретация системы п вихрей на плоскости 1. Вихревая алгебра и ливны пучки 2. Редукция по симметриям и сингулярные орбиты 3.

Симплектические координаты 4. Канонические координаты приведенной системы четырех вихрей. Сечение Пуанкаре 5. Представление Лакса-Гейзенберга 6. Стационарные конфигурации 87. Родственные задачи динамики вихрей 1. Движение вихрей Кирхгофа 2. Взаимодействие вихря Кирхгофа с точечным вихрем 3. Движение вихрей внутри круговой области 4. Движение вихрей на цилиндре Глава 5. Многочастичные системы 81. Обобщенные цепочки Тоды и уравнения Эйлера-Пуанкаре на разрешимых алгебрах Ли 1.

Цепочка Тоды, как гамильтонова система на разрешимой алгебре 2. Интегрируемые обобщенные цепочки Тоды. Метод Ковалевской 3. Индефинитные цепочки Тоды 4. Уравнения Эйлера-Пуанкаре на трехмерной разрешимой алгебре Л 82. Ь-А-пара и бигамильтоновость цепочек Тоды 1. Незамкнутая цепочка, отображение рассеяния 257 257 261 261 265 268 269 271 273 283 294 294 298 300 306 307 308 311 324 328 328 333 336 337 341 342 344 344 347 349 350 351 351 351 354 356 358 360 360 2.

Отображение рассеяния 3. Периодическая цепочка Тоды. Алгебраическое описание цепочек 4. Согласованные пуассоновы структуры цепочек Тоды 5. Релятивистские цепочки Тоды 83. Системы Калоджеро-Мозера 1. Представление на квадратичной алгебре 2.