Адлер Ю.П. - Введение в планирование эксперимента, страница 11

Цена неудачи — некоторое увеличе11ие числа О11ытОВ. Выбор числа уровней Паслс определения интервалов варьирования нсабходимо выбрать значения факторов, которые будут испытываться в эксперименте. Возникает вопрос а числе таких значений (уровней) для каждого фактора. Прежде Всего следует Отметить, чта число урОВнеи не можст быть мсньше двух, так как один уровень имеет фактор, постоя11нь1й во всех о11ьтах. Что касается максимально возможного числа уровней, то оно ограничено только числом опытов. Практически встречались случаи с вссьма различным числом уровней.

В работе 167) саабщастся, что для разных вычислительных машин составлены программы обработки рсзультатав спланираваннь~х экспериментов, включающие факторы с числам уровней да 52. Выбор числа уровней для всех факторов опрсделяст чис.та ° 1)азлич11мых состояний В построенном чсрном ящике.

Этим, следователь!1О, Опрсделяется и слОжнОсть ящика. НО слажнОсть ящика нельзя выбирать произвольно, ана должна соответствовать поставленной цели. В этом — 1'.ч1оч к стратегии вь1бора числа уровней: минимально возможное число при соответствии цели. НаибОлее распрастрЯнен случаи планирОВапия на двух урав11Ях. ТОгда В эксперименте испОльзук)тся значения„сООтветству1ащие верхней и нижней границам 11нтервала варьирования. ОИ11 называются соответственна верхним и нижним уров11ямц и Обозначаются +1 и — 1 (или 11росто + и — ).

Такие обозначения создают большие удобства при представлепии матер1)ада и вычисле11и|х. Уровпи, записанные В таких обозначсниях, 11язывяются кад11рованнными. Экспср11ментяльные пляны, в которых всех факторы варьируются на двух уровнях, пазь1- ва1атся планами типа 2", где А — числа факгорав. Плапы на двух уровнях используют во всех случаях, когда это возможна. Сущес'1ву1от случаи, когда приходится рассматривать боль- 45 шее число уровней. Такие ситуации возникают при необходимости рассмотрения качественного фактора с несколькими уровнями, Наиример если необходимо Выбрать Один из нескОльких видов реагентов или Видов 060руДОВЯния.

Альтернатива — планировать экспсримснт независимо для каждого (или для каждых двух) реагента и сравнивать оптимальнь1е значения параметра оптимизации — приводит к резкому возрастанию числа опытов. При изучении нсскольких неоднороднь1х пЯртий матсриала иногда Оказывается удооным выбирЯть число ~ ровнсй для Всех факторов равным числу партий. Это дает Возможность использовать при планировании схему тяк называсмого латинского квадрата ~см. ниже). Выбор схемы планирования В настоящсс время выбор схемы планирования определяется В ОсновнОм личным ОПЬ1том и знаниями экспсриментатОра. Зто часто приВодит к подгОнке задачи под известную схему. Такое положенис будет существовать до тех пор, пока не будет создан а система коисульта ционно-В1э1 числ итсльны х цсптров„ способных оказывать методологическую консультацию по вопросам планирования эксперимента, Объективный Выбор схемы планирования опрсделяется прежде всего моделью объекта исследования.

Следует рассматривать два случая, различающихся уровнем априорной информации. Первый случай — изучастся объект, о модели которого экспериментатор не может сказать ничего определенного. Зкспсримснтатор намерен ПОследовательно уточнять модель, начиная с простсй1цсй, Этот вариант рассмо~рен в даннои главе. ВтороЙ случай — математическая модель Объекта задана априори. Следует оценить неизвестные коэффиц11епты. Этот случай частично рассыотрсн ниже. Одними из простейших ВОЗМОжных моделей являк)тся липейняя и непОлняя квядратная функция. Они могут последовательно усложняться введеннсм членов более высоких порядков.

Такой подхОд ОснОВан на следующих прсдстЯВлениях. Функц11я отклика (фу11кция, связывакццая параметр оптимизации с факторами) представляет собой неизвестную поверхность В факторном пространстве. В предположении, что эта функция является аналитической'„сс можно аппроксимировать (приближен110 Описать) Отрсзком ряда Тейлора. Чем сложнес функци11, тем больп1е членОВ ее разложения ОУДУт значимы. Так как 0 ней ничего заранее не извсстио, естественно начать с минимально возможного числа членов, которое и опрсделяет линейную функцию. Прсжде чем запнмагься какими бы то ни было 1' е. ОблзД3~7 пэ01изОДяь'.Ма Вских 1~'~'жмых пОРЯДкОВ усложнениями модели, следует отбросить те факторы, линейные зффекты которых нсзначимы ~иногда уже на первом этяие важны и зффскты взаимодсйствия) '.

Это и является целью зкспц)и ментального ОтсеиВяния факторов. Ня Выбор схемы планирования Влияет также число факгоров, включенных В рассмотрение. Простейшему случаю соотВетствуют однофякториые задачи. Верхний Предел для числа факторов ис Определен. Ограничение их числа определяется зкономическими, административными соображениями, а также наличием или отсутствием опыта, Во всяком случае реально Встречались задачи, в которых одновременно рассматривалось до ЗО факторов.

1'1ри числе факторов, близком к десяти и более, остро Встает проблема сокращения перебора различных состояний. Ее регнение находят при использовании насыщснных и свсрхиасьищенных планов. При некоторых предпосылках возможно такжс последовательное отсеивание факторов. Эти возможности ряссмот1)сн ы ниже. Принятие рсшсния опредсляст (хотя и не все~да однознач- НО) схему планирования, котОрая, В сВОю Очсрсдь, предполагает метод обработки рсзультатов Опытов. Таким Образом, планирование зксперимента не отрицает интуиции и знаний исследователя, оно только переводит их па иной уровень, формализуя то, чтО сегодня пОддяется формялизаиии, 2.

