Заказнов Н.П., Кирюшин С.И., Кузичев В.И. - Теория оптических систем, страница 6

20 показаны две пары сопряженных лучей и их продолжений: ЯВ и 0'Р'; РВ и ь" 3'. Следовательно, точки (1 н В', находящиеся на главных плоскостях и расположенные на одном и том же расстоянии л от оптической оси, полученные как пересечения нары лучей, сопряженных с другой парой, также являются сопряженными. Отсюда следует подтверждение того, что линейное увеличение в главных плоскостях р = +1, следовательно, задняя главная точка Н' является изображением передней главной точки Н. Таким образом, главные плоскости можно определить как плоскости, в которых р = +1. При высоте л падения лучей в прямом и обратном ходе (рис. 20) получаем следующие формулы для определения фокусных расстояний: ~'-ада,'; 1=Ы1йао (32) где а' — угол между лучом, прошедшим оптическую систему, и оптической осью в пространстве изображений (прямой ход луча); а — угол между лучом, прошедшим оптическую систему, и оптической осью в пространстве предметов (обратный ход луча).

При малой высоте л падения лучей при прямом и обратном ходе формулы для расчета фокусных расстояний принимают вид: ~' =Л/а,", 1 = Ыао (ЗЗ) Идеальную оптическую систему можно представить бесконечно тонкой. В этом случае передняя и задняя главные плоскости совпадают, что отвечает условию равенства +1 линейного увеличения в главных плоскостях. На вход такой идеальной оптической системы, заданной совмещенными главными плоскостями, передним 1 и задним ~' фокусными расстояниями и разделяющей среды с показателями преломления л, и л м поступает пучок параллельных лучей под малым углом а к оптической оси (рис.

21). Этот пучок выходит из одной бесконечно удаленной точки В пространства предметов. Луч 1 пучка проходит через передний фокус Р. После действия оптической системы он пойдет парал- 29 в лельно оптической оси и пересечет заднюю фокальную плоскость в точке В', являющейся изображением бесконечно удаленной точки В. Луч 2 проходит через совмещенные главные точки (точку Н), образуя с оптичесРнс. ЗК Ход оараллельного пучка лучей КОН ОСЬЮ УГОЛ Паланка а~ через идеальную оптнческую снсгему равнмй углу а.

Отметим, чтО оптическая Ось является нормалью ко всем поверхностям центрированной оптической системы, вершины которых в случае бесконечно тонкой системы совпадают с точкой Н. После действия оптической системы луч 2 пройдет через точку В', образуя с оптической осью угол преломления е'. Из построений, выполненных на рис. 21, находим, что (ГВ,( = = (НК( = (г'В'(, следовательно, — /1ц з = /' 1п е'.

При е — О угол з' — О, и поэтому при малых углах е и з' — / гйпе-/'з)па'. Так как по закону преломления з(п е/з1п е' = = ич„/п„то — /// = и,/и „,, (34) Полученное равенство позволяет сделать следующий вывод: отношение фокусных расстояний идеальной оптической системы с преломляющнми поверхностями равно отношению показателей преломления соответствующих сред, находящихся по обе стороны от оптической системы, взятому со знаком чминус», который указывает на расположение фокусов г и'г"' по разные стороны от совмещенного положения главных плоскостей этой системы.

В тех случаях, когда оптическая система находится в одно- родной среде, например в воздухе (и, = пч,а = 1), т. е. заднее и переднее фокусные расстояния равны по абсолютному значению. 15. Зависимости между положениями и размерами предмета и изображения Для получения зависимостей, по которым определяют положения изображений точек, лежащих иа оптической оси, рассмотрим выполненное на рис. 22 построение положения точки А', являющейся изображением осевой точки А, образуемым идеальной оптической системой, заданной кардинальными элементами. Предмет (отрезок у), перпендикулярный к оптической оеи, имеет основанием точку А. Изображение точки В, представляющей собой размер предмета у, получается в точке В' пересечения двух лучей в пространстве изображений, сопряженных с лучами в пространстве предметов' и проходящих через точку В.

30 Рис. 22. Схема для вывода формул Ньютоиа и отрезков Луч !' в пространстве предметов параллелен оптической оси. На задней главной плоскости в точке М' он меняет свое направление, и в пространстве изображений сопряженный с ним луч ! проходит через фокус Р'. Луч 2 в пространстве предметов проходит через точку В н передний фокус Р. В точке К этот луч меняет свое направление, и в пространстве изображений с ним будет сопряжен луч 2', параллельный оптической оси. Таким образом получается точка' В' — изображение точки В.

Лучи 1 и 2, ход которых через систему известен, называют вспомогательными. Так как предмет перпендикулярен к оптической оси, то его продолжение пересекается с передней главной плоскостью в бесконечно удаленной точке, изображение которой располагается также в бесконечно удаленной точке задней главной 'плоскости (Р = +1). Следовательно, изображение предмета лежит на прямой, проходящей через эту бесконечно удаленную точку и точку В', т. е.