ненАсыщенные и нАсыщенные плАны Прежде чсм переходить к рассматрсиик) различных планов, следует остановиться на двух понятиях — «степень свободы» и «Р аидом изя ция »„ Числом с т е п е н е й с в о б о д ы называется разность меж- ДУ ЧИСЛОМ ОПЫТОВ И ЧИСЛОМ КОНСТЯНТ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ИСЗЯВИСИ- мо друг от друга. Это статическое понятие имеет аналоги В алгебре, механике и термодинамике. Возможны три случая. Число степеней свободы может бьггь Положительным (~>О). )то сООтветствует иенясьццениым планам. Б такой ситуации, кроме Оценки Всех неизвестных констант, Возможна также проверка адекватности (аправильности») Выбранной математической модели. При 1 = О Возникают насыщенные планы.

Здесь можно Оценить Все константы, но у>ке не хватает <ссВОбоды» для п1)озерки модели. 11аконец, ~ '~~. О соответств~'ет свсрхпасыщенным планам, рассмотренным В следующем Разделе. Здесь возможна оценка только некоторых из неизвестных констант.

.". ффскто>1 ваап,'4одевствив двух факторов нааьн)астся ива)енение Йлвя" н.'1п,~двого факт(>ра 1!рн переход второго па л~л гдй )ровень Алгебранче:кн :)и представляет собой правзвсдение Факторов, которое вхо;)нт в веполн>)о кввлратн н)ую модель. Такая мо))ель нааь|ваетсв неполной потому„что ве содержат квадратов факторов. Р а н д о м и з а ц и е й называется любая процедура, обеспечивающая случайный ПОрядок проведения апытОВ 11ли Групп опытов.

Технически такую процедуру осуществляют с помощью таблиц слу1айных чисел', вытягиванием бумажек с номерами о~~~~~ или инь1м Яналагичнь1м способом, Рандом11зация позВО- ляет нивелировать систематическис (например, периодп 1еские) вазде1$ствия 11екантролнруемых факторов 11оэтаму сс 117)кно всегда использовать в эксперименте, даже если это увеличиваст время его проведения и вносит дополнительные усложнения. Сказанное можно пояснить примерам.

П ус'Гь из~'чается Влия нне р я~а фа ктараВ н я ка11це11т рацию какого-.чибо продукта, определяемую визуальным калариметричсским методам, При этом результат анализа может зависеть от времени ега проведения (ут~)о, день, вечер) в силу изменения оптических свойств среды. Если анализы для всех опытов„ в которых некоторый фактор находился на верхнем уровне, проведены утром, 2 для нижнеГО уровня — вечерОМ, то Оценка роли этого факто1эа будет искажена. При ранламизации э1ого не произойдет. Сделав эти определения, можно псрейти к рассмотрению планирования атсеива1ощих экспериме11тов. Дисперсионный анализ Диспсрсионный анализ„по-видимому, первый с гатнстический метод Отсе11вяния факторов В актиВном эксиеримс11тс.

Он основан на прсдставле11ии о том, чта значимость фактора определяется его вкладом в диспсрси1а параметра оптимизации. Это обусловило широкое применение дисиерсионнаго анализа при изучении точности различнь1х мстадав измерений (осабен" но при анализе вещества ~681). Он 11озволяет указать тс фякгоры, которые вь1звали ошибку, и отсеять незначимь1с, на улучшение которых нсцслесаабразна затрачивать ипженерпые силия. Илл1астрацней подобного примснсния диспсрсион11ога ана. лиза мажет служить работа ~70).

Там, например, показа11а, что в данном случяс Ов)ибка Воспроизводимости янялизя 1! с 11граст большой роли. Из этого Следует важный практнческ1111 вывод о нецелесообразности проведения анализа)) в каратк .'й .,ромсжуток времени. Дисперсно)111 ы 11 анализ нужна испол. зов ать при си;си ке воспроизводимости рсзъльтятав Опытов, п~)ОВОдимых НР п.) .Отных установках.

Воспраизводимость во времени служ.:т: =.:")як- тс~эист11КОЙ качсстве1 113Готавления 1 становки„пО кото~.'. э2' заказчик дйлже11 принимать установку О Г изГотовитслл. В дисиерсианный анализ введена количественная мера, азличимостп двух дисперсий, называемая Р-критерием '- 1гц1ера (оиа будет рассмотрена ниже), которую используют почти во „ссх схемах планирования эксперимента. Подробное рассмотрение диспсрсиоиного анализа выходит за рамки данной работы ~12, 68, 7Ц. Еще отметим, что для атсеивающих экспериментов применяют и более поздние модификации дисперсионного анализа. К ним относятся такис схемы планирования, как латинский квадрат, греко-латинский квадрат и гипер-греко-латинский квадрат ~71~. Эти схемы позВоляют проводить иР опытов при т' различимых состояниях.

Теория таких планов пока слабо разрабатана, ио нх связь с комбинаторным анализом ~72~ позволяет надеяться на быстрый прогресс в этом направлении. Факторный анализ Факторны й анализ — естественпос развитие дисперсиоииого анализа. Отличие состоит в тОМ, что ОцЕнивается вКлад фактО- ра не в дисперсию, а в математическое ожидание (абсолютное значение) параметра Оптимизации. Полный и дробный факторныт" тспсримсяг Эксперимент, в котором реализуются все возможные комбинации уровней всех факторов, называется и ол н и и ф а кто р н ы м э к с и е р и м е н т О м.