на прямой, параллельной задней главной плоскости и соответственно перпендикулярной к оптической оси. Таким образом, изображение отрезка у (отрезок — у' = А'В') перпендикулярно к оптической оси, а точна А' является изображением точки А. Положение точки А относительно переднего фокуса Р определяется отрезком — з, положение точки А' относительно заднего фокуса Р' — отрезком г'.

Из рассмотрения двух пар подобных прямоугольных треугольников следует: — у'/у = — у/ — х = г'!!'. Отсюда получаем выражение (35) которое называют формулой Ньютона. Если оптическая система находится в однородной среде, то !' = †! (см. равенство (34)1 и формула Ньютона получит вид: (3б) з1 (40) (41) Прн и, = и „ а =(1 — р)/'Ф.

(42) Если положение предмета — отрезка у, перпендикулярного к оптической оси, — задано, например отрезком а, то из формулы (40) нлн (42) получаем значение линейного увелнчення 5, а нз формулы (39) — значенне у', т. е. размер нзображення. Обозначнм расстоянне между плоскостямн предмета н нзображення (между точками А н А') через Е, между главными плоскостями (между точкамн Н н Н') через Лнн . Тогда при известных значениях Е, Ьнн н р = у'/у при пэ = пе„получим: /' = — (Š— Мин ) 5/(1 — 5)', (43) а' = — (Š— Мин ) р/(1 — Я; (44) а = — (Š— /энз')/(1 — р). (45) 16. Угловое увеличение. Узловые точки Угловым увеличением у оптнческой системы называют отношение тангенса угла между лучом и оптической осью в пространстве нэображеннй к тангенсу сопряженного с ннм угла в пространстве предметов: у= (йо,'/(ась (46) Для бесконечно тонкой идеальной оптической системы (рис.

23) 7 = а/а'. Используя формулы (40) и (41), получаем ч (л,/н„,) (1/()). (47) Положенне точек А н А' относнтельно главных плоскостей определнм отрезкамн а н а' соответственно. Тогда из рис, 22 находнм, что г = а — / и г' = а' — /'. Подставляя этн равенства в формулу (35), получнм выражение для определення положення сопряженных точек оптической осн: /'/а'+//а = 1, (37) которое называют формулой отрезков, нлн формулой Гаусса. Прн / = — /' формула (37) имеет внд: 1/а' — 1/а = 1//'. (38) Каждая нз формул (35) — (38) прн соответствующих исходных данных позволяет определить положение изображения осевой точки. Эта же задача решается при нспользовании выражения линейного увеличения р.

Из рнс. 22 следует, что р = у'/у = — //г = — г'//'. (39) Заменим в формуле (39) г н г' на а — / н а' †./' соответственно. Тогда а = (!) — 1) //() = (и,/и „) (1 — ()) /'/5; а' = (1 — р) /'. Рвс. 23. Скеыа дли вывода формул углоаога увеличеиии Для оптической системы, находящейся в однородной среде (п, = пч„), угловое увеличение обратно пропорционально линейному увеличению. Точки предмета и иэображения, лежащие на оптической оси, для которых у = +1, называют узловыми точками оптической системы.

Из формулы (47) вытекает, что узловые точки совпадают с главными (р = +1) в том случае, когда оптическая система находится в однородной среде. Если оптическая система разделяет среды с разными показателями преломления п, и пч,, то при р = +1, т. е. в главных плоскостях (см. рис. 22), и малых углах о и о' (48) унп = 1Ко'/1но ж пд/пч д = — Ц'. Плоскости, проходящие через узловые точки перпендикулярно к оптической оси, называют узловыми плоскостями. Найдем положение этих плоскостей для случая, когда п, Ф ~пч д. На рис.

24 показано положение фокусов г и г' относительно главных точек Н и Н'. Положение узловых точек дт' (передней) и дт" (задней) относительно фокусов определяется отрезками ги и гп" Из формулы (47) при у = -1-1 следует: (1ии = — Ц', кроме того, из формулы (39) находим: ПоэтомУ ги = 7" и гы = 7'. Лвв' Рис.

24. Увлоаые точка оптической системы 33 3 Звквввов Н. П Расстояние Ьлл. между узловыми точкамн определяется из равенства (см. рис. 24) — /+/хин +/' =ам+ели — гл, ,где /лнн — расстояние между главными точками (главными плоскостями). Так как гл = /', а гл = /, то Лил = /енн, т.

е. расстояние между узловыми точками равно расстоянию между главными точками. !7. Продольное увеличение Продольным увеличением а оптической системы называют отношение бесконечно малого отрезка, взятого вдоль оптической оси в пространстве изображений, к сопряженному'с ним отрезку в пространстве предметов: а = дг'/дг. На рис. 25 показаны сопряженные отрезки Лг' и Лг, предел отношения которых прн Лг-ь О и есть продольное увеличение а. Для нахождения отношения дг'/дг продифференцируем формулу Ньютона гг' = //' по г' и г: г Лг' + г' Ьг = О, откуда а = Лг'/Лг = — г'/г.